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2025屆湖南省東安縣天成實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿(mǎn)足,在任意相鄰兩項(xiàng)與(k=1,2,…)之間插入個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為()A.162 B.163C.164 D.1652.雙曲線C:的漸近線方程為()A. B.C. D.3.已知公差為的等差數(shù)列滿(mǎn)足,則()A B.C. D.4.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,則的取值范圍是()A. B.C. D.5.現(xiàn)有一根金錘,長(zhǎng)5尺,頭部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤,若該金錘從頭到尾,每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列,該金錘共重()斤A.6 B.7C.9 D.156.某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試,全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi),其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為,則的值為()A. B.C. D.7.如圖,已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)、在橢圓上,四邊形是梯形,,且,則的面積為()A. B.C. D.8.如圖,是函數(shù)的部分圖象,且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則()A. B.C. D.9.已知分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率,那么是下列哪個(gè)事件的概率()A事件同時(shí)發(fā)生B.事件至少有一個(gè)發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個(gè)發(fā)生10.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-3)且斜率為2的直線方程為()A. B.C. D.11.將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為()A. B.C. D.12.用反證法證明“若a,b∈R,,則a,b不全為0”時(shí),假設(shè)正確的是()A.a,b中只有一個(gè)為0 B.a,b至少一個(gè)不為0C.a,b至少有一個(gè)為0 D.a,b全為0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=an+1-an(n∈N*),且a1=2,a2=3,則a2022的值為_(kāi)________.14.已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng),選中兩人都是男生的概率是,選中兩人都是女生的概率是,則選中兩人中恰有一人是女生的概率為_(kāi)_____15.已知數(shù)列滿(mǎn)足,,則_____________.16.設(shè),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1:數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列;條件2:數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)在棱長(zhǎng)為4的正方體中,點(diǎn)分別在線段上,點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上,,,連接交線段于點(diǎn).(1)求證平面;(2)求異面直線所成角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),求(1)(2)(3)曲線在處的切線方程20.(12分)已知數(shù)列滿(mǎn)足,.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.21.(12分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線BM與直線BN的斜率之積為,證明直線l過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)22.(10分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在軸上,拋物線:,若拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)已知斜率存在且不為零的直線滿(mǎn)足:與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、,與直線相交于點(diǎn).若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:,,且存在點(diǎn),使得恒為定值,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2,從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】,其中之間插入2個(gè)2,之間插入4個(gè)2,之間插入8個(gè)2,之間插入16個(gè)2,之間插入32個(gè)2,之間插入64個(gè)2,由于,,故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2,故故選:C2、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C:的實(shí)半軸長(zhǎng),虛半軸長(zhǎng),即有,而雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上,所以雙曲線C的漸近線的方程為,即.故選:D3、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和,即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,∴,∴.故選:C4、D【解析】求出直線直線過(guò)的定點(diǎn)A,由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上,由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線,即,令,解得,即直線過(guò)定點(diǎn),由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,可知:落在以O(shè)A為直徑的圓上,而以O(shè)A為直徑的圓為,如圖示:故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,而圓過(guò)原點(diǎn),圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中,不成立,即直線l不過(guò)原點(diǎn),所以不可能和原點(diǎn)重合,故,故選:D5、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為,其公差為,根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得,進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為,其公差為,由題意知,,由,解得,所以.故選:D6、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)量的值,即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有,得,又由,得,解得,,有故選:A.7、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、,分析可知、、三點(diǎn)共線,設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,分析可知,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出的值,可得出的值,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、,如下圖所示:因?yàn)闉?、的中點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,可得且,因?yàn)?,故、、三點(diǎn)共線,設(shè)、,易知點(diǎn),,,由題意可知,,可得,若直線與軸重合,設(shè),,則,不合乎題意;設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,得,,則,可得,故,因此,.故選:A.8、C【解析】先根據(jù)條件確定為函數(shù)的極大值點(diǎn),得到的值,再根據(jù)圖像的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)幾何意義得到和的正負(fù)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得,為函數(shù)部分函數(shù)的極大值點(diǎn),所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增,由圖像可知處切線斜率為銳角,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增,由圖像可知處切線斜率為鈍角,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以.即.故選:C.9、C【解析】表示事件至少有一個(gè)發(fā)生概率,據(jù)此得到答案.【詳解】分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率,表示事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率,故表示事件都不發(fā)生的概率.故選:C.10、A【解析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為2,所以直線的方程為,即,故選:11、B【解析】基本事件總數(shù),再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù),由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解:將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和,基本事件總數(shù),點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有:,,,,,,,,共8個(gè),則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選:B12、D【解析】把要證的結(jié)論否定之后,即得所求的反設(shè)【詳解】由于“a,b不全為0”的否定為:“a,b全為0”,所以假設(shè)正確的是a,b全為0.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項(xiàng),得周期性,然后可得結(jié)論【詳解】由題意,,,,,,所以數(shù)列是周期數(shù)列,周期為6,所以故答案為:14、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件,“選中兩人都是女生”為事件,“選中兩人中恰有一人是女生”為事件,根據(jù)為互斥事件,與為對(duì)立事件,從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件,“選中兩人都是女生”為事件,“選中兩人中恰有一人是女生”為事件,易知為互斥事件,與為對(duì)立事件,又,所以.故答案為:.15、【解析】由題設(shè)可得,應(yīng)用累加法有,結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè),,所以,又,所以.故答案為:.16、【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)為A,B,實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的上支.因?yàn)?,所以,所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)所給的條件分別計(jì)算后即可判斷,再通過(guò)滿(mǎn)足題意的求出通項(xiàng);(2)由(1)可得,再通過(guò)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若選擇條件1,則有,可得,不滿(mǎn)足題意;若選擇條件2,則有,可得,滿(mǎn)足題意,故.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得,所以………①因此有……….②①②可得,即,化簡(jiǎn)得.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)由線面平行的判定定理證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求異面直線所成的角【小問(wèn)1詳解】證明:且,由三角形相似可得,,,又,,又平面,平面平面;【小問(wèn)2詳解】解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸建立空間坐標(biāo)系,如圖.則設(shè)異面直線所成角為,則19、(1)(2)(3)y=【解析】(1)由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可;(2)利用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可;(3)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí),f(x)=0,則切點(diǎn)為所以切線方程是,即y=20、(1)證明見(jiàn)解析;(2),.【解析】(1)證明出,即可證得結(jié)論成立;(2)由(1)的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用分組求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明:因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足,,則,且,則,,,以此類(lèi)推可知,對(duì)任意的,,所以,,故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解:由(1)可知,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,則,所以,,因此,.21、(1);(2)答案見(jiàn)解析,直線過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)首先根據(jù)頂點(diǎn)為得到,再根據(jù)離心率為得到,從而得到橢圓C的方程.(2)設(shè),,,與橢圓聯(lián)立得到,利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關(guān)系得到,從而得到直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】(1)一個(gè)頂點(diǎn)為,故,又,即,所以故橢圓的方程為(2)若直線l的斜率不存在,設(shè),,此時(shí),與題設(shè)矛盾,故直線l斜率必存在設(shè),,,聯(lián)立得,∴,∵,即∴,化為,解得或(舍去),即直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:定點(diǎn)問(wèn)題,一般從三個(gè)方法把握:(1)從特殊情況開(kāi)始,求出定點(diǎn),再證明定點(diǎn)、定值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理,計(jì)算,在整個(gè)過(guò)程找到參數(shù)之間的關(guān)系,代入直線,得到定點(diǎn).22、(1)(2)【解析】(1)先求得橢圓的,代入公式即可求得橢圓的方程;(2)以設(shè)而不求的方法得到兩根和,再由條件,得到四邊形為平行四邊形,并以向量方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系,即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】由條
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