榜中榜教育高三數(shù)學(xué)沖刺百題集(理科)

榜中榜教育高三數(shù)學(xué)沖刺百題集（理科）

1

2

若f(x)=則f（x）的定義域?yàn)椋?/p>

logJ(2x+l)

A.(-1,0)B.(-1,0]C.(-1,+8)D.(0,+8)

222

3.已知集合乂=E1----——->0}，N={yly=3x2+1,xeR},則MCN=()

(x-1)3

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{xlxZl或x<0}

4.設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)04x41時(shí)，f(x)=2x(I-x),則f(--|)=()

A.-1B.-1C.AD.A

2442

5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=l處有極值，則ab的最大值等于

()

A.2B.3C.6D.9

6.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,

且ar0),若g(a)=a,則f(a)=()

A.2B.-1^C.AZD.a2

7.曲線..sinx--1在點(diǎn)M（2L,0）處的切線的斜率為（）

sinx+cosx24

8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x€R,f'(x)>2,則f(x)>2x+4

的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,4-00)C.(-8,-1)D?(-8,+8)

9.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2X-4(x>0),則{xlf(x-2)>0}=()

A.{xlx<-2或x>4}B.{xlx<0或x>4}C.{xlx〈O或x>6}D.{xlx<-2或x>2}

10.一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)"E"形圖案，如圖所示，設(shè)小矩形

的長(zhǎng)、寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若24x410,記y=f(x),則y=f(x)的圖象

是()

11.點(diǎn)P在曲線y=x3-x+_|上移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是()

A兀ID「八?！肛?、廠「九\兀兀

A.[r0n,1B?[0,)U[3f7T)C?[3fre)Dn?/(，31

224424

12.已知｛an｝是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和,a5=19,S5=55,則過(guò)點(diǎn)P(3,a3),Q(4,明)

的直線的斜率是()

A.4B.Ac.-4D.-14

4

13.已知｛a11｝為等差數(shù)列，a]+a3+a5=105,@2+聞+a6=99,以Sn表不｛aQ的前n項(xiàng)和，則使得

Sn達(dá)到最大值的n是()

A.21B.20C.19D.18

14.已知等比數(shù)列｛aQ的前n項(xiàng)和為Sn,且azoii=3S2o10+2012,a2o1o=3S2009+2012,則公比

q等于（）

A.3B.AC.4D.A

34

15.設(shè)等比數(shù)列⑶｝的首項(xiàng)為ai，公比為q,則a<0且0<q<l"是"對(duì)于任意n€N*都有an+1

>a:的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

16.設(shè)2a是1+b和1-b的等比中項(xiàng)，則6a+4b的最大值為（）

A.10B.7C.5D.4^/10

17.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證（-丸-3），而二（12,-5）,0P=^0A+0B-若向

量贏，6?的夾角與加，麗的夾角相等，則實(shí)數(shù)人的值為（）

B.-C.+—D.+至

3一5一3

18.如圖，將45。直角三角板和30。直角三角板拼在一-起，其中45。直角三角板的斜邊與30。

直角三角板的30。角所對(duì)的直角邊重合.若而二x?五+y?瓦，則x，y等于（）

A.尸1B.x=l+V3*尸V5C.x=2,y=V3D?x=V3?產(chǎn)1+75

19.已知sin。二，且。在第二象限，那么2。在（）

4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

20.若4ABC的內(nèi)角A滿足sin2A/，貝sinA+cosA=()

_3

A.-2^C.-D.--

3333

21.把函數(shù)丫=8$X-"園訪*的圖象沿向量ar(-m,m)(m>0)的方向平移后，所得的

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()

A.—B.—C.D.

6336

22.同時(shí)具有性質(zhì)："①最小正周期為Ji：②圖象關(guān)于直線x*對(duì)稱；③在,一)

363

上是增函數(shù)."的一個(gè)函數(shù)是()

A.y=sinB.y=cos(―-C.y=cos(2x+-^-)D.y=sin(2x-2b

262636

23.函數(shù)f(x)=2sin(2x+4))的圖象如圖所示，-則巾的值為()

A.-21B.--C.--gg--22ID.-2L或-二

63366

24.若過(guò)點(diǎn)A(0,-1)的直線1與曲線x2+(y-3)2=12有公共點(diǎn)，則直線1的斜率的取

值范圍為（)

A.T，冬B.5冬加)

o

-V3)u+8)D.(-8,一型+8)

C.（-oo,

25.已知點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足條件（,那么點(diǎn)P至值線3x-4y-9=0的距

x-2y+3）0

離的最小值為（）

A.星B.3C.2D.1

55

26.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平

面內(nèi)的軌跡是()

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

27.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近

線垂直，那么此雙曲線的離心率為()

A.V2B.A/3C.遙+]D.遙+]

22

28.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為E準(zhǔn)線為1,P為拋物線上一點(diǎn)，PA11,A為垂足.如果直

線AF的斜率為一如,那么IPFI=()

A.4A/3B.8C.8V3D.16

29.橢圓二+.1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A.在橢圓上存

a2b2

在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0,李B.(0,A]C.[衣-1,1)D.[1,1)

30.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知aABC的頂點(diǎn)A(-6,0)和C(6,0),頂點(diǎn)B在雙

曲線上!-工2=1的右支上，則￡1電二等于()

2511sinB

A.也B.-至C.+至D.-^=

66-6Vli

31.設(shè)1,m是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()

A.若l_Lm,mua,貝ljl_LaB.若l_La,l〃m,貝ljm_La

C.若l〃a,mca,貝ijl〃mD.若l〃a,m〃a,則l〃m

32.如圖，在正方體ABCD-AIBIJDI中，P為棱DC的中點(diǎn)，則D]P與BJ所在直線所

成角的余弦值等于()

33.已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，5人，平面八8(2,AB1BC,SA=AB=1,BC=V2,

則球O的表面積等于()

A.4RB.3nC.2nD.n

34.如圖所示，APAB所在的平面a和四邊形ABCD所在的平面?；ハ啻怪保褹D_La,

BCla,AD=4,BC=8,AB=6.若tan/ADP-2tan/BCP=l,則動(dòng)點(diǎn)P在平面a內(nèi)的軌跡

是()

A.橢圓的一部分B.線段

C.雙曲線的一部分D.以上都不是

35.過(guò)正方體ABCD-AiB|C|Di的頂點(diǎn)A作直線L,使L與棱AB,AD,AA］所成的角都

相等，這樣的直線L可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

36.半徑為R的球0的直徑AB垂直于平面a,垂足為B,ABCD是平面a內(nèi)邊長(zhǎng)為R的

正三角形，線段AC、AD分別與球面交于點(diǎn)M、N,那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是（）

D?最冗R

37.用巾（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間（-8,x）內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量￡服從正態(tài)

分布N（10,0.12）,則概率P（1^-10K0.1）等于（）

A.4＞（"9）B.巾（10.1）（9.9）C.巾⑴-4）（-1）D.2巾（10.1）

38.把5名新同學(xué)分配到高一年級(jí)的A、B、C三個(gè)班，每班至少分配一人，其中甲同學(xué)已

分配到A班，則其余同學(xué)的分配方法共有（）

A.24種B.50種C.56種D.A8種

39.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可

能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（）

40.?個(gè)盒子里有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每次取后不放回,

則若一知第一只是好的,則第二只也是好的概率為（）

A.2B.AC.—D.1

31299

二、填空題（共22小題，每小題3分，滿分66分）

41.已知集合乂=3反+1田｝,N=-｛-1>0,1｝,那么MCN=.

42.若直線y=2a與函數(shù)丫=酎-II（a>0且awl）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍

是.

43.對(duì)于0<a<l,給出下列四個(gè)不等式

①log,(1+a)<Ilog(1+—)；@log(1+a)>log(1+—)；

aa&aaa

—,,1+——.,1+--

③"<a%?a：

其中成立的是.

3x+2_2

x>2

44.函數(shù)f(x)=-x2-4x-2在x=2處連續(xù)，則

x42

.a

45.已知｛aj是公比為q的等比數(shù)列，且a2,徹，a3成等差數(shù)列，則q=

2x3的系數(shù)為W則

46.設(shè)常數(shù)a>0,(ax+4=)4展開(kāi)式中

VX2

lim(a+a2+'"+an)=----------

n—8

47.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:

1

35

7911

13151719

按照以上排列的規(guī)律，第n行（*3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

48.在數(shù)列｛aj中，ai=2,an+i=an+ln（1-+A）,貝I」2產(chǎn).

n

49.已知數(shù)列A：a(,a2...an(0<ai<a2<...<an,n>3)具有性質(zhì)P：對(duì)任意i,j(l<i<j<n),

可+因與可-為兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng).現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：

①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P；

②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P；

③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則ai=0；

④若數(shù)列ai，a2,a?(0Sai<a2<a3)具有性質(zhì)P,則ai+a3=2a2.

其中真命題有.

50.已知向量W，E滿足百=1,lbl=2,la-bl=2,則l&El=

51.在AABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，a2-b2=V3bc,sinC=2%inB,

貝A=.

52.要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求

數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為.(以數(shù)字作

答)

53.如圖，在直三棱柱中，ZACB=90°,AC=BC=1,側(cè)棱AAif歷，M為AiBi的中點(diǎn),

則AM與平面AAiCiC所成角的正切值為.

54.如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA,OB,OC兩兩垂直，且OA>OB>OC,分

別經(jīng)過(guò)三條棱OA,OB,OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S|,S2,S3,

則Si，S2，S3的大小關(guān)系為.

55.給出下列四個(gè)命題：

①過(guò)平面外一點(diǎn)作與該平面成6角的直線一定有無(wú)窮多條；

②一條直線與兩個(gè)相交平面都平行，則它必與這兩個(gè)平面的交線平行；

③對(duì)確定的兩條異面直線，過(guò)空間任意一點(diǎn)有且只有唯一一個(gè)平面與這兩條異面直線都平

行；

④對(duì)兩條異面直線，都存在無(wú)窮多個(gè)平面與這兩條異面直線所成的角相等.

其中正確的命題的序號(hào)是

.（請(qǐng)把所有正確命題的序號(hào)都填上）

22

56.已知Fi、F2是橢圓C：三+4=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且

a2b2

畫1畫?若△PF1F2的面積為9,則b=.

22

57.已知F是雙曲線工-1口的左焦點(diǎn)，A（l,4）,P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則IPFI+IPAI

412

的最小值為.

58.已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60。，

則雙曲線C的離心率為.

59.在二項(xiàng)式仁）8的展開(kāi)式中，含x5的項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）

60.某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)

度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)）.所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［5,40］中，其頻率分布直方圖如圖所示，由

圖中數(shù)據(jù)可知a=，在抽測(cè)的100根中，棉花纖維的長(zhǎng)度在［20,30］內(nèi)的有一

根.

61.若直線2ax-by+2=0（a>0,b>0）被圓x2+y2+2x-4y+l=0截得的弦長(zhǎng)為4,貝ij。+。的

ab

最小值是.

62.某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生

得到甲公司面試的概率為2,得到乙、丙公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試

3

是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若p（x=0）=A,則隨機(jī)變量X的

12

數(shù)學(xué)期望E（X）=

三.解答題

63.設(shè)f(x)=--x3+—x'+2ax

32

(1)若f(x)在(2,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.

3

(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在［1,4］的最小值為一回，求f(x)在該區(qū)間上的最大值.

3

64.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx,曲線y=f(x)過(guò)P(1,0),且在P點(diǎn)處的切線率為2.

(I)求a,b的值；

(II)證明：f(x)<2x-2.

65.已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(aGR)

(I)證明：曲線y=f(x)在x=0的切線過(guò)點(diǎn)(2,2)；

(ID若f(x)在x=xo處取得極小值，xoe(1,3),求a的取值范圍.

66.已知函數(shù)f(x)="(a、x)__(ax)+ln(x+1)，(a*0,aGR)

x+1

(I)求函數(shù)f(x)的定義域；

(ID求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)a>0時(shí):若存在x使得f(x)>ln(2a)成立，求a的取值范圍.

67.已知函數(shù)f(x)=lnx-iix2-2x(a<0).

2

(I)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(1［)若2=-工，且關(guān)于X的方程f(x)=-1x+b在U，4］上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)

22

b的取值范圍；

(III)設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列同｝滿足ai=l,an+l=lnan+an+2(nGN*),求證：an"-1.

68.己知數(shù)列｛aj滿足a1，an+i=-----.

3an+1

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(II)記Sn=aia2+a2a3+...+anan+i，求Sn.

69.已知等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)ai=l,公差d>0、且a2,a5,a”分別是等比數(shù)列｛、｝的電,

b3,b4.

(1)求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛.｝對(duì)任意自然數(shù)n均有：--+—+-??+—4成立、求5+C2+C3+...+C2010

blb2bn-1

的值.

70.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和sn滿足(a>0,且awl).數(shù)列｛bn｝滿足bn=an?lgan

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng).

(2)若對(duì)一切nCN+都有bn<bn+i,求a的取值范圍.

71.數(shù)列面｝中，ai=2,an+i=an+cn(c是常數(shù)，n=l,2,3,...),且ai，a2,a?成公比不為

1的等比數(shù)列.

(I)求c的值；

(II)求｛an｝的通項(xiàng)公式.

b

(III)由數(shù)列｛an｝中的第1、3、9、27、...項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛bn｝,求的值.

n—8?n

n+1

2a

72.數(shù)列｛an｝滿足ai=l,a--------(n€N).

n+1aj2n+

9n

(1)證明：數(shù)列￡｝是等差數(shù)列;

a”

(2)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式an；

(3)設(shè)bn=n(n+1)an,求數(shù)列｛EJ的前n項(xiàng)和Sn.

73.在數(shù)列｛a"中，已知ai=-l,an+i=Sn+3n-1(nGN)

①求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式

n

@^bn=3+(-1)nT〃?3+3)(人為非零常數(shù))，問(wèn)是否存在整數(shù)人使得對(duì)任意n€N*都

有bn+i>bn?若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

74.在4ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且sinA=^,sinB-2fi2

510

(1)求A+B的值；

(2)若a-b=V^-l，求a、b、c的值.

75.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2cos2x(xGR).

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(II)當(dāng)x€[0,費(fèi)]時(shí)，求函數(shù)f(X)的取值范圍?

76.已知函數(shù)f(x)=^jsin^x+cos(3x+——)+cos(3x-——)-l(u)>0,xGR),

33

且函數(shù)f(x)的最小正周期為上

(l)求函數(shù)f(x)的解析式并求f(X)的最小值；

(2)在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若f(B)=1,或且a+c=3+?,

求邊長(zhǎng)b.

77.已知函數(shù)fx=3sin2x+2,\/3sinxcosx+5cos2x

(1)若f(a)=5,求tana的值；

222

(2)設(shè)AABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且工三二b—￡求f(x)

a2+b2-c22a-c

在(0,B］上的值域.

78.已知向量(sinA,cosA),廿-1)，ir,nFl，且A為銳角.

(1)求角A的大??；

(2)求函數(shù)f(x)=cos2x+4cosAsinx(x6R)的值域.

79.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海

里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45。且與點(diǎn)

A相距40a海里的位置B,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45。+6(其中

sineW^,0°<6<90°)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.

26

(I)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；

(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

北

L

1-------*東

80.設(shè)點(diǎn)F(0,-|).動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線尸-卻切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲

線W.

(1)求曲線W的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的直線h，12,分別交曲線W于A,B和C,D.求四邊形ABCD

面積的最小值.

(3)分別在A、B兩點(diǎn)作曲線W的切線，這兩條切線的交點(diǎn)記為Q.求證：QA±QB,且

點(diǎn)Q在某一定直線上.

81.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為、歷-1,

離心率e￡反.

2

(I)求橢圓E的方程；

(11)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線1交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)M,使而?低

為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

82.已知向量水=(2,0),0C=AB=(0,1)>動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=l的距離等于d,

并且滿足而.疝=k(CM'BM_d2)，其中。是坐標(biāo)原點(diǎn)，k是參數(shù).

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型;

(2)當(dāng)，求|而+2高|的最大值和最小值;

(3)如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

22

83.已知橢圓C：J+A=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端

a2b2

點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)Q(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線1交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x

軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,.

(i)求證：直線AiB過(guò)x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

(ii)求AOAiB面積的取值范圍.

84.過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x?+l的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn).

(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k|和k2,求證：ki?k2為定值，并求出定值；

(2)求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)當(dāng)包幽最小時(shí)，求而的值.

85.若圓C過(guò)點(diǎn)M(0,1)且與直線1：y=-l相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線E,A、B為

曲線E上的兩點(diǎn)，點(diǎn)p(o,t)(t>0),且滿足Q二人而(X>1)?

(1)求曲線E的方程；

(II)若t=6,直線AB的斜率為l，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線，

2

求圓N的方程;

(Ill)分別過(guò)A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線1上，求證:

t與瓦?靛均為定值.

86.已知定點(diǎn)A(-1,0),F(2,0),定直線1：X」,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離

2

是它到直線1的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線

AB、AC分別交1于點(diǎn)M、N.

(I)求E的方程；

(II)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)E并說(shuō)明理由.

87.如圖所示，在正三棱柱ABC-A]BiCi中，底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為返a，D是棱ACi

2

的中點(diǎn).

(I)求證：BCi〃平面ABQ；

(H)求二面角Ai-AB|-D的大小;

(III)求點(diǎn)Ci到平面ABQ的距離.

88.已知三棱錐P-ABC中，PA_LABC,AB±AC,PA=AC」AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,

2

M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

(I)證明：CM1SN；

(II)求SN與平面CMN所成角的大小.

89.已知三棱錐P-ABC中，PC_L底面ABC,ZABC=90°,AB=BC=2,二面角P-AB-C

為45°,D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DEJ_AP于E.

(I)求證：AP_L平面BDE；

(II)求直線EB與平面PAC所成的角.

90.如圖，四棱錐S-ABCD中,SDJ_底面ABCD,AB〃DC,AD_LDC,AB=AD=1,DC=SD=2,

E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC_L平面SBC.

(I)證明：SE=2EB；

(II)求二面角A-DE-C的大小.

91.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDJ_平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB〃DC,

/BCD=90。.

(1)求證：PC±BC；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

92.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD±,AE=EB=AF=2FD=4.沿直

3

線EF符AAEF翻折成AA'EF,使平面A'EFJ_平面BEF.

(I)求二面角A'-FD-C的余弦值；

(II)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與

A'重合，求線段FM的長(zhǎng).

93.某高校的自主招生考試數(shù)學(xué)試卷共有8道選擇題，每個(gè)選擇題都給了4個(gè)選項(xiàng)(其中有

且僅有一個(gè)是正確的).評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分.某

考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題

都可判斷其中兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷其中一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因

不理解題意只能亂猜.對(duì)于這8道選擇題，試求：

（1）該考生得分為40分的概率；

（2）該考生所得分?jǐn)?shù)S的分布列及數(shù)學(xué)期望E'

94.某種家用電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器的無(wú)故障使用時(shí)間有關(guān)，每含這種家用電器若無(wú)

故障使用時(shí)間不超過(guò)一年，則銷售利潤(rùn)為0元，若無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)一年不超過(guò)三年，則

銷售利潤(rùn)為100元；若無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)三年，則銷售利潤(rùn)為200元.

已知每臺(tái)該種電器的無(wú)故障使用時(shí)間不超過(guò)一年的概率為工，無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)一年不超

5

過(guò)三年的概率為2.

5

（I）求銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和為400元的概率；

（II）求銷售三臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和為300元的概率.

95.已知參賽號(hào)碼為1?4號(hào)的四名射箭運(yùn)動(dòng)員參加射箭比賽.

（1）通過(guò)抽簽將他們安排到1?4號(hào)靶位，試求恰有一名運(yùn)動(dòng)員所抽靶位號(hào)與其參賽號(hào)碼相

同的概率；

（2）記1號(hào)，2號(hào)射箭運(yùn)動(dòng)員，射箭的環(huán)數(shù)為《所有取值為0,1,2,3...,10）.

根據(jù)教練員提供的資料，其概率分布如下表：

i345678910

P1b00.060.040.060.30.20,30.04

P2bb000.040.050.050.20.320.320.02

①若1,2號(hào)運(yùn)動(dòng)員各射箭一次，求兩人中至少有一人命中8環(huán)的概率;

②判斷1號(hào)，2號(hào)射箭運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)射箭的水平高？并說(shuō)明理由.

96.甲、乙兩個(gè)箱子中裝有大小相同的小球，甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中裝有2

個(gè)黑球和3個(gè)紅球，現(xiàn)從甲箱和乙箱中各取一個(gè)小球并且交換.

（1）求交換后甲箱中剛好有兩個(gè)黑球的概率.

（2）設(shè)交換后甲箱中黑球的個(gè)數(shù)為求《的分布列和數(shù)學(xué)期望.

97.學(xué)校要用三輛車從北湖校區(qū)把教師接到文廟校區(qū)，己知從北湖校區(qū)到文廟校區(qū)有兩條公

路，汽車走公路①堵車的概率為工，不堵車的概率為受；汽車走公路②堵車的概率為p,不

44

堵車的概率為1-p,若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛

車是否堵車相互之間沒(méi)有影響.

（I）若三輛車中恰有一輛車被堵的概率為工，求走公路②堵車的概率；

16

（II）在（D的條件下，求三輛車中被堵車輛的個(gè)數(shù)為2的概率.

98.如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)

地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩

個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)

P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步（如由A到

C）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如由A到D）.在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之

前連續(xù)投擲，若超過(guò)?圈，則投擲終止.

求：

（I）需要四次投擲，點(diǎn)P恰返回到A點(diǎn)的概率；

（n）點(diǎn)p恰好返回到A點(diǎn)的概率.

99.2010年11月廣州成功舉辦了第卜六屆亞運(yùn)會(huì).在華南理工大學(xué)學(xué)生會(huì)舉行的亞運(yùn)知

識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽中，甲、乙、丙同時(shí)回答一道有關(guān)亞運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題，已知甲回答對(duì)這道題目

的概率是W,甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是。，乙、丙兩人都回答對(duì)的概率是工.

4124

（1）求乙、丙兩人各自回答對(duì)這道題目的概率.

（2）求回答對(duì)這道題目的人數(shù)的隨機(jī)變量￡的分布列和期望.

100.盒子里裝有6件包裝完全相同的產(chǎn)品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品.為

了找到2件次品，只好將盒子里的這些產(chǎn)品包裝隨機(jī)打開(kāi)檢查，直到兩件次品被全部檢查或

推斷出來(lái)為止.

（1）求經(jīng)過(guò)3次品檢查才將兩件次品檢查出來(lái)的概率；

（2）求兩件次品被全部檢查或推斷出來(lái)所需檢查次數(shù)恰為4次的概率.

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.(2010?朝陽(yáng)區(qū)一模)I復(fù)數(shù)，J等于()

1+i^

C.-1D..1

22

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的分母為實(shí)數(shù)，然后整理即可.

l-i

【解答】解：復(fù)數(shù)--1-J_._i=---------------

1+i2(1+i)(l-i)44

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

1

2.(2011?江西)若f(x)='，則f(x)的定義域?yàn)?)

logj(2x+l)

~2

A.("0)B.(-1,01C.(-1,+8)D.(0,+8)

222

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】計(jì)算題.

【分析】求函數(shù)的定義域即求讓函數(shù)解析式有意義的自變量X的取值范圍，由此可以構(gòu)造一

個(gè)關(guān)于X的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的解析式.

1

【解答】解：要使函數(shù)f(X)=的解析式有意義

log1(2x+l)

2

自變量x須滿足：

log](2x+l)>0

2

即0<2x+l<l

解得

2

故選A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域及其求法，其中根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則

構(gòu)造關(guān)于x的不等式，是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2006?江西)已知集合乂=*1-----——->0),N={yly=3x2+1,x6R},貝MAN=()

(x-1)3

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{xlx21或xVO}

【考點(diǎn)】其他不等式的解法；交集及其運(yùn)算.

【分析】集合M為分式不等式的解集，集合N為二次函數(shù)的值域，分別求出再求交集.

或者在解集合M中，注意XH1,可排除B、D,再結(jié)合A、C用特值檢驗(yàn)即可.

【解答】解：??,M={xl」^〉o}={xlx>l或x40},N={yly21}

X-1

.*.MAN={xlx>l}

故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式的解集和集合的概念、運(yùn)算等問(wèn)題，屬基本題.在解題過(guò)程中,

注意選擇題的特殊做法.

4.(2015?懷化模擬)設(shè)心)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0女41時(shí),g)=2*(17),則￡(-搟)=

()

A.-AB.-工C.工D.。

2442

【考點(diǎn)】奇函數(shù)；函數(shù)的周期性.

【專題】計(jì)算題.

【分析】由題意得f(-至)=f(-1)=-f(1)，代入已知條件進(jìn)行運(yùn)算.

222

【解答】解：；f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)04x41時(shí)，f(x)=2x(1-X),

/.f(——)=f(_—)=-f(—)=-2XA(I-A)=-A,

222222

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，以及求函數(shù)的值.

5.(2011?福建)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x，-ax?-2bx+2在x=l處有極值，貝i」ab

的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；基本不等式.

【專題】計(jì)算題.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為。得到a,b滿足的條件；利用基本

不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等.

【解答】解：:f'(x)=12x2-2ax-2b,

又因?yàn)樵趚=l處有極值，

/.a+b=6>

Va>0,b>0,

)=9'

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，

所以ab的最大值等于9.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、

二定、三相等.

6.(2011?湖北)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax

-ax+2(a>0,且a#0).若g(a)=a,則f(a)=()

A.2B.-1^C.AZD.a2

44

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【分析】由已知中定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a'

x+2(a>0,且awO),我們根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，得到關(guān)于f(x),g(x)的另一個(gè)方程

-f(x)+g(x)=ax-ax+2,并由此求出f(x),g(x)的解析式，再根據(jù)g(a)=a求出a

值后，即可得到f(a)的值.

【解答】解：?.?f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的偶函數(shù)

由f(x)+g(x)=ax-ax+2①

得f(-x)+g(-x)=ax-ax+2=-f(x)+g(x)②

①②聯(lián)立解得f(x)=ax-ax,g(x)=2

由已知g(a)=a

.'.a=2

：.f(a)=f(2)=22-2-2=1^

4

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法--方程組法，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中利

用奇偶性的性質(zhì)，求出f(x),g(x)的解析式，再根據(jù)g(a)=a求出a值，是解答本題的

關(guān)鍵.

7.(2011?湖南)曲線廠.sinx-在點(diǎn)M(―,0)處的切線的斜率為()

sinx+cosx24

A.-1B.AC.一返D.返

2222

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x』處的導(dǎo)數(shù)，從而

4

求出切線的斜率.

【解答】解：；尸.sinx__1

sinx+cosx2

.,cosx(sinx+cosx)一(cosx-sinx)sinx

??y=--------------------------------------2-------------------

(sinx+cosx)

二1

(sinx+cosx)2

y'ix^---------------------

4(sinx+cosx)42

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

8.(2011?遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x6R,f'(x)>2,則f

(x)>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-8,-1)D.(-8,+8)

【考點(diǎn)】其他不等式的解法.

【專題】壓軸題；函數(shù)思想.

【分析】把所求的不等式的右邊移項(xiàng)到左邊后，設(shè)左邊的式子為F(x)構(gòu)成?個(gè)函數(shù)，把

x=-1代入F(x)中，由f(-1)=2出F(-1)的值，然后求出F(x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)產(chǎn)

(x)>2,得到導(dǎo)函數(shù)大于0即得到F(x)在R上為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到

F(x)大于0的解集，進(jìn)而得到所求不等式的解集.

【解答】解：設(shè)F(x)=f(x)-(2x+4),

則F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,

又對(duì)任意x€R,f(x)>2,所以F'(x)=f'(x)-2>0,

即F(x)在R上單調(diào)遞增，

則F(x)>0的解集為(-1,+8),

即f(x)>2x+4的解集為(-1,+8).

故選B

【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)思想求其他不等式的解集，是-?道中檔題.

9.(2010?新課標(biāo))設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),則{xlf(x-2)>0}=()

A.{xlxV-2或x>4}B.{xlx<0或x>4}C.{xlx<0或x>6}D.{xlx<-2或x>2}

【考點(diǎn)】偶函數(shù)；其他不等式的解法.

【專題】計(jì)算題.

【分析】由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),可得f(x)=f(Ixl)=2lxl-4,根據(jù)偶

函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)，再求解不等式，可得答案.

【解答】解:由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),可得f(x)=f(Ixl)=2僅?-4,

IX2I

則f(x-2)=f(lx-21)=2--4,要使f(lx-21)>0,只需2k2i-4>o,|x-2I>2

解得x>4,或x<0.

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主