浙江省湖州、衢州、麗水三地市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

浙江省湖州、衢州、麗水三地市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A B.C. D.62．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.3．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.04．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；5．若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.6．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.7．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.8．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離9．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標(biāo)原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-912．已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為_________14．若恒成立，則______.15．已知雙曲線，左右焦點分別為，若過右焦點的直線與以線段為直徑的圓相切，且與雙曲線在第二象限交于點，且軸，則雙曲線的離心率是_________.16．橢圓x2+=1上的點到直線x+y-4=0的距離的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時，18．（12分）如圖，點О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，（1）點B到平面APQ的距離：（2）設(shè)E為棱PC上的點，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實數(shù)的值19．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程20．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，點E是線段PA的中點.（1）求證：平面EBD；（2）若是等邊三角形，，平面平面ABCD，求點E到平面PDB的距離.21．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值.22．（10分）已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)之和比各項系數(shù)之和小240．求：（1）n的值；（2）展開式中x項的系數(shù)；（3）展開式中所有含x的有理項

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.3、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限時，則有，可得，結(jié)合選項可知，B正確故選：B4、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.5、D【解析】由題意設(shè)直線的方程為，然后將點代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程【詳解】因為直線與互相平行，所以設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線的方程為，故選：D6、B【解析】設(shè)D(x，y，z)，根據(jù)求出D(，，0)，再根據(jù)CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設(shè)D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點睛】(1)本題主要考查向量的線性運算和空間向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2).7、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B8、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.9、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標(biāo)，求出直線的方程、點的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標(biāo)為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.10、A【解析】該等差數(shù)列有最大值，可分析得，據(jù)此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A11、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當(dāng)直線向下平移時，增大，因此把直線向上平移，當(dāng)直線過點時，故選：D12、C【解析】利用兩直線平行的等價條件求得m，再結(jié)合充分必要條件進行判斷即可.【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗證，當(dāng)m＝－1時，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，故選C.【點睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)，求出切線斜率，用點斜式寫出直線方程，化簡即可.【詳解】，曲線在點處的切線方程為，即故答案為：14、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；所以，綜上，.故答案為：115、【解析】根據(jù)題意可得，進而可得，再根據(jù)，可得再根據(jù)雙曲線的定義，即可得到，進而求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：設(shè)切點為，所以，又軸所以，所以，由，，所以又，所以故答案為：.16、【解析】設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時，平行線間的距離為；當(dāng)時，平行線間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負即可確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得最值點；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，結(jié)合的正負可確定的零點的范圍，進而得到結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為的最小值為，無最大值（Ⅱ）設(shè)，則，令得：當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當(dāng)時，，即當(dāng)時，【點睛】思路點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性和最值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過移項構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新的函數(shù)，通過的單調(diào)性，結(jié)合零點所處的范圍可分析得到結(jié)果.18、（1）（2）或【解析】（1）以三棱錐等體積法求點到面距離，思路簡單快捷.（2）由直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，可以列關(guān)于的方程，解之即可.【小問1詳解】點О是正四棱錐底面中心，點О是BD的中點，四邊形PQDO矩形，，兩點到平面APQ的距離相等.正四棱錐中，平面，平面，，，設(shè)點B到平面APQ的距離為d，則，即解之得，即點B到平面APQ的距離為【小問2詳解】取PC中點N，連接BN、ON、DN，則.平面平面正四棱錐中，，直線平面平面，平面平面，平面平面平面中，點E到直線ON的距離即為點E到平面的距離.中，，點P到直線ON的距離為△中，，設(shè)點E到平面的距離為d，則有，則則有，整理得，解之得或19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標(biāo)原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標(biāo)原點【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當(dāng)時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動點的軌跡方程為．20、（1）見解析（2）【解析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定證明即可；（2）由得出點到平面的距離，再由是的中點，得出點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接.因為分別是的中點，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小問2詳解】過點作的垂線，垂足為，連接.因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，設(shè)點到平面的距離為因為，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離為.21、（1）（2）當(dāng)或時，有最大值是20【解析】（1）用等差數(shù)列的通項公式即可.（2）用等