2022新教材北師大版高中數(shù)學必修第一冊第四章 對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù) 課時練習題及章末測驗含答案解析

第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)的概念...........................................................1

2、對數(shù)的運算...........................................................5

3、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.........................................10

4、對數(shù)函數(shù)圖象及性質的應用............................................14

5、指數(shù)函數(shù)、暴函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較...............................19

章末檢測................................................................25

1、對數(shù)的概念

一、選擇題

1.將@.=9寫成對數(shù)式，正確的是（）

A.log91=—2B.logl9=-2

C.logl（-2）=9D.logK—2）=4

33

B[根據對數(shù)的定義，得logl9=-2.]

3

2.已知log3=2）5則1g的值為（）

A.2B.3

C.8D.9

,o

B[V2^=l,Alog1,3=l,Aa=3.]

3.己知log38=3,則x的值為（）

1

A.-B.2

乙

C.3D.4

B[由定義知爐=8,所以x=2.]

4.方程的解是（）

A.x="zB.

KJ

C.D.x=9

A[V2,u^=1=22,

iog3x=-2,

.??矛=3-2=，

K2

5.設f(x)=]2i―則以『（2））的值為（）

ll0g3A"-1,2

A.0B.1

C.2D.3

2

C[VA2)=log3(2-1)=log33=l,

??.f(f(2))=f(l)=2ei=2Xe°=2.]

二、填空題

6.方程log3(2x—1)=1的解為x=.

2[原方程同解于log3(2x-1)=log.3所以2x—1=3,x=2.]

7.log6[log.t(log381)]=.

4

0[JM5^=1og6[1ogI(1og33)]=1og6(1og14)=log6l=0.]

8.若log,,2=R,log.3=〃，則產"=.

12[V1oga2=加，1oga3=/?,

：.a=2fH=3.

???齊=(獷?^=22X3=12.]

三、解答題

9.求下列各式中的x

3

(l)log2(log5^)=l；(2)log.8=-

[解](1)由log2(logsA)=l得log5^=2,

x=25.

o

(2)由log*8=1得xT=8,

.，?x=8孑，即x=(23)等，

x=2'=16.

10.己知10歐9=&1。&忑4=6,求1821'的值.

[解]Vlogi89=a,log1854=Z?,

???18"=9,18〃=54,

.任…_宜_邑

?,18-18〃-54一2.

11.(多選)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有()

A.e°=1與In1=0

B.1og：？9=2與9~=3

C.8/=之與108町=一§

D.Iog77=l與T=7

ACD[kg39=2化為指數(shù)式為下=9,故E錯誤，ACD正確.

Y

12.己知A2r+1)=-,則A4)=()

O

A.^log25B.-log23

24

C.-D.-

oJ

B[令2"+l=4,得x=log23,所以/'(4)=[og23.]

13.利用對數(shù)恒等式箸(於0,且A>0).計算:

(2)2<3+>og23)+3<2-log39)=.

(1)8(2)25]⑴(另—一二仁廠.

/1\l°8_L4

(y)2=2X4=8.

(2)2(3+log23)4-3(2-,og39)=23X2,og23+-^T=8X3+4

310g399

=25.]

?yl■的值為

14.己知log2(log3(log.1x))=0,且logNlog2y)=1.

64[Vlog2(log3(logi^))=0,

/.log3(log4x)=1,

；?logM=3,

^=43=64.

由log^logz^)=1,知log2y=4,

???y=2'=16.

因?yy=y[64'X167=8X8=64.]

15.已知log”6=108%a(a>0且aWl；力0且bWl),求證：a=?；騛=*

k

[證明]設log#6=log±a=k,則b=皆,a=bt

：.b=3T=bM.

??"〉0且際1,

工米=1,即衣=±1.

當4=—1時，<3=p

當才=1時，a=b.

a=b或a=~.

b

2、對數(shù)的運算

一、選擇題

1.若ab>0,給出下列四個等式：

a

①lgQb)=lga+lg仇②1g7=lga—lgb；

b

磅啕=lg*④lg(a6)=W^

其中一定成立的等式的序號是()

A.①②③?B.①?

C.③④D.③

D[VaZ>>0,Aa>0,力>0或3V0,，V0,二①②中的等式不一定成立;

V<aZ?>0,=2乂21吟=1黨,.,?③中等式成立；當ab=\時,lg(aZ?)

=0,但logJO無意義，，④中等式不成立.故選D.]

2.己知力0,log5Z?=^,lgb=c,5^=10,則下列等式一定成立的是()

A.d=acB.a=cd

C.c=adD.d=a-\-c

B[由已知，得a=JQ,d=%~t所以a=cd]

lg5lg5

3.若lgxTgy=tf則lg?一lg(9=()

3

A.3fB.-t

乙

C.tD.

乙

A口弱一lg?=3嗚一3嗚=3嗚=3（至x—lg0=32]

4.根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限"約為3枷，而可觀測宇宙中

M

普通物質的原子總數(shù)N約為1O80.則下列各數(shù)中與可最接近的是（）

（參考數(shù)據：lg3Po.48）

A.1033B.1053

C.1073D.1093

u336,

D[由題意，1gy=lg守=lg336,-lg1080=3611g3-801g

10=361X0.48-80X1=93.28.

又1g10^=33,1g1053=53,1g1073=73,1g1093=93,

故與幅接近的是10”.故選D.]

1V

5.3182-2183=()

A.0B.1g2

C.1g3D.1g6

A[令43-22bt3,

則1g41g21g3,1g日g31g2,

Alg.l/=lgN,:?M=N,

???3以2一2y3=-0.]

二、填空題

6.已知log,2=%，log,v3=/7,則log48=_.(用力，〃表示)

22

加+2〃[logJ8=log,J(2X3)=log.12+log,,3=log；2+21og,3=/?+2/7.]

7.計算上③司g4+(27)4=______.

lg23

12[由指數(shù)和對數(shù)的運算法則，得

應討1+⑵)-K+⑺打黑+3.巖+9=3+9=12.]

x

8.若lgx+lgy=21g(x—2y),則]=

4[因為lgx+lgy=21g(x—20，

[x>0,y>0,

所以|x-2y>0,

Vxy=x—2y2.

由xy=(x—2y)2,知f-5燈+4/=0,

所以x=y或x=4y.

又x>0,y>0且%—2y>0,

x

所以舍去彳=%故x=47,則,=4.］

三、解答題

9.用log/,logj,log,z表示下列各式：

(1)logKVyz)；(2)logw—；(3)loga為.

［解］⑴log.(Vyz)=10gzy+logj+log,,z=21og/+logj+logM.

(2)log.無=1Oga*—log.、(yz)=21og/—(log?y+log“z)=21og/—logj-

log,

(3)log,y|=log,^￥—log/7(yz)=glog/-21ogj-log“z.

10.計算：

32

(1)21og：,2—1og3—+log：i8；

12

⑵log3(9X27)+log26—log23+log,3Xlog：16.

39

［解］(1)原式=log34—log3T+log38=log：S=2.

KZ

6

(2)JM=logs(32X36)+log-+logi3?21og4=1og3K-F1og24-2=11.

o2332

11.(多選)實數(shù)小〃滿足2*=5/'=10,則下列關系不正確的有()

1,12,1

A.-+T=1B.-+T=2

abab

1,21,21

c.-+7=2

abD-3=5

BCDb=log/0'人=1。媼0,!+*=/+彘=32+lg5=1,故

A正確.

221

1g4+lg5=lg20W2,故B不正確.

ablog210'log510

1212

二+工=1八~1八+1—in=lg2+lg25=lg50,故CD不正確?故選BCD.]

au1Og21vlogsLU

o

12.己知2*=9,2，=w，則x+2y的值為()

o

A.6B.8

C.1D.log48

oo

A[由2*=9,得klogz%由2，=*得尸log2§,

8888

/.x-\-2y=1og9+210g-=21og3+21og-=2(1og3+1og-)=21og(3X-)

22J22J22J2J

=21og28=2X3=6.]

13.設&b,。為正數(shù)，且滿足才+4=/.

(l)log2^l+log[l+^7^j=；

(2)若log8(a+b—c)=,,則■+/+，=.

Ia/oo

(1)1(2)3[(1)原式=log[[l+^^?

a+b-

=10g2__蔡

a-\-b2—4十斤

*嬴

=log22=l.

(2)由log(l+T"^=l,得一3a+8+c=0,①

2

由logKa+Z?—c)=W，得a+方一c=4,②

由題設知4+^=占③

由①?③及a,b,c為正數(shù)，可得a=6,b=8,c=10.

bt、id+6+。6+8+10.

所以-8―=-8—=1]

14.下列表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的：

X358915

lgX2a-ba+c3—3a—3c4a—2b3a-6+c+1

請將錯誤的一個改正為k

153a—b+c［由lg9=21g3,對照表格可知3,9的對數(shù)值沒錯，1g8

=31g2,所以1g8=3—3己一3c等價于lg2=1—a—c,比較lg5=a+a由

lg2+lg5=1可知lg5,lg8的值沒錯，而lg15=lg3+lg5=3a—6+c,

所以表格中l(wèi)g15錯誤，應改為：lg15=3a—6+c.］

15.若a,?是方程2(lgx)?一萬律+1=0的兩個實根,求lg(ab)?(log力

+log㈤的值.

［解］原方程可化為2(lgx)2—41gx+l=0(x>0).

設t=lgx,則方程化為2^—41+1=0,

灰=2,tx?t2=7.

又,：&6是方程2(lgx)2-lgV+l=0的兩個實根，

AZ-i=lga,f=lgb,BPlga+lgb=2lga?lgb=-

2f乙

/.lg(aZ?)?(log力+log㈤

=(lga+lg。)?窗+曾

lg力>+lga

=(lga+lgb)?

lgw?lgb

lga+lgb_21ga?lgb

=(lga+lgZ?)?

lga?lgb

22-2x1

=2X——j——=12,

2

即lg(aZ?)?(log力+log道)=12.

3、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質

一、選擇題

立一4

1.函數(shù)F(x)=的定義域是（)

lgx—1

A.［4,+8)B.(10,+8)

C.(4,10)U(10,+8)D.［4,10)U(10,+8)

7-420,產4,

解得《xW10,

D［由vlgx—1#0,??且#10,

l%>0,

、>>0,

???函數(shù)F(x)的定義域為［4,10)0(10,+?>).故選D.］

2.函數(shù)F(x)=log2X,且F(力)>0,則力的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D.R

C［結合F(x)=log2X的圖象可知，時，ni>\.}

3.函數(shù)y=log2X的定義域是M值域是此則.VGN等于()

A.MB.N

C.0D.R

A\_M=(0,+8),A-R,則"C/V三(0,+8)="］

4.函數(shù)y=4'的反函數(shù)是()

A.y=4xB.y=x

Cy=logr4D.y=log,^

［答案］D

數(shù)，過定點(0,1);對數(shù)函數(shù)尸log/在(0,+8)上是增函數(shù)，過定點(1,0).故

選C.]

二、填空題

6.函數(shù)f(x)=12—log2X的定義域是.

(0,4][由2—log?*2。,得1密后2,又x>0,

A0<A<4.]

log2x,x>0,則“朋

7.已知函數(shù)Ax)=

3",xWO,

I"08）=小密（|6（-2）=3-2=.

8.函數(shù)f(x)=log2X在區(qū)間[a,2a](a>0)上最大值與最小值之差為

1[??"(才)=1og2x在區(qū)間[42目上是增函數(shù)，

，f(x)nax—f(x)min=f(2a)—f(a)=log2(2a)—log2a=1.]

三、解答題

9.求函數(shù)尸10g2x+i°g35—2的定義域.

x〉0,

［解］由題意知,3x—2>0,

log33x—2WO,

%>0,

22

故有不<水1或x>l,

oo

、3x—2Wl,

所以原函數(shù)的定義域是卜：〈水1或x>l\

10.當勿為何值時，關于力的方程Ilog2(x—1)I=卬無解？有一解？有兩解？

[解]在同一坐標系，分別作出函數(shù)尸門og2(x—l)I和尸勿的圖象，如圖

所示.

y=|log2（x-l）|

由圖象得：當冰0時，方程無解；

當加=0時，方程有一解；

當%>0時，方程有兩解.

11.(多選)己知/'(x)=lg(10+x)+lg(10-X),則/U)()

A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.在(0,10)上單調遞增

D.在(0,10)上單調遞減

10+x>0,

BD［由《八、八得彳￡(一10,10),故函數(shù)△/)的定義域為(一

.10—x>0

10,10),因為Vx￡(—io,10)都有一*￡(-10,10),且A-%)=lg(10—x)+

lg(10+x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x),y=100—*在(0,10)上遞

減，尸lgx遞增，故函數(shù)F5)在(0,10)上遞減.］

12.方程-log2X=0的解的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.不確定

B［在同一坐標系中畫出函數(shù)尸停)與y=log2X的圖象，如圖所示.

由圖知它們的圖象只有一個交點，即方程(g)=log2*僅有一個解.〕

13.已知函數(shù)/'(x)=Iloglx|的定義域為m,值域為[0,1],則勿的取

2L*」

值范圍為.

[1,2][作出f(x)=llogl削的圖象(如圖)可知一俯=〃2)=1,/(1)=0,

由題意結合圖象知：1這卬＜2.

14.已知f(x)為定義在區(qū)間(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，當x￡(0,

+8)時，/(x)=log2X

當才仁(一8,0)時，函數(shù)/tv)的解析式為.

f{x}=log2(—x)［設xE(—8,o),則一(0,+8),

所以_f(—x)=log2(-X),

又f(x)為定義在區(qū)間(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，

得/'(一x)=f(x),所以f(x)=log2(-x)(X￡(-8,0)).］

15.已知/'(x)是對數(shù)函數(shù)，并且它的圖象過點(2s，|j,g(x)=/(x)-

2b?F(x)+3,其中Z?eR.

(1)求函數(shù)FCr)的解析式；

(2)求尸g(x)在［鏡，16］上的最小值.

［解］(1)設/'5)=1084(己>0,且aWl),

???F(x)的圖象過點(2/，!!

33

：.f(2y［2)=-,即］og外「=5,

af=2^2=2T,即3=2,F(x)=log2X.

⑵設t=f{x),則尸g(x)=d—2bt+3=(2—6)2+3—〃=加(力，

???^WA<16，???］W1O&A<4，

即I，4,函數(shù)加（。的圖象的對稱軸方程為t=b.

①當慶輛,勿（力在T，4上是增函數(shù),為n={3=?i；

②當1＜從4時，勿（。在:，6上為減函數(shù)，在（6,4］上為增函數(shù)，為產勿（力）

乙|_2

—3—Z?2；

③當624時，勿（。在4上是減函數(shù)，為尸加⑷=19—86.

「3,

乙

綜上所述,乂in=R3一次!<K4,

乙

119-8Z?,224.

4、對數(shù)函數(shù)圖象及性質的應用

一、選擇題

1.己知函數(shù)〃入)=1。82。+2一”),則函數(shù)的值域是()

A.[0,2)B.(0,+8)

C.(0,2)D.[0,+8)

B[F(x)=log2(l+2—>???1+2->1,???log2(l+2一人>1,?,?函數(shù)/*(力的值

域是(0,+8),故選B.]

2.己知實數(shù)a=log45,力=?,c=log30.4,貝I」ab,c的大小關系為()

A.b<c<aB.僅水。

C.c<水bD.c<Ka

D[由題知，a=log.i5>l,6=0=1，log30.4<0,故K伙a]

3.函數(shù)f(x)=|log2x|的單調遞增區(qū)間是()

3

A.(0,|B.(0,1］

C.(0,4-oo)D.［1,+8)

D［F(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調遞增區(qū)間為［1,+8).

22

A.n<水1B.nKn<l

C.1〈水〃D.1<次加

D[因為0<3<1,log,水logl水0,所以勿>〃>1,故選D.]

z22

5.若函數(shù)F(x)=logjx+l|在(-1,0)上有F(x)>0,則/'(x)()

A.在(一8,0)上是增函數(shù)

B.在(一8,0)上是減函數(shù)

C.在(一8,—1)上是增函數(shù)

D.在(一8,—1)上是減函數(shù)

C［當一1〈.￥<0時，0<彳一1<1.

Vlogjx+l|>0,/.0<a<l,

，函數(shù)f(x)=log/x+l在(-8,—1)上遞增，在(-1,+8)上遞減.]

二、填空題

6.設/'(x)=lgx,若則實數(shù)a的取直范圍為

(0,號［由題意，f(?=lgx在(0,+8)上單調遞增，因為丹1一切一

/(a)>0,所以1一金及0,所以

7.已知函數(shù)y=log<2—ax)在［0,1］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

(1,2)［令u=2—ax,則y=logM因為a>0,所以〃=2—ax遞減，由題

意知y=log“u在［0,1］內遞增，所以a>l.又〃=2—ax在［0,1］上恒大于0,

所以2一於0,即水2,綜上，1<水2.］

’3—x,x&2,

8.己知a>0且若函數(shù)f(x)=〈’—'的值域為［1，+8),

log/,x>2

則a的取值范圍是.

’3—xx<2,

(1,2］［若函數(shù)/V)=〈''的值域為［1,+8),且a>o,aWi,

［log/，x>2

fx>2,

當xW2時，尸3一才21,所以二、可得1<危2.］

,lOgsX^l,

三、解答題

9.已知函數(shù)/'(彳)=ln(3+x)+ln(3—x).

(1)求函數(shù)尸/'(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性.

3+彳>0,

［解］⑴要使函數(shù)有意義，則。、八解得一3VXV3,故函數(shù)尸f(x)

3—彳〉0,

的定義域為(一3,3).

(2)由(1)可知，函數(shù)尸F(xiàn)J)的定義域為(-3,3),關于原點對稱.

對任意(―3,3),則一x￡(—3,3).

r(—x)=In(3—%)-Fln(3+x)=f(x),

???由函數(shù)奇偶性可知，函數(shù)為偶函數(shù).

10.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=H(a>0,且吊1).

(1)求函數(shù)八人)的反函數(shù)g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)Wlog,12—3x).

［解］(1)令y="(a>0,且a#l),則x=logj(a>0,且aWl),所以函數(shù)

F(x)的反函數(shù)為g(x)=log"xS>0,且aWl).

(2)當a>1時，log露Wlog..(2—3x)，

xW2—3x,解得0<xW).

所以

x>0,乙

3x,12

當0〈水1時，原不等式等價于，解得［Wxq.

2—3%>0,/J

綜上，當於1時，原不等式的解集為(0,1；

ri2、

當0〈水1時，原不等式的解集為5,鼻.

_乙。)

11.(多選)函數(shù)/Xx)=10gJx-l|在(0,1)上是減函數(shù)，那么()

A.一力在(1,+8)上遞增且無最大值

B.f(x)在(1,+8)上遞減且無最小值

C.f(x)在定義域內是偶函數(shù)

D.f(x)的圖象關于直線4=1對稱

AD［由|x-1|>0得，函數(shù)y=log」x-1|的定義域為{引才71}.設g(x)=

X-1,x>1,

|x—1|=彳,

.—x+1>KI,

則g(x)在(-8,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

且g(x)的圖象關于彳=1對稱，所以f(x)的圖象關于X=1對稱，D正確；

由上述分析知/'5)=1。&卜一1|在(1,+8)上遞增且無最大值，A正確，B

錯誤；

又/'(-x)=logj—X—1=logjx+l|#f(x),所以C錯誤，故選AD.］

12.已知曲線。：尸44一船(0真后2)與函數(shù)f［x}=log&x及函數(shù)g(x)=d(其

中a>l)的圖象分別交于小心切)，B5y2),則北+北的值為()

A.16B.8

C.4D.2

C［如圖所示，JUi,%)、8(如%)兩點關于尸才

對稱，

又力(由，M)關于尸x的對稱點為(加M),則吊=必,

故尤+/=#+4=4.故選C.］

13.定義：區(qū)間［為，所］(乂<尼)的長度為而一乂.已知函數(shù)y=Ilogo.5x|的定

義域為［a，b\,值域為［0,2］,則區(qū)間［a,6］的長度的最大值為.

1511

彳［由OW|logo.5x|W2,解得4在百明所以3長度的最人值為4一不=

函數(shù)/UQln,(沖2)為奇函數(shù)'則實數(shù)"等于

ax

l+2x

1,故1—，*=i—次,解得才=4,但aW2,故a=-2.］

15.某學校為了加強學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學生自主探究學習的能

1—x

力,他們以函數(shù)/Xx)=lg為基本素材，研究該函數(shù)的相關性質，取得部分

研究成果如下：

①同學甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)/'(力的定義域為(-1,1)；

②同學乙發(fā)現(xiàn)：函數(shù)是偶函數(shù)；

③同學丙發(fā)現(xiàn)：對于任意的XG(-1,1)都有《言，=2〃力；

④同學丁發(fā)現(xiàn)：對于任意的a,b￡(—1,1),都有

⑤同學戊發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)f(x)定義域中任意的兩個不同實數(shù)"尼，總滿足

X\一X2

試分別判斷哪些同學的研究成果正確？

1Y1-V

［解］在①中，因為/Xx)=ig訐7所以1>0,解得函數(shù)的定義域為(一

1—V1V

1,1),所以①是正確的；在②中，/a)=igk=—ig『二=一*一x),所以

1-rx1-x

函數(shù)F(x)為奇函數(shù)，所以②是錯誤的;在③中，對于任意xQ(T,D,有母j

2

=lgx-\-\=4/(y+—22葉x4-1n卜曲葉x—12,又_ZH分/、\Zlglfji—TR'lg

y—12

所以③是正確的；在④中，對于任意的&^(-1,1),有F?+

XI1

々(、干\—a+,】,干\~b=卜、(〔申i—a1—M(1—a—b+叫'a+b、

FA=lggT+^j=lg11+a+b+a小又F

J+a0

(a+力、

11+a"1—a-6+ab

a+力g1+w+b+ab'所以④是正確的；在⑤中，對于函數(shù)Ax)

、1+ab,

的定義域中任意的兩個不同實數(shù)為，物總滿足/川―/昆》0,即說明f(x)

XLX2

是增函數(shù)，但/'(x)=lgM=lg]—1+旨是減函數(shù)，所以⑤是錯誤的.綜

上可知，學生甲、丙、丁的研究成果正確.

5、指數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較

一、選擇題

1.下列函數(shù)中y隨X的增大而增大，且增長速度最快的是()

A.y=20201nxB.y=J.eA

乙u乙u

C.y=2020xD.y=2020?2r

B[由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，所以當x越來越大時，函數(shù)尸

針焉/與y=2020?2、的增長越來越快，由于e>2,當x超過某一個值時，函

乙U乙U

數(shù)而e'的值會超過y=2020?2,的值，故選B.]

乙U乙U

2.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x

倍，需經過y年，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為()

D[設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得ax=a(l+O.104)，，故y

=108.mX(x21),函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象，

故選D.]

3.有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時間均為x小時，跑

過的路程分別滿足關系式：/；(%)=Xy6(x)=4x,4(x)=log3U+l),fAx)=

2X-1,則5個小時以后跑在最前面的為()

A.甲B.乙

C.丙D.T

D[法一：分別作出四個函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結合，知5個小時后

丁車在最前面.

法二：由于4個函數(shù)均為增函數(shù),且￡(5)=52=25,￡(5)=20,￡(5)=1密(5

+l)=l+log32,以5)=2‘-1=31,工(5)最大,所以5個小時后丁車在最前面，

故選D.]

4.某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據如下表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

對于表中數(shù)據，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()

A.y=2x-2B.

C.y=log2^D.y=1(/-1)

D[法一：相鄰的自變量之差大約為1,相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、

4.5、6,基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.

法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法.可取x=4,經檢

驗易知選D.]

5.y=2"，必=9，必=log2*,當2<x<4時，有()

A.歷>%>為B.%>必>為

C.%>必%D.%力

B［在同一平面直角坐標系內畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)

內，從上到下圖象依次對應的函數(shù)為%=/，y=2',必=log2X,故%>%］

二、填空題

6.現(xiàn)測得(x,0的兩組對應值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個待選模型，

甲：y=^+l,乙：y=3x—1,若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則應

選用作為函數(shù)模型.

甲［把x=1,2,3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好.］

7.函數(shù)尸夕與函數(shù)尸xlnx在區(qū)間(1,+8)上增長較快的一個是.

尸V［當不變大時，x比In*增長要快，

???義要比xlnx增長的要快.］

8.某工廠8年來某種產品的總產量。與時間￡(年)的函數(shù)關系如圖所示，給

出下列四種說法：?

①前三年中產量增長的速度越來越快；L-；

②前三年中產量增長的速度越來越慢；一/而

③第三年后這種產品停止生產；

④第三年后產量保持不變.其中說法正確的是.

②③［由才G［0,3］的圖象，聯(lián)想到嘉函數(shù)y=/(0VdVl),反映了。隨時

間的變化而逐漸增長但速度越來越慢，由￡￡［3,8］的圖象可知，總產量C沒有

變化，即第三年后停止生產.］

三、解答題

9.畫出函數(shù)人必=正與函數(shù)以才)=［f-2的圖象，并比較兩者在［0,+

8)上的大小關系.

［解］函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示./步產2

根據圖象易得：

01,74X

當0<*<4時，F(xiàn)(x)>g(x)；K

當x=4時，f{x)=g(x)；當x>4時，f［x)<g(x).

10.某公司為了實現(xiàn)10Q0萬元的利潤目標，準備制訂一個激勵銷售人員的

獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且資金y(單位:

萬元)隨銷售利潤雙單位：萬元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同

時資金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25筋y=log-x+l,y=

1.002",其中哪個模型能符合公司的要求？

［解］作出函數(shù)尸5,尸0.25%尸log/+Ly=l.002"的圖象(如圖).

y

y=0.25x7=1.0021

2004006008001000

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［：0,1000］±,模型尸0.25必尸1.002,的圖象都

有一部分在直線y=5的上方：只有模型y=log7^+l的圖象始終在y=5和y=

0.25x的下方，這說明只有按模型y=log7x+l進行獎勵時才符合公司的要求.

11.在某個物理實驗中，測量得列變量x和變量y的幾組數(shù)據，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對必y最適合的擬合函數(shù)是()

A.y=2xB.y=x-1

C.y=2x—2D.y=log2x

D［將x=0.50,y=-0.99,代入計算，可以排除A；將x=2.01,y=0.98,

代入計算，可以排除B、C；將各數(shù)據代入函數(shù)y=log2M可知滿足題意.故選

D.］

12.已知/'(才)=/—bx+c且/'(0)=3,F(l+x)=F(l—x),則有()

A.f⑻B.f16)《久石

C.「⑻"⑹D.f(y),F(刈大小不定

B［由/'(1+x)=F(1—x),知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以［=

1,即b=2.

由/(0)=3,知c=3.此時/(%)一2彳+3.

當K0時，3\2X1,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一8,1)上是減函數(shù)，所以

當x=o時，r（M=Ac）；

當x>0時，3'>2">1,函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1,+8）上是增函數(shù)，所以

〃加）</?（/）.綜上,］

13.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的剩留量y

與凈化時間六月）的近似函數(shù)關系：SO,a>0且女工1）的圖象.

有以下說法：,

①第4個月時，剩留量就會低于點回!闈

②每月減少的有害物質質量都相等；卜了牛、

01234”月

③當剩留量為彳，:時，所經過的時間分別是力,

/4C5

友，［3，則tl+t2=t3.

其中所有正確說法的序號是_______.

①③［由于函數(shù)的圖象經過點（2,故函數(shù)的關系式為尸（I）.

當￡=4時，y=S〈（，故①正確；

9142

當￡=1時，/=-,減少不當￡=2時，y=~,減少6，故每月減少有害物質

oMy<z

故②不正確；分別令尸］］解得t=log2

質量不相等,2

ZTo3n3勺

。+七=為，故③正確.］

38

14.甲、乙兩地相距500km,一輛運輸汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度P

不能超過120km/h.己知運輸汽車每小時運輸成本為島正+3601元，則全程運

輸成本y與速度p的函數(shù)關系是y=,當運輸汽車的行駛速度為

km/h時，全程運輸成本最小.

18卜+電陰（0<々120）100［運輸汽車從甲地到乙地所用的時間為

話(OVY120),則全程運輸成本尸話?(篇/+360)=185+10

020),

而r+ioooo^/10000=200,當且僅當K=ipogo^即。二^。時取

v\1vv

等號，故當運輸汽車的行駛速度為100km/h時，全程運輸成本最小.]

15.某企業(yè)常年生產一種出口產品，根據預測可知，進入21世紀以來，該

產品的產量平穩(wěn)增長.記2015年為第1年，且前4年中，第x年與年產量F(x)(萬

件)之間的關系如下表所示：

X1234

F(x)4.005.587.008.44

若￡(*)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f?=ax+b,fa)=2"+a,F(x)

=loglx+a.

2

(D找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2015年和2017

年的數(shù)據求出相應的解析式；

(2)因遭受某國對該產品進行反傾銷的影響，2021年的年產量比預計減少

30%,試根據所建立的函數(shù)模型，確定2021年的年產量.

[解](1)符合條件的是f(x)=ax+b,

若模型為Hx)=2*+a

則由/(I)=2'4-a=4,

得a=2,即F(x)=2*+2,

此時/<2)=6,A3)=10,"4)=18,與已知相差太大，不符合.