陜西省咸陽實驗中學2024-2025學年高二上學期第二次階段性測試數學試卷（教師版）

2024~2025學年度咸陽實驗中學高二上學期第二次階段性測試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意隨機變量X服從正態(tài)分布，即正態(tài)分布曲線關于對稱,因為，故，故選：B2.已知點是點在坐標平面內的射影，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點的坐標，利用空間向量的模長公式可求得的值.【詳解】因為點是點在坐標平面內的射影，則，則，因此，.故選：B3.已知，若，則實數的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用兩個向量垂直的性質，數量積公式即求得的值．【詳解】向量若，則，．故選：C．4.已知平面平面，．下列結論中正確的是（）A.若直線平面，則 B.若平面平面，則C.若直線直線，則 D.若平面直線，則【答案】D【解析】【分析】A，利用線面平行的判定定理；B，面面垂直沒有傳遞性；C，利用面面垂直的性質定理；D，利用面面垂直的判定定理；【詳解】A，若，，則或，故A錯誤；B，若，，則或與相交，故B錯誤；C，若，，，必須，利用面面垂直的性質定理可知，故C錯誤；D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正確；故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查空間直線，平面直線的位置關系的判斷，熟練掌握平行和垂直位置關系的判定和性質是解題的關鍵，屬于基礎題.5.直線與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線的斜率判斷直線的傾斜角進而判斷各個選項；【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為，于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，檢驗4個選項，知只有B選項滿足題意．故選：B.6.如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意得到，利用結合向量的數量積的運算公式，即可求解．【詳解】因為二面角大小為，，，，，，所以與的夾角為，又因為，所以，所以，即．故選：A．7.數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.8.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點，E是棱上的動點．設，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【答案】D【解析】【分析】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設所有棱長均為2，則，通過空間向量來求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結果.【詳解】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設所有棱長均為2，則，,，，設平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選：D.【點睛】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問題能力和計算能力，屬于中檔題目.二、多選選擇題：本題共3.小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知正方體的棱長為1，下列四個結論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定即可判斷A；根據即可判斷BC，建立合適的空間直角坐標系，證明，最后結合線面垂直的判定即可.【詳解】對A，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是故BC錯誤；對D，以為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，則，則，則，則，又因為平面，所以平面.故選：AD.10.以下四個命題敘述正確的是（）A.直線在軸上的截距是1B.直線和的交點為，且在直線上，則的值是C.設點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2D.直線，若，則或2【答案】BC【解析】【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；對于B，由解得，即，則，解得，B正確；對于C，依題意，，C正確；對于D，當時，直線重合，D錯誤.故選：BC11.如果函數對定義域內的任意實數，都有，則稱函數為“F函數”．下列函數不是“F函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，則，可得函數在定義域內是單調遞增函數，稱函數為“F函數”，逐項驗證可得答案．【詳解】令，則，即函數在定義域內是單調遞增函數，稱函數為“F函數”．對于A，，，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，不符合在定義域內是單調遞增函數，則函數不是“F函數”．故A正確；對于B，，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，不符合在定義域內是單調遞增函數，則函數不是“F函數”．故B正確；對于C，，，，所以單調遞增函數，則函數是“F函數”．故C錯誤；對于D，，，，當時，，單調遞減，不符合在定義域內是單調遞增函數，則函數不是“F函數”．故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是構造函數，根據可得函數在定義域內是單調遞增函數，稱函數為“F函數”．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.演講比賽結束后，4名選手與1名指導教師站成一排合影留念要求指導教師不能站在兩端，那么有______種不同的站法用數字作答)【答案】72【解析】【分析】根據題意，分2步進行分析：，指導教師不能站在兩端，易得指導教師有3種站法，，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，分2步進行分析：，指導教師不能站在兩端，則指導教師有3個位置可選，有3種站法；，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，有種情況，則有種不同的站法；故答案為72．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．13.三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球表面積等于______.【答案】【解析】【分析】先用補形法求出外接球的半徑R，再利用表面積公式即可得答案.【詳解】如圖：將三棱錐補成長方體，則三棱錐外接球和長方體的外接球是一致的.設長方體外接球半徑為，則：，所以，所以外接球的表面積為，故答案為：.14.過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別是，則點到直線距離的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】由得出點在以為直徑的圓上，通過兩圓方程相減得到直線的方程，從而可得直線所過的定點，進而可得出答案.【詳解】如圖，設點，因為，故點在以為直徑圓上，因為圓心，半徑為，故圓的方程為：，又圓，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，所以直線經過定點，所以到直線距離的最大值即.【點睛】關鍵點點睛：由得出點在以為直徑的圓上是解決本題的關鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知平面內兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點在直線上，設點為，根據等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【小問1詳解】由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．【小問2詳解】的中點坐標為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設點為，由可得：，解得或，所以點坐標為或，則直線的方程為或．16.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數量積的關系計算即可得；（2）結合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.【小問1詳解】，則，所以.【小問2詳解】由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.17.在正四棱柱中，為中點，直線與平面交于點．（1）證明：為的中點；（2）若直線與平面所成的角為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據線面平行的性質定理判斷，得出，得出為中位線，從而得證；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出直線AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用線面角公式可求得的長.【小問1詳解】如圖，連接，在正四棱柱中，由與平行且相等，得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，是中點，所以是的中點；【小問2詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設（），則，，，，，，設平面的一個法向量是，則，取，得，因為直線與平面所成的角為，所以，解得（負值舍去），所以的長為．18.已知橢圓的離心率為，上頂點為．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，結合，即可求得橢圓E的方程；（2）設直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達定理及弦長公式，即可求得k的值．【小問1詳解】由離心率，則，又上頂點，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設直線l：，設，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴19.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位線和垂直關系得到，，從而得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；（3）求出兩平面的法向量，根據二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因為，分別為，的中點，所以.因為，所以，所以.又，，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，，所以，，兩兩垂直.以