2024年初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（人教版）第03課 公式法（教師版）

第03課公式法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）知道一元二次方程根的判別式，能運(yùn)用根的判別式直接判斷一元二次方程的根的情況.（2）會(huì)用公式法解一元二次方程.（3）會(huì)應(yīng)用公式法解一元二次方程的其他問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01一元二次方程根的判別式知識(shí)精講對(duì)于一元二次方程的一般式，我們也可以用配方法進(jìn)行配方：∵當(dāng)時(shí)，該方程才有實(shí)數(shù)根，且，∴方程才有實(shí)數(shù)根1、一元二次方程根的判別式是.2、表示:通常用希臘字母“△”表示,即；3、一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況△的符號(hào)根的情況方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【注意】（1）一元二次方程有實(shí)數(shù)根包括一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.此時(shí)b2－4ac≥0,切勿丟掉等號(hào)（2）當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，不說(shuō)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.（3）當(dāng)a,c異號(hào)時(shí)，一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4、一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況判斷△：一元二次方程根的情況△的符號(hào)一元二次方程有實(shí)數(shù)根一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根一元二次有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二次沒(méi)有實(shí)數(shù)根知識(shí)點(diǎn)02求根公式及公式法對(duì)于一元二次方程進(jìn)行配方可得到一元二次方程的求根公式：推導(dǎo)過(guò)程：【注意】（1）一元二次方程的求根公式的應(yīng)用條件是,且.（2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根.用公式法解一元二次方程的步驟：步驟示例：解釋1、化為一般式移項(xiàng)：先將方程化為一般式（a≠0）2、確定a、b、c確定a、b、c時(shí)，要注意帶前面的符號(hào)3、計(jì)算△當(dāng)△≥0時(shí)，才能用求根公式；當(dāng)△＜0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根4、代入公式求根∵△＞0，∴方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根能力拓展能力拓展考法01由根的判別式判斷方程根的情況【例題1】一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】B【解析】∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【即學(xué)即練1】一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】解：原方程可化為：，，，，，方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．考法02根據(jù)根的情況求參數(shù)范圍【例題2】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【解析】解：根據(jù)一元二次方程一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得：，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)可得：故選D．【即學(xué)即練1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)b的取值有關(guān)【答案】A【解析】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．考法03公式法解一元二次方程【例題3】方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，，，∴，∴；故選：D.【即學(xué)即練1】用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4時(shí)，b2-4ac的值為（）A．52 B．32 C．20 D．-12【答案】C【解析】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故選C．【即學(xué)即練2】用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（）A．x1、2= B．x1、2=C．x1、2= D．x1、2=【答案】D【解析】∵3x2+4=12x，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴，故選D.【即學(xué)即練3】x=是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0【答案】D【解析】一元二次方程的求根公式是，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一代入求根公式，正確的是D.所以答案選D.【即學(xué)即練4】方程的解為（）A．5 B．-2C．5和-2 D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】D【解析】分析：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式計(jì)算即可.詳解：：∵（x-5）（x+2）=1，∴x2-3x-11=0，∵a=1，b=-3，c=-11，∴x=.故選D.【即學(xué)即練5】解方程：（1）；

（2）．【答案】（1）x1=5，x2=-1；（2）.【解析】（1）x2-4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，x-5=0，x+1=0，x1=5，x2=-1；（2）2x2-2x-1=0，a=2，b=-2，c=-1，△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，.考法04公式法的其他應(yīng)用【例題4】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）m=1．【解析】方法1（1）利用判別式（1）證明：．∵不論m為何值，，即．∴不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解關(guān)于x的一元二次方程，得，∴，．∵方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．又∵方程的兩個(gè)根不相等，∴，∴．方法2（1）直接解一元二次方程求出根（1）證明：解關(guān)于x的一元二次方程，得，，∴不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解關(guān)于x的一元二次方程，得，∴，．∵方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．又∵方程的兩個(gè)根不相等，∴，∴．【例題5】三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8=0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．11 B．12 C．11或13 D．13【答案】D【解析】∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4，若x=2，則三角形的三邊2+3＜6，構(gòu)不成三角形，舍去；當(dāng)x=4時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+4+6=13，故選D．【即學(xué)即練1】已知△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則m的值等于（）A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16【答案】D【解析】解：∵△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，∴m＝12；②AB＝AC，此時(shí)方程的判別式為0，∴Δ＝64﹣4m＝0，∴m＝16．故m的值等于12或16．故選：D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0【答案】D【解析】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)符合題意．故選D．2．下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.變形為，此時(shí)△=4-4=0，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A正確；B.中△=0-4=-4＜0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C.整理為，此時(shí)△=4+12=16＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.中，△=4＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.3．已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說(shuō)法正確的是（）A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定【答案】B【解析】解：由題意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿(mǎn)足的條件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿(mǎn)足的條件是b2-4ac≥0．故選A．5．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定【答案】A【解析】解：由題意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．故選A.6．是下列哪個(gè)一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：對(duì)于一元二次方程，方程的根為：．因?yàn)?，所以，，，所以?duì)應(yīng)的一元二次方程是：．故選：D．7．解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）【答案】（1）x＝﹣5或x＝1；（2）x＝3或x＝1．【解析】解：（1）∵x2+4x-5＝0，∴（x+5）（x-1）＝0，則x+5＝0或x-1＝0，解得x＝-5或x＝1；（2）∵（x-3）2+2（x-3）＝0，∴（x-3）（x-1）＝0，則x-3＝0或x-1＝0，解得x＝3或x＝1．8．用公式法解下列方程：(1);

(2)；(3)

(4).【答案】（1）（2）（3）原方程無(wú)解．（4）【解析】解：(1)∵，∴，∴，∴；(2)原方程可化為，∴，∴，∴，∴；(3)∵，∴，∴原方程無(wú)解；(4)∵，∴，∴，∴.故答案為（1）；（2）；（3）原方程無(wú)解；（4）．題組B能力提升練1．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則代數(shù)式的值是(

)A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3【答案】A【解析】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當(dāng)x2﹣x＝﹣2時(shí)，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)x2﹣x＝6時(shí)，x2﹣x+1＝7，故選A．2．若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則關(guān)于的方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】A【解析】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選．3．已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C．且 D．【答案】C【解析】解：由題可得：,解得：且；故選：C．4．已知分別是的邊長(zhǎng)，則一元二次方程的根的情況是（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】A【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分別是三角形的三邊，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：A．5．已知的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿(mǎn)足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，則方程根的情況是（

）．A．有兩相等實(shí)根 B．有兩相異實(shí)根 C．無(wú)實(shí)根 D．不能確定【答案】C【解析】∵a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，∴a2≠0．∴△=（c2-a2-b2）2-4a2?b2，=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），又∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以△＜0，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選C．6．請(qǐng)你判斷，的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：當(dāng)x＞0時(shí)，，解得：x1＝1；x2＝2；當(dāng)x＜0時(shí)，，解得：x1＝（不合題意舍去），x2＝，∴方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．7．若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則的取值范圍是________.【答案】3＜m≤4【解析】解：∵關(guān)于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個(gè)根，∴①x-2=0，解得x1=2；②x2-4x+m=0，∴△=16-4m≥0，即m≤4，∴x2=2+x3=2-又∵這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且最長(zhǎng)邊為x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范圍是3＜m≤4．故答案為3＜m≤4題組C培優(yōu)拔尖練1．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命題是真命題的有（

）①若a＋2b＋4c＝0，則方程ax2＋bx＋c＝0必有實(shí)數(shù)根；②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，則方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，則一定有ac＋b＋1＝0成立；④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2at＋b）2．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【解析】解：①∵a+2b+4c=0，∴a=-2b-4c，∴方程為（-2b-4c）x2+bx+c=0，∴Δ=b2-4（-2b-4c）?c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，∴方程ax2+bx+c=0必有實(shí)數(shù)根，故①正確．②∵b=3a+2，c=2a+2，∴方程為ax2+（3a+2）x+2a+2=0，∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，當(dāng)a=-2時(shí)，Δ=0，方程有相等的實(shí)數(shù)根，故②錯(cuò)誤，③當(dāng)c=0時(shí)，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③錯(cuò)誤．④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，∴t=，∴2at+b=±，∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正確，故選：C．2．有兩個(gè)一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是()A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x＝1【答案】D【解析】解：A、∵M(jìn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0即而此時(shí)N的判別式△＝，故它也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不符合題意；B、M的兩根符號(hào)相同：即，而N的兩根之積＝也大于0，故N的兩個(gè)根也是同號(hào)的，故此選項(xiàng)不符合題意；C、如果5是M的一個(gè)根，則有：①，我們只需要考慮將代入N方程看是否成立，代入得：②，比較①與②，可知②式是由①式兩邊同時(shí)除以25得到，故②式成立，故此選項(xiàng)不符合題意；D、比較方程M與N可得：，∴，∵a·c≠0，a≠c，∴，故可知，它們?nèi)绻懈嗤母墒?或-1，故此選項(xiàng)符合題意；3．對(duì)于一元二次方程，有下列說(shuō)法：①若，則方程必有一個(gè)根為1；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】解：①若x=1時(shí)，方程ax2+bx+c=0，則a+b+c=0，∵無(wú)法確定a-b+c=0．故①錯(cuò)誤；②∵方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴△=0-4ac＞0∴-4ac＞0則方程ax2+bx+c=0的判別式，△=b2-4ac＞0∴方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，則ac2+bc+c=0∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③錯(cuò)誤；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則由求根公式可得：或，∴或∴b2?4ac＝(2ax0+b)2，故④錯(cuò)誤．故選：A．4．方程的解是________．【答案】或【解析】分兩種情況：①x＞-時(shí)，原方程可變形為：x2-2x-5=0，∴x1=1+，x2=1-（舍去）；②x≤-時(shí)，原方程變形為：x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0，∴x1=-3，x2=1（舍去），因此本題的解為x=1+或x=-3，故答案為：x=1+或x=-3．5．先閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各項(xiàng)的系數(shù)之和為零，即a＋b＋c＝0，則有一根為1，另一根為.證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，∵x＝＝，∴x1＝1，x2＝.(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各項(xiàng)系數(shù)滿(mǎn)足a－b＋c＝0，請(qǐng)直接寫(xiě)出此方程的兩根；(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用上述結(jié)論證明：.【答案】(1)x1＝－1，x2＝－；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)x1＝－1，x2＝－，證明如下：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，∵x＝＝，∴x1＝-1，x2＝；(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(