第08講平面向量的線性運(yùn)算（原卷版）

第08講平面向量的線性運(yùn)算掌握實(shí)數(shù)與向量相乘掌握向量的線性運(yùn)算重點(diǎn)是平面向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算難點(diǎn)是在幾何圖形中對(duì)目標(biāo)向量進(jìn)行線性表示模塊一：實(shí)數(shù)與向量相乘平面向量的相關(guān)概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長(zhǎng)度：向量的大小也叫做向量的長(zhǎng)度（或向量的模）；零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．平面向量的加減法則幾個(gè)向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)k是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作．如果，且，那么的長(zhǎng)度；的方向：當(dāng)k>0時(shí)與同方向；當(dāng)k<0時(shí)與反方向．如果k=0或，那么．實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使．單位向量單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量．設(shè)為單位向量，則．單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對(duì)于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：，．填空： ； ； ； ； ； ．ABCDO如圖，已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用、表示下列向量：ABCDO，，，，，．已知非零向量，求作，．ABCDEFGHO如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，EG與FH相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用向量或表示向量、，并寫(xiě)出圖中與相等的向量ABCDEFGHO計(jì)算： ； ； ．模塊二：向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算．如、、、等，都是向量的線性運(yùn)算．一般來(lái)說(shuō)，如果、是兩個(gè)不平行的向量，是平面內(nèi)的一個(gè)向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實(shí)數(shù)．向量的合成與分解如果、是兩個(gè)不平行的向量，（m、n是實(shí)數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說(shuō)向量分解為、兩個(gè)向量，這時(shí)，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關(guān)于、的分解式．平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解．計(jì)算：（1）； （2）．已知向量、不平行，x、y是實(shí)數(shù)，且，求x、y的值．如圖，已知向量、和、，求作：（1）向量分別在、方向上的分向量；ABO（2）向量分別在、方向上的分向量．ABO若，其中、、為已知向量，求未知向量．ABCDEO已知O為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊AB和AC上，且，DE//BC．設(shè)，，試用、表示．ABCDEO一、單選題（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果為單位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是單位向量，那么 D．如果，那么（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)單位向量，設(shè)、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┮阎橇阆蛄俊?，且有，下列說(shuō)法中，不正確的是()A．| B．C．與方向相同 D．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知為單位向量，向量與方向相反，且其模為的4倍；向量與方向相同，且其模為的2倍，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如果C是線段的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．（2023·上海寶山·一模）已知非零向量、、，下列條件中，能判定向量與向量方向相同的是（）A．， B． C． D．，（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)D、E分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，，，設(shè)，那么用向量表示為（

）A． B． C． D．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么二、填空題（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，E是邊的中點(diǎn)，連接．如果設(shè)，，那么________（含的式子表示）．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形中，點(diǎn)、、分別是對(duì)角線、和邊的中點(diǎn)．如果設(shè)，，那么向量______（用向量、表示）．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知梯形中，，，設(shè)，，那么可用、表示為_(kāi)_______．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)為的重心，，，那么__．（用、表示）（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，在中，中線、交于點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量，表示為_(kāi)_____．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，過(guò)的重心G，設(shè)向量，那么向量_____（結(jié)果用、表示）（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)，如果，，當(dāng)時(shí)，那么________．（用含、的式子表示）（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知點(diǎn)G是的重心，設(shè)，那么用可表示為_(kāi)_____．

三、解答題（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，E是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，，用向量、表示向量．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，若．(1)用表示和；(2)求作在方向上的分向量．（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在平行四邊形的邊的延長(zhǎng)線上，且，與交于點(diǎn)．設(shè)．(1)用向量、表示向量；(2)求作：向量分別在向量、方向上的分向量．（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）已知在中，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（

）A． B． C． D．如圖，在中，點(diǎn)D是在邊上一點(diǎn)，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．如圖，在梯形中，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，設(shè)，，那么_______．（結(jié)果用、表示）

如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)，如果，，用向量、表示向量＝______．

如圖，已知中，點(diǎn)D、E分別