第08講平面向量的線性運算（原卷版）

第08講平面向量的線性運算掌握實數(shù)與向量相乘掌握向量的線性運算重點是平面向量的有關概念及線性運算難點是在幾何圖形中對目標向量進行線性表示模塊一：實數(shù)與向量相乘平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．實數(shù)與向量相乘的運算設k是一個實數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．實數(shù)與向量相乘的運算律設m、n為實數(shù)，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使．單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數(shù)與向量的乘積可知：，．填空： ； ； ； ； ； ．ABCDO如圖，已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點O．設，，試用、表示下列向量：ABCDO，，，，，．已知非零向量，求作，．ABCDEFGHO如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，EG與FH相交于點O．設，，試用向量或表示向量、，并寫出圖中與相等的向量ABCDEFGHO計算： ； ； ．模塊二：向量的線性運算向量的線性運算向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內(nèi)的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數(shù)．向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解．計算：（1）； （2）．已知向量、不平行，x、y是實數(shù)，且，求x、y的值．如圖，已知向量、和、，求作：（1）向量分別在、方向上的分向量；ABO（2）向量分別在、方向上的分向量．ABO若，其中、、為已知向量，求未知向量．ABCDEO已知O為內(nèi)一點，點D、E分別在邊AB和AC上，且，DE//BC．設，，試用、表示．ABCDEO一、單選題（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）下列說法正確的是（

）A．如果為單位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是單位向量，那么 D．如果，那么（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知一個單位向量，設、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┮阎橇阆蛄?、，且有，下列說法中，不正確的是()A．| B．C．與方向相同 D．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知為單位向量，向量與方向相反，且其模為的4倍；向量與方向相同，且其模為的2倍，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如果C是線段的中點，那么下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．（2023·上海寶山·一模）已知非零向量、、，下列條件中，能判定向量與向量方向相同的是（）A．， B． C． D．，（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點D、E分別在的邊、的延長線上，，，設，那么用向量表示為（

）A． B． C． D．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知、為非零向量，下列判斷錯誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么二、填空題（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，為對角線，E是邊的中點，連接．如果設，，那么________（含的式子表示）．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形中，點、、分別是對角線、和邊的中點．如果設，，那么向量______（用向量、表示）．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知梯形中，，，設，，那么可用、表示為________．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知點為的重心，，，那么__．（用、表示）（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，在中，中線、交于點，設，，那么向量用向量，表示為______．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，過的重心G，設向量，那么向量_____（結果用、表示）（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是的邊、上的點，且，聯(lián)結，如果，，當時，那么________．（用含、的式子表示）（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知點G是的重心，設，那么用可表示為______．

三、解答題（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點D在邊上，，E是的中點．(1)求證：；(2)設，，用向量、表示向量．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，且，過點作，分別交于點，若．(1)用表示和；(2)求作在方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，點在平行四邊形的邊的延長線上，且，與交于點．設．(1)用向量、表示向量；(2)求作：向量分別在向量、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）已知在中，點D、E分別是的中點，設，，那么向量用向量、表示為（

）A． B． C． D．如圖，在中，點D是在邊上一點，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．如圖，在梯形中，，，對角線與交于點O，設，，那么_______．（結果用、表示）

如圖，在中，點在邊上，且，交于點，如果，，用向量、表示向量＝______．

如圖，已知中，點D、E分別