工程力學- 材料力學之能量法

材料力學劉鴻文主編(第5版)高等教育出版社目錄13.14a、13.15、13.17、夏學期作業(yè)11：材料力學第十三章能量法(Chapter13

EnergyMethod)MechanicsofMaterials3

組合變形應變能的計算

變形能的普遍表達式-克拉貝隆原理

變形能的應用1、計算變形能2、利用功能原理計算變形知識要點回顧知識要點回顧

單位荷載法-摩爾定理

互等理論功的互等定理位移互等定理桁架：三、使用莫爾定理的注意事項⑤莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu).①M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力;③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱;——去掉主動力，在所求廣義位移點，沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M④與M(x)的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立;M(x)6A例題5抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用，用單位載荷法求梁中點的撓度fc和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對彎曲的影響不計.qBCll/2ql/2ql/2解：在實際荷載作用下，任一x

截面的彎矩為7AAB11/21/2C(1)求C

截面的撓度在C點加一向下的單位力，任一x

截面的彎矩為xqBCll/2ql/2ql/28ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的轉(zhuǎn)角在A截面加一單位力偶引起的x截面的彎矩為qCll/2（順時針）ql/29B例題6圖示外伸梁，其抗彎剛度為EI.用單位載荷法求C點的撓度和轉(zhuǎn)角.ACqF=qaa2a10BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓度（在c

處加一單位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/211BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx112BABC:AB:(2)求C

截面的轉(zhuǎn)角(在c

處加一單位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）13例題7剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出.不計剪力和軸力對位移的影響.計算A點的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI214解：(1)計算A點的垂直位移，在A點加垂直向下的單位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa15(2)計算B截面的轉(zhuǎn)角，在B上加一個單位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）116例題9圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B

處為一剛性節(jié)點,

ABC=90°在C

處承受豎直力F，設兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是

EI

和GIp，求C

點豎向的位移.ABCFab17xx解：在C點加豎向單位力BC:ABCFabABC1abxxAB:18xxABCFabABC1abxx19例題10由三桿組成的剛架，B，C為剛性節(jié)點，三桿的抗彎剛度都是EI，試用單位載荷法求A1，A2兩點的相對位移.A1A2BCllFF20x解：在A1，A2處加一對水平單位力.B，C

兩支座的反力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1121例題11剛架受力如圖，求A截面的垂直位移，水平位移及轉(zhuǎn)角.ABCllq22AB：BC：解：求A點鉛垂位移（在A點加豎向單位力）xxxxABCllqABCllq123xx求A點的轉(zhuǎn)角（在A點加一單位力偶）AB：BC：xxABCllqABCllq1（）24例題12圖示為一簡單桁架，其各桿的EI相等.在圖示荷載作用下，A，C兩節(jié)點間的相對位移.FaaFABCDE132456789a25FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的單位荷載法為112612345678桿件編號90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A，C兩點間的距離縮短.27例題13計算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)28BARPF(b)BARP1(c)解：OO29

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4

單位荷載法

莫爾定理

(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6

計算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasformohr’sintegration)30

2

1

3設彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移.作用有外力：F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)i，

相應的位移為：

1，

2，

，

i

，

§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結(jié)構(gòu)的變形能31只給Fi一個增量

Fi.引起所有力的作用點沿力方向的位移增量為

2

1

3F1F2F3在作用

Fi的過程中，

Fi完成的功為原有的所有力完成的功為結(jié)構(gòu)應變能的增量為32如果把原來的力看作第一組力，而把

Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當

Fi

趨于零時，上式為這就是卡氏第二定理(Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）

(Castigliano’sTheorem)33(1)卡氏第二定理只適用于線性彈性體(Applyingonlytolinearlyelasticbodies).說明

(Directions)

(2)Fi

為廣義力（generalizedforce)

i

為相應的位移(displacementcorrespondingtoforceFi).一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移34卡氏第二定理的應用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)

軸向拉、壓(Axialtensionandcompression)

扭轉(zhuǎn)(Torsion)

彎曲

(Bending)35

平面桁架

(Planetruss)

組合變形(Combineddeformation)36

例題14外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.FABCMelaRA37AB：BC：ABClaRAFx1x2解：Me38ABClaRAFx1x2Me（）39例題15剛架結(jié)構(gòu)如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.不考慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛設一力偶

Mc

,

在D截面虛設一水平力F.FRDFRAxFRAyMcF40CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAy412axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF42例題16圓截面桿ABC，（

ABC=90°）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑d

及材料的彈性常數(shù)E,G.求C

截面處的鉛垂位移.不計剪力的影響.ABCllq43BC：彎曲變形ABlQMBxABCllqFxxAB：彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）4445例題17圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI.不計軸力和剪力的影響.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移

D

和轉(zhuǎn)角

D

.MeF1xFFABCDll2l解：在點虛設一力偶矩MeCD：彎曲變形46但是軸力不計，因此橫截面上的內(nèi)力只計彎矩.FF1ABCF2FlM