全國(guó)版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題思維3高考中三角函數(shù)解三角形解答題的提分策略試題理含解析

PAGE解題思維3高考中三角函數(shù)、解三角形解答題的提分策略1.[12分]在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且2bcosB=3ccosC=asInA(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若a=2,求△ABC的面積.2.[12分]如圖3-1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,扇形OAB的半徑為2,圓心角為2π3,點(diǎn)M是弧AB上異于A,B的點(diǎn)(1)若點(diǎn)C(1,0),且CM=2,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);(2)求△MAB面積的最大值.圖3-13.[2024浙江杭州二中、學(xué)軍中學(xué)等五校聯(lián)考,14分]已知f(x)=sInx(sInx+3cosx),在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f(A)=32,a=2,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍4.[2024八省市新高考適應(yīng)性考試,12分]在四邊形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.答案解題思維3高考中三角函數(shù)、解三角形解答題的提分策略1.(1)依題意和正弦定理得2bcosB所以tanB=12,tanC=13tanA=-tan(B+C)=-12+131-16=-1,由余弦定理得,λ=b2+c2-a2bc=2cosA=-2,(2)由tanB=12,tanC=13,易得cosB=25,cosC依題意及(1)得2bcosB=3ccosC=2,所以b=2則S△ABC=12×2102.(1)連接OM,依題意可得,在△OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cos∠COM=22+12所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2×34=32(2)連接OM,設(shè)∠AOM=θ,θ∈(0,2π3),則∠BOM=2π3-S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=12×2×2[sinθ+sin(2π3-θ)]-12×2×2×32=23sin(θ+因?yàn)棣取?0,2π3),所以θ+π6∈(π6,5π6所以當(dāng)θ+π6=π2,即θ=π3時(shí),△MAB的面積取得最大值,最大值為3.(1)f(x)=sinx(sinx+3cosx)=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2k得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π3+kπ,5π6+kπ],k∈Z.(6(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-π6)+12=32,則∵0<A<π,∴-π6<2A-π∴2A-π6=π2,解得A=π解法一由a=2,A=π3及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-4=bc,(10分∴(b+c)2-4=3bc≤3(b+c2)2,即b當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,(12分)又b+c>a=2,∴2<b+c≤4,4<a+b+c≤6,(13分)∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(4,6](14分)解法二由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,b=asinAsinB=43∴b+c=433(sinB+sinC).(10∵A=π3,∴C=π-A-B=23π-∴sinB+sinC=sinB+sin(23π-B)=32sinB+32cosB=3sin(B+π6又B∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,56π),sin(B+∴b+c∈(2,4],a+b+c∈(4,6],(13分)∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(4,6].(14分)4.(1)因?yàn)锳B∥CD,所以∠ABD=∠BDC.(1分)在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+B在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·(2)設(shè)BC=x,則AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2在△BCD中,由