湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.2．已知，，，夾角為，如圖所示，若，，且D為BC中點(diǎn)，則的長度為A. B.C.7 D.83．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)的定義域?yàn)?．設(shè)，，則正實(shí)數(shù)，的大小關(guān)系為A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為A.8 B.2C. D.-28．已知集合，，，則（）A.{6，8} B.{2，3，6，8}C.{2} D.{2，6，8}9．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，若方程有唯一的實(shí)數(shù)解，則（）A.2 B.4C.8 D.1610．下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（）A.，B.，C.，D.，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)中角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，若時(shí)，的最小值為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.12．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.13．某公司在甲、乙兩地銷售同一種農(nóng)產(chǎn)品，利潤（單位：萬元）分別為，，其中x為銷售量（單位：噸），若該公司在這兩地共銷售10噸農(nóng)產(chǎn)品，則能獲得的最大利潤為______萬元.14．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)，滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則________.15．“”是“”的______條件.16．某網(wǎng)店根據(jù)以往某品牌衣服的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示，由此估計(jì)日銷售量不低于50件的概率為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某紀(jì)念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間天市場價(jià)元（1）根據(jù)上表數(shù)計(jì)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系并說明理由：①；②；③；④；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.18．某公司結(jié)合公司的實(shí)際情況針對(duì)調(diào)休安排展開問卷調(diào)查，提出了，，三種放假方案，調(diào)查結(jié)果如下：支持方案支持方案支持方案35歲以下20408035歲以上（含35歲）101040（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，已知從“支持方案”的人中抽取了6人，求的值；（2）在“支持方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看作一個(gè)總體，從這5人中任意選取2人，求恰好有1人在35歲以上（含35歲）的概率.19．已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的值域;（2）若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.20．已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求.（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．已知函數(shù)的圖象在直線的下方且無限接近直線.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性（寫出判斷說明即可，無需證明），并求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；（3）求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故D符合題意.故選：D.2、A【解析】AD為的中線，從而有，代入，根據(jù)長度進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出的長度【詳解】根據(jù)條件：；故選A【點(diǎn)睛】本題考查模長公式，向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，根據(jù)公式計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.3、D【解析】所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，整理得，選D.4、D【解析】應(yīng)用換元法求的解析式，進(jìn)而求其定義域、值域，并判斷單調(diào)性、奇偶性，即可知正確選項(xiàng).【詳解】由題意，由，則，即.令，則∴，其定義域?yàn)椴皇桥己瘮?shù)，又故不單調(diào)增函數(shù)，易得，則，∴.故選：D5、A【解析】由，知，，又根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性知，，故選A6、A【解析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號(hào)即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，故排除C，得A為正確選項(xiàng).故選：A7、A【解析】利用兩條直線平行的充要條件求解【詳解】：∵直線l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，∴，解得a=8故選A.【點(diǎn)睛】】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運(yùn)用8、A【解析】由已知，先有集合和集合求解出，再根據(jù)集合求解出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.9、B【解析】由條件可得，為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，設(shè)，則得到偶函數(shù)，由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，則，從而得到答案.【詳解】由得，即，從而，所以為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，所以.設(shè)，將的圖象向右平移1個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，即，即，解得，所以故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，得到為周期函數(shù)，設(shè)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)相同函數(shù)的判斷原則進(jìn)行定義域的判斷即可選出答案.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋@兩函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)榛?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)求，再由題意得周期求即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，若時(shí)，的最小值為可知，∴【小問2詳解】令，解得故單調(diào)遞增區(qū)間為：，12、【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，如圖所示：當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，且，令，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，若時(shí)，恒成立，只需，當(dāng)上，均有恒成立，結(jié)合圖形知：，∴，∴，令，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴最大，∴，∴.考點(diǎn)：1.函數(shù)圖像；2.恒成立問題；3.數(shù)列的最值.13、34【解析】設(shè)公司在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，根據(jù)利潤函數(shù)表示出利潤之和，利用配方法求出函數(shù)的最值即可【詳解】設(shè)公司在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品（）噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，，利潤為，又且故當(dāng)時(shí)，能獲得的最大利潤為34萬元故答案為：34.14、【解析】先畫出函數(shù)圖像并判斷，再根據(jù)范圍和函數(shù)單調(diào)性判斷時(shí)取最大值，最后計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)函數(shù)的圖象得，所以．結(jié)合函數(shù)圖象，易知當(dāng)時(shí)在上取得最大值，所以又，所以，再結(jié)合，可得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和最值的求法，是中檔題.15、充分不必要【解析】解方程，即可判斷出“”是“”的充分不必要條件關(guān)系.【詳解】解方程，得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故答案為充分不必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16、55【解析】用減去銷量為的概率，求得日銷售量不低于50件的概率.【詳解】用頻率估計(jì)概率知日銷售量不低于50件的概率為1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算事件概率，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）②；（2）上市天，最低價(jià)元【解析】（1）根據(jù)所給的四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表中數(shù)據(jù)所表示的變化特征進(jìn)行選擇即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.【詳解】（1）通過表中數(shù)據(jù)所知紀(jì)念章的市場價(jià)與上市時(shí)間的變化先是遞減而后遞增，而已知所給的函數(shù)中除了②以外，其他函數(shù)要么是單調(diào)遞增，要么是單調(diào)遞減，要么是常值函數(shù)，所以選擇②；（2）由（1）可知選擇的函數(shù)解析式為：.函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，代入解析式中得：，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為26.所以該紀(jì)念章時(shí)的上市20天時(shí)市場價(jià)最低，最低的價(jià)格26元.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)分層抽樣按比例抽取，列出方程，能求出n的值；(2)35歲以下有4人，35歲以上(含35歲)有1人.設(shè)將35歲以下的4人標(biāo)記為1，2,3,4,35歲以上(含35歲)的1人記為a,利用列舉法能求出恰好有1人在35歲以上(含35歲)的概率.【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣按比例抽取，得：，解得.（2）35歲以下：（人），35歲以上（含35歲）：（人）設(shè)將35歲以下的4人標(biāo)記為1，2，3，4，35歲以上（含35歲）的1人記為，，共10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)：恰好有1人在35歲以上（含35歲），有4個(gè)樣本點(diǎn)，故.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，分層抽樣、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】（1）分別求出和的值域即可；（2）分兩種情況討論，若，有1個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；若，無零點(diǎn)，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，綜上，的值域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若，有1個(gè)零點(diǎn)，則，則時(shí)，也應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，所以，又，則；若，無零點(diǎn)，則，則時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以；綜上，a的取值范圍為.20、（1）（2）【解析】（1）利用集合的交集運(yùn)算即可求解；（2）由集合的基本運(yùn)算得出集合的包含關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】解：時(shí)，；又；【小問2詳解】解：由得所以解得：所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為：21、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，（2）奇函數(shù)，