云南省昭通市大關(guān)縣民族中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

云南省昭通市大關(guān)縣民族中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解2．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e3．設(shè)，若，則（）A. B.C. D.4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形5．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）7．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75C.155 D.3158．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線9．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績，在高考后對(duì)我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個(gè)樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法10．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相等 D.11．△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.12．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為A.10 B.12C.16 D.20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為___________.14．兩姐妹同時(shí)推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺(tái)），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為______.15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則__________.16．在中，若面積，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過點(diǎn)，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．（12分）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點(diǎn)在棱上，且，證明：平面21．（12分）已知圓的圓心在直線，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）直線過點(diǎn)且與圓相交，所得弦長為，求直線的方程.22．（10分）計(jì)算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號(hào)，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯(cuò)誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯(cuò)誤，同時(shí)無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.2、B【解析】先化簡(jiǎn)為，然后通過換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【詳解】化簡(jiǎn)可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對(duì)求導(dǎo)可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增則有：故選：B3、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?所以，，所以.故選：B4、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對(duì)邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B6、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C7、C【解析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由到直線的距離等于到點(diǎn)的距離可得到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈街本€的距離等于到點(diǎn)的距離，所以到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D9、B【解析】考生分為幾個(gè)不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個(gè)樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D11、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長的求法，屬于基本知識(shí)的考查二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)P已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，即，因?yàn)椋瑒t，即的軌跡方程為.14、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，求得y,進(jìn)而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷售量的中位數(shù).【詳解】因?yàn)槊妹玫匿N售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數(shù)是14，因?yàn)榻憬愕匿N售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：1315、【解析】根據(jù)，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列方程求出，再由，能求出【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，解得，，，解得，故答案為：1016、##【解析】結(jié)合三角形面積公式與余弦定理得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見解析.【解析】（1）寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解；（2）選擇條件①：直線應(yīng)過圓心即直線過點(diǎn)和，即得解；選擇條件②：直線應(yīng)與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應(yīng)過圓心即直線過點(diǎn)和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過點(diǎn)被圓所截得的弦長最短，則直線應(yīng)與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線.18、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡(jiǎn)可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時(shí)，可利用余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時(shí)，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計(jì)算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，連接.∵為的中點(diǎn)，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.21、（1）（2）或【解析】（1）分析可知圓心在直線上，聯(lián)立兩直線方程，可得出圓心的坐標(biāo)，計(jì)算出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，然后對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，由題意可知，圓心即為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，故圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：由勾股定理可知，圓心到直線的距離