高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題15 導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)與放縮的應(yīng)用(原卷版)

專題15導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)與放縮的應(yīng)用同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式(或不等式、方程)通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題．當(dāng)然，用同構(gòu)法解題，除了要有同構(gòu)法的思想意識外，對觀察能力，對代數(shù)式的變形能力的要求也是比較高的，考點(diǎn)一部分同構(gòu)攜手放縮法（同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上）【方法總結(jié)】在學(xué)習(xí)指對數(shù)的運(yùn)算時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：(1)當(dāng)a＞0且a≠1時，有，(2)當(dāng)a＞0且a≠1時，有再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算法則，可以得到下述結(jié)論(其中x＞0)(“ex”三兄弟與“l(fā)nx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再結(jié)合常用的切線不等式：，，，等，可以得到更多的結(jié)論(7)，．，．(8)，，(9)，，【例題選講】[例1](1)已知，則函數(shù)的最大值為________．(2)函數(shù)的最小值是________．(3)函數(shù)的最小值是________．[例2](1)不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值是________．(2)不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．(3)不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．(4)已知函數(shù)，其中b＞0，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關(guān)系是________．(5)已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．(6)已知不等式，對任意的正數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．(7)已知不等式，對任意的正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．(8)已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是________．[例3](2020屆太原二模)已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【對點(diǎn)精練】1．函數(shù)的最小值為________．2．函數(shù)的最小值為________．3．函數(shù)的最大值是________．4．已知不等式，對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．5．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．6．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．7．已知a，b分別滿足，則ab＝________．8．已知x0是函數(shù)的零點(diǎn)，則________．考點(diǎn)二整體同構(gòu)攜手脫衣法【方法總結(jié)】在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的同一個函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度，找到這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為整體同構(gòu)法．如，若F(x)≥0能等價變形為f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x)，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式（等號成立時，稱為同構(gòu)方程），簡稱同構(gòu)法．1．地位同等同構(gòu)（主要針對雙變量，合二為一泰山移）(1)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx為增函數(shù)；(2)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<eq\f(k,x1x2)(x1<x2)f(x1)－f(x2)>eq\f(k(x1－x2),x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)y＝f(x)＋eq\f(k,x)為減函數(shù)；含有地位同等的兩個變x1，x2或p，q等的不等式，進(jìn)行“塵化塵，土化土”式的整理，是一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個變量的大?。?．指對跨階同構(gòu)（主要針對單變量，左同右同取對數(shù)）(1)積型：如，，后面的轉(zhuǎn)化同(1)說明；在對“積型”進(jìn)行同構(gòu)時，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知．(2)商型：(3)和差：如；．3．無中生有同構(gòu)（主要針對非上型，湊好形式是關(guān)鍵）(1)；(2)；(3)．【例題選講】[例4](1)若，則A．B．C．D．(2)若，都有成立，則a的最大值為()A．B．1C．eD．2e(3)已知，在區(qū)間內(nèi)任取兩實數(shù)p，q，且p≠q，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．[例5]對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個同構(gòu)函數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)[例6](1)已知不等式，對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．B．C．D．(3)對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．(4)已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．(5)對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．(6)已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的最小值為()A．B．C．D．[例7]已知函數(shù).(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)若，證明：．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當(dāng)a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．【對點(diǎn)精練】1．已知函數(shù)，若對任意正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＞x2時，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．2．已知函數(shù)，，當(dāng)x2＞x1時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．3．對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個同構(gòu)函數(shù)．4．對方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個同構(gòu)函數(shù)．5．對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個同構(gòu)函數(shù)．6．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為________．7．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．8．已知對任意，不等式恒成立