2021年遼寧省本溪某中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷

2021年遼寧省本溪高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={-1,0,1},B={x,/},若AnB=B,則實(shí)數(shù)》=（）

A.-1B.1C.±1D.0或±1

2.（5分）盒子中有4個(gè)球，其中3個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)在從盒中隨機(jī)無放回地取球，每

次取出一個(gè)，直到取出紅球?yàn)橹?則取出3個(gè)球停止的概率為（）

A.AB.AC.AD.JL

3468

3.（5分）2021年2月13日，中國詩詞大會(huì)第六季比賽如約而至.在某場(chǎng)比賽中，有甲、

乙、丙、丁、戊五位選手，有機(jī)會(huì)爭(zhēng)奪該場(chǎng)擂主.觀看比賽的三名詩詞愛好者，對(duì)本場(chǎng)

比賽的描主進(jìn)行了如下猜測(cè).小張：冠軍是甲或丙：小陳：冠軍一定不是乙和丙：小亮:

冠軍是丁或戊.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)：三人中只有一個(gè)人的猜測(cè)是對(duì)的，那么擂主是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（5分）已知圓錐曲線C：（GR,f^O,M-1）上滿足|OM|=1的點(diǎn)M共

-AL+X1=1f

t+1t

有4個(gè)，則此圓錐曲線C的離心率在下面的四個(gè)選項(xiàng)中不可能取的值為（）

A.V3B.V2C.返D.返

22

5.（5分）在三角形ABC中,AD=2DB>AE=2EC,P為線段OE上的動(dòng)點(diǎn),若強(qiáng)=/藤+加菽,

入，pGR,則l+m=（）

A.1B.2C.2D.2

32

（5分）虛數(shù)單位，的平方根是（）

B.-返-返i

A.-1

22__

C.返+返，D.返+返，?或-返-返，

222222

（5分）一條傾斜角為60°的直線與拋物線』=4x交于不同的A,8兩點(diǎn)，設(shè)弦AB的中

點(diǎn)為C.過C作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則以。為切點(diǎn)的拋物線的切線的斜

率為（）

A.AB.25/3c.V3

3。?亨

8.（5分）已知尤（1,2）,a=2x2,b=（2X）2,c=22x,則小b,。的大小關(guān)系為（)

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD,c>a>b

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。

3x-x2,0<x<2

9.（5分）已知函數(shù)-x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),f（x）={m（x-2），

,x2

x

znER,那么函數(shù)g（x）=fCx）-2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）

A.2B.4C.6D.8

10.（5分）如圖，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)0、半徑為1的半圓上有一動(dòng)點(diǎn)尸，A,5是半圓與工軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，過P作直線垂直于直線AB,M為垂足.設(shè)NAOP=a,則下列結(jié)論正確的

A.若ae(0,-i—),則sina+cosa>l

2

B.若a€[0,-2L),則a>sina

2

C.若ae（0,n）,則|麗|+|Ml22|西|

D.若a@0,Tt],則附|+|PB|的最大值為2

11.（5分）如圖，正方體ABC。-AiBiCDi的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M,N,P分別是平面AOQMi、

平面CDDiCi、平面ABCD的中心，點(diǎn)Q是線段AiCi上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

B.。點(diǎn)到平面MVP的距離為返z(mì)z

3

C.三棱錐M-NPQ的體積為定值工3

24

D.直線。。與平面AiAC。所成角的正切值的最大值為工

2

12.（5分）已知無窮等差數(shù)列｛“”｝的公差deN*,S”為其前〃項(xiàng)和，且5,23,29是數(shù)列｛斯｝

中的三項(xiàng)，則下列關(guān)于數(shù)列｛〃”｝的選項(xiàng)中，正確的有（）

A.dmax=6

B.S3W2?4

C.數(shù)列｛sina”｝為單調(diào)遞增數(shù)列

D.143一定是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）在四面體ABC。中，△BC￡＞是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△4BO是以8。為斜邊

的等腰直角三角形，平面平面4BC,則四面體ABCD的外接球的表面積為.

14.（5分）安排高二年級(jí)一、二兩個(gè)班一天的數(shù)、語、外、物、體，一班的化學(xué)及二班的

政治各六節(jié)課.要求體育課兩個(gè)班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的

化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié)；其他語、數(shù)、外、物四科由同一任課教師分班上課,

則不同的排課表方法共有種.

15.（5分）在△A8C中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若/+/=2（?,則C的

最大值為.

16.（5分）設(shè)某組數(shù)據(jù)均落在區(qū)間［10,60］內(nèi),共分為［10,20）,［20,30）,［30,40）,［40,

50）,［50,60］五組，對(duì)應(yīng)頻率分別為pi,P2,P3,P4,小?已知依據(jù)該組數(shù)據(jù)所繪制的頻

率分布直方圖為軸對(duì)稱圖形，給出下列四個(gè)條件：

①pi=0.1,p3=0.4；

②P2=2p5;

③P1+P4=P2+P5=0.3;

@p\W2P2W4P3W2P4W05.

其中能確定該組數(shù)據(jù)頻率分布的條件有.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步強(qiáng)

17.（10分）己知等差數(shù)列｛即｝和等比數(shù)列｛仇｝滿足，［=2,4=1,a2=b3,a3=b4-2.

（1）求｛斯｝和｛為｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛斯｝中去掉數(shù)列｛為｝的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列｛C“，求

C1+C2+G+…+C100的值.

18.（12分）在△ABC中，設(shè)7=（cosB,-sin/?）,n=（cosC,sinC）,已知7?W=2.

2

（1）求角A；

（2）設(shè)8c的中點(diǎn)為。，若,求cosC.

從以下兩組條件中任選其一，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

①sin/BAQ=2sin/CA。；?B<C,AD=^LBC.

214

19.（12分）2021年某省開始的“3+1+2”模式新高考方案中，對(duì)化學(xué)、生物、地理和政治

等四門選考科目，制定了計(jì)算轉(zhuǎn)換分7（即記入高考總分的分?jǐn)?shù)）的“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分規(guī)

貝（詳見附1和附2）,具體的轉(zhuǎn)換步驟為：

①原始分丫等級(jí)轉(zhuǎn)換；②原始分等級(jí)內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分.

某校的一次年級(jí)統(tǒng)考中，政治、化學(xué)兩選考科目的原始分分布如表：

等級(jí)ABCDE

比例約15%約35%約35%約13%約2%

政治學(xué)科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等級(jí)對(duì)應(yīng)的原始分區(qū)間

化學(xué)學(xué)科[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

各等級(jí)對(duì)應(yīng)的原始分區(qū)間

現(xiàn)從政治、化學(xué)兩學(xué)科中分別隨機(jī)抽取了20個(gè)原始分成績(jī)數(shù)據(jù)如下:

政治化學(xué)

個(gè)位數(shù)十位數(shù)個(gè)位數(shù)

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）該校的甲同學(xué)選考政治學(xué)科，其原始分為86分，乙同學(xué)選考化學(xué)學(xué)科，其原始分

為93分.基于高考實(shí)測(cè)的轉(zhuǎn)換賦分模擬，試分別計(jì)算甲乙同學(xué)的轉(zhuǎn)換分，并從公平性的

角度談?wù)勀銓?duì)新高考這種“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分法”的看法.

（2）若從該?；瘜W(xué)學(xué)科等級(jí)為4、B的學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人轉(zhuǎn)換分不低于

90分的有2人，求彳的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附1：等級(jí)轉(zhuǎn)換的等級(jí)人數(shù)占比與各等級(jí)的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間.

等級(jí)ABCDE

原始分從高到低排序的等級(jí)人約15%約35%約35%約13%約2%

數(shù)占比

轉(zhuǎn)換分7的賦分區(qū)間[86,100J[71,85][56,70][41,55]130,40J

Y-VT-T

附2：計(jì)算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：-2—=，—（其中：打，力別表示原始

丫-丫1T-Ti

分y對(duì)應(yīng)等級(jí)的原始分區(qū)間下限和上限；T\,乃分別表示原始分對(duì)應(yīng)等級(jí)的轉(zhuǎn)換分賦分

區(qū)間下限和上限.7的計(jì)算結(jié)果按四舍五入取整）.

20.（12分）將長(zhǎng)（45）、寬（BC）、高（AAi）分別為4,3,I的長(zhǎng)方體點(diǎn)心盒用彩繩做一

個(gè)捆扎，有如下兩種方案：

方案一：如圖（1）傳統(tǒng)的十字捆扎；

方案二：如圖（2）折線法捆扎，其中4E=F8=BG="Ci=Ci/=〃）=￡>K=LAi=l.

（1）哪種方案更省彩繩？說明理由;

（2）求平面EFK

2

21.（12分）己知橢圓馬盤=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)/（c,0）（b>c

a%

>0）和點(diǎn)A,直線6x-5y-14=0交橢圓于3,C兩點(diǎn)，且尸恰好為AABC的重心.

（1）求橢圓離心率；

（2）拋物線/=2px的焦點(diǎn)是F,P為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線PD,

PE,切點(diǎn)分別為。，E,直線x=0與直線尸￡>,PE分別交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M,N的縱

坐標(biāo)分別為m,n,求mn的值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+1)e",其中

(1)若/(x)的極值為1,求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若對(duì)任意x20,有/(x)〈L+1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

2021年遼寧省本溪高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={-1,0,1},B={x,?},若ACB=B,則實(shí)數(shù)x=（）

A.-1B.1C.±1D.0或±1

【解答】解：?.?集合A={-1,0,1},B={x,7},AHB=B,

??X-1?

故選：A.

2.（5分）盒子中有4個(gè)球，其中3個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)在從盒中隨機(jī)無放回地取球，每

次取出一個(gè)，直到取出紅球?yàn)橹?則取出3個(gè)球停止的概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

3468

【解答】解：取出3個(gè)球停止是指前兩次都取到白球，第三次取出紅球，

由相互獨(dú)立事件概率乘法公式得：

取出3個(gè)球停止的概率為：

尸r=3—x乂2-x乂—1=1—,

4324

故答案為：1.

4

故選:B.

3.（5分）2021年2月13日，中國詩詞大會(huì)第六季比賽如約而至.在某場(chǎng)比賽中，有甲、

乙、丙、丁、戊五位選手，有機(jī)會(huì)爭(zhēng)奪該場(chǎng)擂主.觀看比賽的三名詩詞愛好者，對(duì)本場(chǎng)

比賽的描主進(jìn)行了如下猜測(cè).小張：冠軍是甲或丙：小陳：冠軍一定不是乙和丙：小亮:

冠軍是丁或戊.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)：三人中只有一個(gè)人的猜測(cè)是對(duì)的，那么擂主是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：假設(shè)小張是正確的，冠軍是甲或丙，冠軍只有一個(gè)，

若冠軍是甲，則小陳說冠軍一定不是乙和丙，就是說可能是甲或丁或戊，則小陳猜的也

是對(duì)的，與題意矛盾，故冠軍不是甲；

若冠軍是丙，則甲，乙，丙，戊都不是冠軍，小陳說一定不是乙和丙是錯(cuò)的，小亮說冠

軍是丁或戊也是錯(cuò)的，符合題意，故冠軍是丙.

故選：C.

22

4.（5分）已知圓錐曲線C：J_=l（/eR,樣0,樣-1）上滿足|OM=1的點(diǎn)M共

t+1t

有4個(gè)，則此圓錐曲線C的離心率在下面的四個(gè)選項(xiàng)中不可能取的值為（）

A.V3B.V2C.遮D.返

22

【解答】解：若曲線為雙曲線時(shí)，即有<0,可得-IVfVO,0<r+l<L

22

所以三一-二=1,曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,

t+1-t

且滿足4個(gè)點(diǎn)M到。的距離為1,而"=J-由于-1<f<0,

Vt+1

所以6=以=>1,所以A,8都可能取得;

V1+t

當(dāng)曲線為橢圓時(shí)，f>0,且小<1，即

又e=r］，可得返<e<l,所以C可以取得，而。不可能取得.

Vt+12

故選：D.

5.（5分）在三角形ABC中，AD=2DB?AE=2EC，P為線段OE上的動(dòng)點(diǎn),若強(qiáng)=/族+疝正,

入，HGR,則/+加=()

A.1B.2C.3D.2

32

【解答】解：

A

為線段。E上的動(dòng)點(diǎn)，即。、P、E三點(diǎn)共線,

A^AP=XAD+HAE,入+猿=1，

VAD=2DB-AE=2EC)

??AD-fAB.AE=^-AB>

.-*9—*9—?9—?9—?

??AP=人AB+WAC=-入ABqNA。

OOOo

又；AP=/AB+，〃AC，

?1_22―2[[

??入，m--|1，

oo

l+m="|-九4H4（入+W

ooO0

故選：B.

6.（5分）虛數(shù)單位，?的平方根是（）

A.-1B.-返一返i

_22__

C.返+返iD,返+返,?或-返-返i

222222

【解答】解：設(shè)z=a+6i（a,bER）,Kz2=i,

貝（]Ca+bi）2=a1-lr+2abi=i,

故選：D.

7.（5分）一條傾斜角為60°的直線與拋物線f=4x交于不同的A,3兩點(diǎn)，設(shè)弦4B的中

點(diǎn)為C過C作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)。，則以。為切點(diǎn)的拋物線的切線的斜

率為（）

A.-1B.273C.73D

3-V

【解答】解：由題意可設(shè)直線方程為丫=百乂+5

底q”Mx+b?9

聯(lián)H2，得3x%（2愿b-4）x+bZ=0-

y=4x

設(shè)A（xi,yi）,B（X2,”），

,XI+X2=則xf-fb，yc=V3xc+b=-^'

2>

yD=^代入'=4x'得XDA，

oo

由y1=4x,得y=±24，

在x軸上方,^?y=2yfx1,得y'

77

以D為切點(diǎn)的拋物線的切線的斜率為

故選：C.

8.(5分)已知無€(1,2),Q=2X、b=(2D2,c=22"則〃，b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【解答】解：xe(1,2)時(shí)，?<2-v,所以2乂2<22”,即a<c；

又(2D2=2汽xe(1,2),2x>2x,所以2緘>22"，即b>c；

所以〃，。，c的大小關(guān)系為b>c>a.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。

3X-X2,0<X《2

9.(5分)已知函數(shù)/G)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=mG-2)

9x2

x

mWR,那么函數(shù)g(x)=f(x)-2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

A.2B.4C.6D.8

3x-x2,0<x42

【解答】解：當(dāng)工>0時(shí)，/(x)={m(x-2)、，

9XCt

X

當(dāng)0<^<2時(shí)?，令3工-7=2,解得x=l或2共有兩個(gè)解；

當(dāng)x>2時(shí)，令賦■仁2)=2,即(m-2)x=2m,

x

當(dāng)m=2時(shí)，方程無解，

當(dāng)相>2時(shí)，方程有解》=①>2,符合題意，

m-2

當(dāng)初V2時(shí)，方程無解，》=①<2,符合題意，

m-2

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2有2個(gè)或3個(gè)根，

而函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)=f(JC)-2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是4或6,

故選：BC.

10.(5分)如圖，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)0、半徑為1的半圓上有一動(dòng)點(diǎn)P,A,B是半圓與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，過P作直線垂直于直線AB,M為垂足.設(shè)NAOP=a,則下列結(jié)論正確的

B.若a€[0,-ZL),則a>sina

2

c.若ae(0,n),則|面il+lMl22|西I

D.若ae[0,ft],則解|+|P用的最大值為2

TT

【解答】解：sina+cosa=Msin(a+~^->

??_/JT\?TV_/7T3兀\

.aG(0,----),??a-L—G(-----.———),

2444

則sina+cosa=&sin(a(1,?),故A正確；

若ae[0,-2L.),當(dāng)a=0時(shí)，a=sina,故B錯(cuò)誤；

2

若ae(0,n),由于“為垂足，始終在AB上，得|而|+|京|=2，

而P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，...當(dāng)P為半圓與y相交點(diǎn)時(shí)，|而|最大為1,/.

I而1+1房|22|而I成立，故C正確；

若aC[0,n],當(dāng)P在半圓與y相交點(diǎn)時(shí)，|附|+|PB|=2加，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.(5分)如圖，正方體A8CO-4B1C1。的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M,N,P分別是平面AOCiA、

平面C￡>。。、平面ABCD的中心，點(diǎn)Q是線段AiCi上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.PN與Ai。所成角為三

3

B.D點(diǎn)到平面MNP的距離為叵7

3

C.三棱錐M-NPQ的體積為定值L?

24

D.直線。Q與平面44CG所成角的正切值的最大值為工

2

【解答】解：對(duì)于A,連結(jié)CID,NP,BD,AIB,

因?yàn)镹,P分別是CiD和BD的中點(diǎn)，則NPHC\B,

所以PN與4cl所成的角即為G8與4。所成的角，即/AGB,

又4Ci=BCi=4B=&a,則N4CIB=2L,故選項(xiàng)A正確;

3

對(duì)于8,NP=LRC=反a，同理可得MN=MP=Y0

2叫22a'

則三棱錐D-MNP為棱長(zhǎng)為返a的正四面體，

2

故點(diǎn)D到平面MNP的距離為返*返a巫a，故選項(xiàng)B正確;

323

對(duì)于C,因?yàn)镸NHAC,ACHA\C\^MNHA\C\.

又ACiC平面MNP,MNu平面MNP,即AiCi〃平面MNP,

又點(diǎn)。是線段4cl上的動(dòng)點(diǎn),

則點(diǎn)。到平面MNP的距離為定值，且與點(diǎn)Ai到平面MNP的距離相等,

又M為40的中點(diǎn)，則點(diǎn)4到平面MNP的距離與點(diǎn)。到平面MNP的距離相等，均為

故三棱錐M-NPQ的體積VM-NPQ=VD-MNP=

4X4X（挈a）?Xsin萼X坐aja劣故選項(xiàng)C正確；

3223324

對(duì)于。，在正方體中，可知平面ACC4,

則直線OQ與平面AiACCi所成的角即為/OQP,

所以tan/QQP=1E?，又。尸=返定

PQ2

則tan/Z）QP取最大值，PQ要取最小值為a,

在

此時(shí)tanNL>QP=2_lNl,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

a2

故選：ABC.

12.（5分）已知無窮等差數(shù)列｛斯｝的公差旄N*,S”為其前"項(xiàng)和，且5,23,29是數(shù)列｛斯｝

中的三項(xiàng)，則下列關(guān)于數(shù)列｛“”｝的選項(xiàng)中，正確的有（）

A.d"tax=6

B.S3W2a4

C.數(shù)列｛sin””｝為單調(diào)遞增數(shù)列

D.>43一定是數(shù)列｛a〃｝中的項(xiàng)

【解答】解：由23-5=18；29-23=6,"6N*,因此公差d是6和18的公約數(shù)，即d

=1、2、3或6,A正確，

若的=5,d=\,則$3=5+6+7=18,而2a4=2X8=16<18,8錯(cuò),

若ai=2,d=l則“2=3,“3=4顯然有sin2>sin3>sin4,C錯(cuò);

因?yàn)?43-29=114=6XI9=kd（髭N*）,所以。正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）在四面體A8CD中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△A3。是以8。為斜邊

的等腰直角三角形，平面A8DL平面ABC,則四面體ABC/）的外接球的表面積為6TT.

【解答】解：???△AB。是以80為斜邊的等腰直角三角形，...ABLA。，

又?.?平面A8OJ_平面ABC,平面A8DD平面A8C=AB,

，D4_L平面ABC,則D4_L4C,可得D4、AB.AC兩兩相互垂直，

且DA=AB=AC=^-x2=V^，

以A為頂點(diǎn)，以AB、AC、AO為過A點(diǎn)的三條棱構(gòu)造正方體，

可得四面體ABCD外接球的半徑R=S（物2+（物2+（祀）2隹,

四面體ABCD的外接球的表面積為22-

4n/?=4nX=r6加

故答案為：6n.

A

DB

C

14.（5分）安排高二年級(jí)一、二兩個(gè)班一天的數(shù)、語、外、物、體，一班的化學(xué)及二班的

政治各六節(jié)課.要求體育課兩個(gè)班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的

化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié)；其他語、數(shù)、外、物四科由同一任課教師分班上課,

則不同的排課表方法共有5400種.

【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①體育課要求兩個(gè)班一起上，但不能排在第一節(jié)，體育課的排法有5種；

②一班的化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié)，則這兩節(jié)的排法有5種；

③剩下四科，不能安排在同一節(jié)上課，假設(shè)安排在第一、二、三、四四節(jié)，

對(duì)于一班，有A44種安排方法，假設(shè)語文排在第一節(jié)，

對(duì)于二班，語文不能排在第一節(jié)，有3種排法，剩下3科有3種排法，

則剩下4科有24X9=216種排法；

故有5X5X216=5400種排法；

故答案為：5400.

15.（5分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為〃、b、c,若則c的

最大值為2L.

—3—

22

【解答】解：：/+62=2。2,即02=a+b,

2

262

2,2a+b

2.,22a+b--2.,2,.

，由余弦定理得：cosC=———-=-----------------------=且——L^_^2oab（當(dāng)且

2ab2ab4ab4ab2

僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

.?.C的最大值為三.

3

故答案為：2L

3

16.（5分）設(shè)某組數(shù)據(jù)均落在區(qū)間[10,60]內(nèi)，共分為[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,

50）,[50,60]五組，對(duì)應(yīng)頻率分別為0,02,P3,P4,P5.已知依據(jù)該組數(shù)據(jù)所繪制的頻

率分布直方圖為軸對(duì)稱圖形，給出下列四個(gè)條件：

①pi=0.1,P3=O.4；

②P2=2p5；

③P1+P4=。2+，5=0.3;

?p\W2p2W4P3W2P4Wp5.

其中能確定該組數(shù)據(jù)頻率分布的條件有①④.

【解答】解：已知P1=P5，P2=P4，且Pl+P2+P3+P4+P5=l，

若選擇①，pi=0.1,03=0.4,則可得p2=0.2,p4=0.2,p5=0.1,符合題意；

若選擇②，P2=2〃5，則〃3+6pi=l,不能求出pi，P3,不符合題意；

若選③，P1+P4=P2+P5=O.3,則可得P3=O.4,但是pi，P2，〃4，P5的解不能確定，不符

合題意；

若選④，piW2P2<4p3W2P4wP5,則p\=2P2=4P3=2.4=P5，可解得

P3$'P廣P5哈，P2=P4*’符合題意?

故答案為：①④.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步強(qiáng)

17.(10分)已知等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列｛d｝滿足，的=2,加=1,。2=歷,“3=%-2.

(1)求｛斯｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列｛斯｝中去掉數(shù)列｛d｝的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列｛Cn｝,求

CI+C2+C3+…+500的值.

【解答】解：(D設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4,等比數(shù)列｛加｝的公比為q,

由卜&+d,解得(d=2,

,q3-2=2+2d?q=2

??dn~—2+2(〃-1)=2ft,

n-1n-1

bn=lX2=2=

(2)由=2〃,b=2kL

得加=1,歷=2=m，〃3=4=。2，^4=8=04，加=16=〃8，

/?6=32=。16，〃7=64=。32，Z?8=128=464，人9=256=。128.

C1+C2+C3+***+c100=（。］+。2+〃3+八?+〃107）-（人2+為+84+人5+66+力7+68）

107X(214)

-f-254=11302-

18.(12分)在△ABC中，設(shè)ir=CcosB,-sinB),n—(cosC,sinC),已知ir,n=2.

2

(1)求角A;

(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為。，若,求cosC.

從以下兩組條件中任選其一，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

①sinN8AO=Lsin/C4r>；?B<C,AD=^2LBC.

214

【解答】解：(1),.'w,rt=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-COSA=A,

2

又(0,n),

.,2兀

.?A-

(2)選①，設(shè)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,

在△CAO中，由正弦定理可得，一尊一=一空----

sin/CADsin/ADC

在△54。中，由正弦定理可得，一里一=一些----

sin/ADBsin/BAD

AADB+AADC=u,

.?.sinNA￡>B=sin(TT-ZADC)=sin/AOC,

又的中點(diǎn)為O,s\nZBAD=ls\nZCAD,

2

:.BD=CD,AB=2AC,即c=2b,

由余弦定理可得,a=7b2+c2_2bc.cosA=^4b2+b2_4b2,(J.)

ca2+b2-c2-7b2+b2-4b2247

c°Q2ab-一聽2:7.

19.(12分)2021年某省開始的“3+1+2”模式新高考方案中，對(duì)化學(xué)、生物、地理和政治

等四門選考科目，制定了計(jì)算轉(zhuǎn)換分T(即記入高考總分的分?jǐn)?shù))的“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分規(guī)

則”(詳見附1和附2),具體的轉(zhuǎn)換步驟為：

①原始分y等級(jí)轉(zhuǎn)換；②原始分等級(jí)內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分.

某校的一次年級(jí)統(tǒng)考中，政治、化學(xué)兩選考科目的原始分分布如表：

等級(jí)ABCDE

比例約15%約35%約35%約13%約2%

政治學(xué)科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等級(jí)對(duì)應(yīng)的原始分區(qū)間

化學(xué)學(xué)科[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

各等級(jí)對(duì)應(yīng)的原始分區(qū)間

現(xiàn)從政治、化學(xué)兩學(xué)科中分別隨機(jī)抽取了20個(gè)原始分成績(jī)數(shù)據(jù)如下:

政治化學(xué)

個(gè)位數(shù)十位數(shù)個(gè)位數(shù)

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）該校的甲同學(xué)選考政治學(xué)科，其原始分為86分，乙同學(xué)選考化學(xué)學(xué)科，其原始分

為93分.基于高考實(shí)測(cè)的轉(zhuǎn)換賦分模擬，試分別計(jì)算甲乙同學(xué)的轉(zhuǎn)換分，并從公平性的

角度談?wù)勀銓?duì)新高考這種“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分法”的看法.

（2）若從該?；瘜W(xué)學(xué)科等級(jí)為A、3的學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人轉(zhuǎn)換分不低于

90分的有t人，求？的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附1：等級(jí)轉(zhuǎn)換的等級(jí)人數(shù)占比與各等級(jí)的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間.

等級(jí)4BCDE

原始分從高到低排序的等級(jí)人約15%約35%約35%約13%約2%

數(shù)占比

轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

附2：計(jì)算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：Y—-V=，T—-T（其中：H，力別表示原始

丫-丫1T-Ti

分丫對(duì)應(yīng)等級(jí)的原始分區(qū)間下限和上限；T1，乃分別表示原始分對(duì)應(yīng)等級(jí)的轉(zhuǎn)換分賦分

區(qū)間下限和上限.T的計(jì)算結(jié)果按四舍五入取整）.

【解答】解：（1）甲同學(xué)選考政治學(xué)科原始分為86分，

根據(jù)等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：型竺解得T=90,

86-81T-86

乙同學(xué)選考化學(xué)學(xué)科原始分為93分,

根據(jù)等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：100-93J00-T,解得T=9O,

93-90T-86

故甲乙兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)換分都為90分；

從公平性的角度談?wù)剬?duì)新高考這種“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分法”的看法：

①從已知可得甲乙通項(xiàng)原始分都排第三，轉(zhuǎn)換后都是90分，

因此高考這種“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分法”具有公平性與合理性；

②甲同學(xué)與乙同學(xué)原始分差7分，但轉(zhuǎn)換后都是90分，

所以高考這種“等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分法”對(duì)尖子生不利；

（2）該?；瘜W(xué)學(xué)科原始分為93分時(shí)，根據(jù)等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：100-93J00-T,可

93-90T-86

得T=90,即原始分低于93分的轉(zhuǎn)換分低于90分，

所以轉(zhuǎn)換分不低于90分的由3人，低于90分的有5人，

W的所有可能取值為0,1,2,3,

CcC

所以p（?=0）=T=a,

C328

r1「2

P（日）=-35.=互

娼28

O

51

PG=3)=-4-=-L,

Co56

故S的分布列為:

0123

P515151

28285656

所以E(E)=OX_L+1X［互+2X至+3X_L=g.

282856568

20.（12分）將長(zhǎng)CAB）,寬（BC）、高（A41）分別為4,3,1的長(zhǎng)方體點(diǎn)心盒用彩繩做一

個(gè)搠扎，有如下兩種方案：

方案一：如圖（1）傳統(tǒng)的十字捆扎；

方案二：如圖（2）折線法捆扎，其中4E=FB=BG=/7CI=CI/=JO=OK=LAI=1.

（1）哪種方案更省彩繩？說明理由；

(2)求平面EFK與平面GU所成角的余弦

yr

【解答】解：(1)方案②更省彩繩.理由如下:

方案①中彩繩的總長(zhǎng)度為/=2X(4+3)+4=18,

方案②中彩繩的總長(zhǎng)度為機(jī)=2X旄+6XJ，＜2X2.5+6X1.5=14,

故方案②更省彩繩.

(2)以。為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則E(3,1,1),F(3,3,0),K(1,0,0)G(2,4,0),/(0,3,1),J(0,1,0),

/.KE=(2,1,1),KF=(2,3,0),JG=⑵3,0),元=(0,2,1),

設(shè)平面EFK的法向量為'=(x,y,z),則白巴=°,Bp(2x4y+Z=°.

,m-KF=02x+3y=0

令y=l,貝!Jx=-3,z=2,ir=(-—,1,2),

22

同理可得，平面G〃的法向量為惹=(-苣，1，-2),

2

——-Y+1-4

?■?cosV-ir，一n、>-一----=-m---*-n=----_-1v4------入_”—~——3，

lm|?|n|槨+1+4X.+1+429

由圖可知，平面EFK與平面G〃所成角為鈍角,

故平面EFK與平面GIJ所成角的余弦值為-A.

29

22

21.（12分）已知橢圓2_「_=1（">匕>0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)F（c,0）Ch>c

2,2

ab

>0）和點(diǎn)A,直線6x-5y-14=0交橢圓于B,C兩點(diǎn)，且下恰好為AABC的重心.

（1）求橢圓離心率；

（2）拋物線/=2℃的焦點(diǎn)是F,P為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線PD,

PE,切點(diǎn)分別為。，E,直線x=0與直線P￡>,PE分別交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M,N的縱

坐標(biāo)分別為小，幾,求優(yōu)〃的值.

【解答】解：（1）由題意可知，F(xiàn)（c,0）,A（0,b）,

設(shè)3（xi,y\）,C（股，”），線段3C的中點(diǎn)為G（x（）,yo）,

由三角形重心的性質(zhì)可知，AF=2FG，即（C,-b）=2（xo