2022年人教版九年級數(shù)學下冊第二十八章-銳角三角函數(shù)專題攻克試卷（無超綱帶解析）

人教版九年級數(shù)學下冊第二十八章-銳角三角函數(shù)專題攻克

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，在邊長為2的正方形中，E,尸分別為8C,切的中點，連接/反M交于點G,'將叢BCF

沿所對折，得到延長嚴交物延長線于點0.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AEVBFB.QB=QF

4I

C.cosZ.BQP=—D.二■S四邊形笈方；=5k及正

54

2、在心△43C中，Z6^90°,N4、/B、NC的對邊分別為。、b、c,則下列式子一定成立的是

()

A.a=csinBB.a=ccosBC.c=D.c=asinA

tanB

3、在放△48C中，ZC=90°,sin/f=1,則cos6等于()

A.yB.也C.—D.也

223

4、在/△/優(yōu)中，ZC=90°,AC=5,BC=3,則sin/的值是()

A.返B.之C.3D.叵

34543

5、如圖，在正方形ABC。中、￡是BC的中點，歹是8上的一點，AE±EF,則下列結(jié)論：(1)

sinN8AE=g；(2)BE2=ABCFi(3)CD=3CF；(4)AABE-/XAEF.其中結(jié)論正確的個數(shù)有

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6、計算后tan60。的值等于()

A.-3B.1C.3D.5/r3-

7、如圖，為測量小明家所住樓房A8的樓高，小明從樓底4出發(fā)先沿水平方向向左行走到達點C,再沿

坡度i=1:2.4的斜坡行走104米到達點D,在〃處小明測得樓底點A處的俯角為14。，樓頂最高處6的仰

角為22。，A8所在的直線垂直于地面，點4B、C,〃在同一平面內(nèi)，則AB的高度約為()

米.(參考數(shù)據(jù)：sin14°?0.24,cos14°?0.97,tan14°?0.25,sin22°?0.37,cos220?0.93,

tan22°?0.40)

A.104B.106C.108D.110

2

8、在中，Z0900,若止4,sinA=-,則43的長為（）

A.6B.2亞C.3亞D.2m

9、如圖，一輛小車沿斜坡向上行駛13米，小車上升的高度5米，則斜坡的坡度是（）

A.1：2.4B.1：2.6C.12：13D.5：13

10、如圖所示，某村準備在坡角為a的山坡上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為〃？（m）,那么

這兩棵樹在坡面上的距離為（）

A.底osa(m)B.—(m)C.ms\x\a(m)D.々(m)

cosasina

第n卷（非選擇題70分)

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、計算2sin60?tar3M肝癡cos60?的結(jié)果為

3

2、如圖，矩形中，DELAC于點E,/ADE=a,COSQ=(AB=4f49長為.

3、若點尸（12,a）在反比例函數(shù)y=竺的圖象上，則cosNPO"的值為

4、如圖，在△A8O中，ZADB=60°,AD=6,BD=IO,以AB為邊向外作等邊,則CQ的長為

5、如圖①為折疊椅，圖②是折疊椅撐開后的側(cè)面示意圖，其中椅腿4?和切的長度相等，。是它們的

中點.為使折疊椅既舒適又牢固，廠家將撐開后的折疊椅高度設(shè)計為32c/〃，NDOB=100。，那么椅腿

48的長應設(shè)計為—（結(jié)果精確到0.1讖，參考數(shù)據(jù)：sin50°=cos40°心0.77,s"40°=

cos50°g0.64,tan4Q°%0.84,tan5Q°^l.19）

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、如圖，平面直角坐標系中，點。為原點，拋物線y=-gx2+bx+c交x軸于A（-2,O）、3（5,0）兩點，交

y軸于點C.

(1)求拋物線解析式；

(2)點尸在第一象限內(nèi)的拋物線上，過點尸作x軸的垂線，垂足為點"連交y軸于點6,設(shè)尸點

橫坐標為3線段比長為&求d與t的函數(shù)解析式；

(3)在(2)條件下，點〃在位上，點。在第三象限內(nèi)拋物線上，連接戶aPQ、冏/，掰與y軸交于

用,若CM+BH=MO,NCPM=NBAP,CM=EW,求點0的坐標.

2、如圖，等腰RtZ\/L%中，AB=AC,〃為線段比'上的一個動點，后為線段49上的一個動點，使得必

=42BE.連接DE,以〃點為中心，將線段以順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段用連接線段跖過點〃作射

線"?_L66'交射線倒于點吊連接ZW,RF.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：XBDE烏XRDF-,

(3)若/Q/C=2,P為射線為上一點，連接用請寫出一個配的值，使得對于任意的點〃總有

N8/少為定值，并證明.

3、計算：際-（2021-兀）°-2cos30°+9

4、如圖，上午9時，一條船從力處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達6

處，從月、6兩處分別測得小島C在北偏東60。和北偏東45。方向上，已知小島C周圍方圓30海里的海

域內(nèi)有暗礁.該船若繼續(xù)向東方向航行，有觸礁的危險嗎？并說明理由.

5^計算:2sin600+tan45°—cos30°tan60°

參考答案-----------

一、單選題

1、C

【分析】

△呼沿跖對折，得到46所，利用角的關(guān)系求出即可判斷B；首先證明再利

用角的關(guān)系求得/%■層90°,即可得到在即可判斷A；利用儼Q6,解出幽QB,根據(jù)正弦的定

義即可求解即可判斷C；可證必與△吩相似，進一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

求解即可判斷D.

【詳解】

解：?.?四邊形力6（力是正方形，

：.Z^90°,AB//CD,

由折疊的性質(zhì)得：FP=FC,4PFB=/BFC,N/7%=NC=90°,

CD〃AB,

:./CFB=/ABF,

：.ZABF=APFB,

：.QF=QB,故B選項不符合題意；

②?：E,尸分別是正方形4?(力邊比；切的中點，

:.C2BC,CF=\-CD,BEjBC,N4吐/孤90°,

22

：.CF=BE,

在△/鰭和△比戶中，

.AB=BC

<NABE=NBCF,

BE=CF

:.△ABE^XBCF(%S),

:./BAE=/CBF,

又,；NBAmNBEA=90°,

:./CBF+/BEA=9Q°,

:./BGE=9G°,

J.AEVBF,故A選項不符合題意;

令PF=k(A>0),則PB=2k,

在.Rt叢BPQ中,設(shè)QB=x,

'：QB2=QP2+PB2,

*.x—(x-k)?+4后

?5k

??X=y，

：.cos/BQP=%=1,故C選項符合題意；

⑤.：/BGE=/BCF,/GBE=/CBF,

:./\BGESXBCF,

'：BE=\BC,BF=BC,

22

:.BE：BF=l：5

，△戚的面積：△比尸的面積=1：5,

S四邊形即&=4叢WE,故D選項不符合題意.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解

直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

2、B

【分析】

根據(jù)題意，畫出直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對選項逐個判斷即可.

【詳解】

解：由題意可得，如下圖:

sin>4=-,則aysinA,A選項錯誤，不符合題意；

c

cosB=-,則。=。.8§5,B選項正確，符合題意；

c

tanB=-,則ex',C選項錯誤，不符合題意；

atanB

sin4=q,則c='=,D選項錯誤，不符合題意；

csinA

故選B,

【點睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行求解.

3、A

【分析】

由sinA=；知道/4=30°,即可得到的度數(shù)即可求得答案.

【詳解】

解：?.?在/?/△/!阿中，NC=90°,sin4=g,

.?.4=30°,

戶60°,

/.cosB=cos60°=—.

故選A.

【點睛】

本題主要考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是正確識記30°角的

正弦值和60度角的余弦值.

4、A

【分析】

先根據(jù)銀河股定理求出力8,根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，可得答案.

【詳解】

解：如圖，

,4C=5,BC=3,

AB=y]AC2+BC2=扃

BC33南

sinA=

布一南一34

故選：A.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

5、B

【分析】

首先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等證得：XBAEs4CEF,則可證得②正確，①③錯誤，利用有

兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似即可證得△/配s△力所，即可求得答案?

【詳解】

解：?.?四邊形4閱9是正方形，

.*.Z5=Z6^=90°,AB=BC=CD,

,：AEA.EF,

:./AEF=NB=90°,

:./BAE+NAEB=9G,NAEB+FEC=9Q°,

：.ZBAE=ZCEF,

:.△BAEsXCEF,

.ABCE

'：BE=CE,

：.BS=AB'CF.

,:AB=2CE,

：.CF=\CE=\CD,

24

???CD-4CF,

故②正確，③錯誤，

tan/BAE—BE：AB=g,

.?./為《#30°,

sinNBAE*g故①錯誤；

設(shè)CF=a,貝ij加=32a,AB=CD=AD^\a,DF=3a,

:.AE=2后a,EF=亞a,AF=5a,

.AE2>/5a245BE_2a_2君

AF5a5EF后a5

.AEBE

VZABE=ZAEF=90°,

:.XABESXAEF,故④正確.

故選：B.

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì).熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

【詳解】

解：>/3tan60o=>^x>/3=3.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】

根據(jù)題意作加3交于反延長力。，作。尸，CF交于E由坡度的定義求出加的長，得力后的長，再

解直角三角形求出DE、砥的長，即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，作班，都交于后延長47,作。尸，CF交于凡

??,斜坡切的坡度為產(chǎn)1：2.4,5=104米，

."六心40（米），語96（米），

,/ZEDA=14°,

Ap40

tanNEDA=——=——=tan14、0.25,

DEDE

：.DE=160（米），

*/NE￡>B=22°,

BFHF

：.tanNEDB=——=——=tan22°?0.4,

DE160

:.BE=64（米），

AAB=AE+BD=40+64=\04（米）.

故選：A.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角、坡度坡角問題，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

8、A

【分析】

由題意直接根據(jù)三角函數(shù)定義進行分析計算即可得出答案.

【詳解】

2

解：年90°,B04,sinA=-

』萼,二

ABAB3

，AB=6.

故選：A.

【點睛】

本題考查解直角三角形中三角函數(shù)的應用，熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】

直接用勾股定理求出水平距離為12,再根據(jù)坡度等于豎直距離：水平距離求解即可.

【詳解】

解：由勾股定理得，水平距離=而=*=12,

二斜坡的坡度=5：12=1：2.4,

故選A.

【點睛】

本題主要考查了坡度和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握坡度的定義.

10、B

【分析】

直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出3=會進而得出答案.

【詳解】

由題意可得：cosa;三,

AB

則"=上一.

cosa

故選:B.

【點睛】

此題主要考查了解直角三角形的應用，正確記憶銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

二、填空題

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計算法則進行求解即可.

【詳解】

解：2sin60°tan600-y/2sin45°cos60°

=2x旦癢正x，

222

=3--

2

5

=5，

故答案為：I".

【點睛】

本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

將已知角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中，得到N4吠N比右。，求出AC的值,再由勾股定理

計算即可.

【詳解】

?:/ADO/AED=9Q°,NDAE+NAD界NADE+NCDE=90°

：.4DAE=4CDE

又,：4DCE+4CD打9G

/AD*4DCE=a

.3CD

??COSo=一二-------

5AC

又?.,矩形4及力中AB=CX

在^ADC中滿足勾股定理有

16

AD=^AC'-CD-=

T

故答案為：y.

【點睛】

本題考查了已知余弦長求邊長，將已知余弦長轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中是解題的關(guān)鍵.

3Z

'13

【解析】

【分析】

由點夕在反比例函數(shù)曲線上可知，。=*5,故戶點坐標為(12,5),故掰=12,P+5,有勾股定理可

求得好13,貝IJCOSNPO〃=F.

【詳解】

?.?點尸在反比例函數(shù)y=效的圖象上

X

?60.

??a=-=5

12

故。點坐標為(12,5)

故法12,PH=5

在?△OLP中滿足勾股定理OP=4OH'PM

OP=V122+52=13

/.cosZPOH=—=—.

OP13

故答案為：募12.

【點

本題考查了反比例函數(shù)及其性質(zhì)以及求角的余弦值，由反比例函數(shù)性質(zhì)求得P點坐標，進而求得明

/W的長度是解題的關(guān)鍵.

4、14

【解析】

【分析】

將線段D4繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接DE,8E.作EMJ.80交8D的延長線于點V,證

明AZ)AC=A￡A8(SAS),可得DC=BE,再分別求解0M=(OE=3,EM=￡DM=3^),從而利用勾股

定理可得答案.

【詳解】

解：將線段D4繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接OE,踮.作七MJ_3。交8。的延長線于點

M.

???A/3C是等邊三角形，

/.Zfi4C=ZZM￡=60°,AB=AC9

:.ZDAC=ZEAB,

?.?AD=AE,AC=AB,

.\ADAC=AEAB(SAS)f

DC=BE,

\AD=AEfND4E=60。，

「.AZME是等邊三角形，

:.ZADB=ZADE=6O°fDE=AD=6,

:.ZBDE=i20°,

.?.ZEDM=60°,

???EM上BM,

二.N加=90。，?DEM30?,

:.DM=；DE=3,EM=DM-tan60°=6DM=373,

在MABEW中，BE=.BM2+EM2=依+(3后二區(qū),

:.CD=BE=\49

故答案為14.

【點睛】

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用,

銳角三角函數(shù)的應用，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形與直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

5、41.6

【解析】

【分析】

連接加，過點。作放于點〃，從而得到。伊勿，進而得到N6法50°,在RMBOH中,可求出

OB,即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接BD,過點。作斑6〃于點〃，

?:AB=CD,點。是AB、切的中點,

/.OB=OD,

'：ZDOB=100°,

:./BOH=5Q°,

BH^-BD=-x32=16cm,

22

在Rt^BOH中,

BH

OB=-----p20.8cm

sinZBOH0.77

AAB=205=41.6cm.

故答案為：41.6

【點睛】

本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)y=-1x2+|x+5；(2)d=t；(3)Q(-3,Y)

【解析】

【分析】

(1)由拋物線的二次項系數(shù)-；，再根據(jù)交點式可得拋物線為y=-；"+2)(x-5),從而可得答案；

(2)先畫好圖形，證明VAOEsVAPH,利用相似三角形的性質(zhì)求解0E=T+5,從而可得答案；

(3)如圖，過戶作PK_Ly軸于K,過M作MN_LAP于N,證明CM=ME=EW,tan?CPKtan?MPN,即

CKMNCK13MN2r-32工切?工口-r3.才分必…，

麗=麗’再求解方=5"5'前=八％+24,則nil可=r-9/+24'再解方程可得,=4,再求解PW

的解析式，再聯(lián)立解析式解方程可得答案.

【詳解】

解：(1)v拋物線y=-gf+bx+c交x軸于4(—2,0)、3(5,0)兩點，

I1]a

所以可得拋物線為：y=-^(x+2)(x-5)=-^(x2-3x-10)=-1x2+|x+5

(2)如圖，過尸作P〃_LO8于"，連AP交0C于E,

則。國|尸”,尸r,-^(/+2)(/-5),W(/,0),

\AOOE

\——=——,

AHPH

???A(-2,0),

.2OE

、+2-_/+2)(/-5)'

\0E=-t+5,

cQy=--1x~。+-3x+5u,

22

令x=o,則y=5,

.?.C(0,5),

d=CE=5—^—t+5^=t,

(3)如圖，過P作PK_Ly軸于K,過M作MN_LAP于M

由(2)得：CE=OH=t,OC=OB=5,

\OE=BH,

???CM+BH=MO,CM=EW9

\CM+OE=ME+OE,

\CM=ME=EW,

QPK八y軸，則PK〃x軸，

\?BAP?KPE,

???/CPM=ZBAP,

\?CPM?KPN,

\?CPK?MPN,

\tan?CPKtan?MPN,W—=—^

PKPN

結(jié)合(1)可得：四邊形P”O(jiān)K為矩形,

A(—2,0),2(/,—5廣+^7+5)”(/,0),

i3

\0A=2,0H=PK=t,PH=OK=--t2+-t+5,CM=ME=EW=-t,

222

CA：=5-（--r2+-r+5|=

\----=--------=—t—,

PKt22

Qsin?MENsin?AEO,設(shè)“=AE=J4+（5T）;

2MN

CF'

2

:.MN=L,

a

Qcos?AEOcos?MEN,

（5-t）_EN

2

:.EN=△——L,

2a

由CM二ME,

\gcMgPK=gpE豳N,

PE=at,

1r（5-r）

;.PN=PE-EN=-at--——L,

22a

MNt（I5t-t2}22

............——.I—-......................I—----------------------.................................

PN~a[22a）a2-5+t~t2-9t+24

、t-3_2

~T~t2-9t+24'

整理得：（—4乂產(chǎn)-8r+19）=0,

\t-4=0或r-18f+19=0,

解得：，=4,（方程/-18+19=0無解），經(jīng)檢驗符合題意，

.■.P（4,3）,OE=l,ElV=-x4=2,

；.OW=1,W（0,-1）,

設(shè)尸卬為：y=nix+n,

\4m+/?=3

=—1

解得：

[〃=一1

PW為：y=x-\,

y=x-\

丁?”1,3

y=——x"+—x+5

r22

解得」寸;或七:

5=31為=-4

，Q（-3T）.

【點

本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，列函數(shù)關(guān)系式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)的應用，熟練的利用方程解決問題是解本題的關(guān)鍵.

2、（1）見解析；（2）見解析；（3）當BP=4,使得對于任意的點〃，總有N叱為定值，證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意作出圖形連接。R，RF；

(2)根據(jù)N8DR=NE￡)F可得=證明△歐D是等腰直角三角，可得BD=DR,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可得ED=DR,進而根據(jù)邊角邊即可證睨XBD恒XRDF；

(3)當PB=2A3=4時，設(shè)DE=a,貝3。=缶，分別求得%依，根據(jù)tan4PF=4C===:即可求

RP2a2

解

【詳解】

(1)如圖，

(2),；DR1BC

ZRDB=90°

???將線段①順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段“E

??.ZE