2024年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE10本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)(滿分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若向量a=(-1,3),b=(-5,4),則3a-b= ()A.(-8,5) B.(2,5) C.(2,13) D.(-2,8)2.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(2,-1),B(5,3),則與向量AB同向的單位向量是 ()A.35,-4C.45,33.設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC= ()A.12AD B.AD C.BC 4.在?ABCD中,E,F分別為AB,CD上的點(diǎn),AE=13AB,CF=13CD,G為EF的中點(diǎn),則DG= (A.12AB-12AD C.13AB-13AD 5.已知O,A,B是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿意AB+AC=0,則OC= ()A.2OA-OB B.-OA+2OBC.23OA-13OB 6.如圖所示,P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn),且BP=QC,則化簡AB+AC-AP-AQ的結(jié)果為 ()A.0 B.BP C.PQ D.PC7.過△ABC內(nèi)一點(diǎn)M任作一條直線l,再分別過頂點(diǎn)A,B,C作l的垂線,垂足分別為D,E,F,若AD+BE+CF=0恒成立,則點(diǎn)M是△ABC的 ()A.垂心 B.重心 C.外心 D.內(nèi)心8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),P為以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE的中點(diǎn)(如圖所示).若AP=λAF+μED(λ,μ∈R),則λ-μ的值是 ()A.24 B.324 C.2二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9.下列命題中不正確的是 ()A.兩個(gè)有共同始點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)可能不同B.若非零向量AB與CD共線,則A、B、C、D四點(diǎn)共線C.若非零向量a與b共線,則a=bD.四邊形ABCD是平行四邊形,則必有|AB|=|CD|10.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,且PA+PB+PC=AB,則下列說法錯(cuò)誤的是 ()A.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部B.點(diǎn)P在△ABC外部C.點(diǎn)P在AB邊上或其延長線上D.點(diǎn)P為線段AC的三等分點(diǎn)11.已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),滿意3a+kb+7c=0,則實(shí)數(shù)k的值可能為 ()A.58 B.-58 C.58 D.-5812.下列說法中正確的是 ()A.模相等的兩個(gè)向量是相等向量B.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分別表示△AOC,△ABC的面積,則S△AOC∶S△ABC=1∶6C.兩個(gè)非零向量a,b,若a=b,則肯定有|a|=|b|,且a與b方向相同D.若向量AC=AB+BC,則線段AC=AB+BC三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB+AD=λAO,則λ=,BO=(用AB,AD來表示).

14.設(shè)向量a,b不平行,向量a+14λb與-a+b平行,則實(shí)數(shù)λ=15.已知點(diǎn)O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),且向量OA,OB,OC,OD滿意等式OA+OC=OB+OD,則四邊形ABCD的形態(tài)肯定為.

16.在平行四邊形ABCD中,AB=e1,AC=e2,NC=14AC,BM=12MC,則MN=.(用e1,四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求與2a+b同向的單位向量e;(2)若向量c=-3,-113,請(qǐng)用向量a18.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.(1)求|a+tb|的最小值;(2)若a-tb與c共線,求t的值.19.(12分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上.(1)若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn),試用AB,AD表示EF;(2)若BM=λBC,點(diǎn)F是CD上靠近C的四等分點(diǎn),且AM∥EF,求λ的值.20.(12分)已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2).(1)求6a+b-2c;(2)求滿意a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n的值;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k的值.21.(12分)已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.(1)設(shè)a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)與f(b)的坐標(biāo);(2)求使f(c)=(p,q)(p,q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo);(3)證明:對(duì)隨意的向量d,e及常數(shù)m,n恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.22.(12分)如圖,已知河水自西向東流,流速為|v0|=1m/s,設(shè)某人在靜水中游泳的速度為v1,在水中的實(shí)際速度為v2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3m/s,求他實(shí)際前進(jìn)方向與水流方向的夾角α和v2的大小;(2)若此人實(shí)際的前進(jìn)方向與水流的方向垂直,且|v2|=3m/s,求他游泳的方向與水流方向的夾角β和v1的大小.答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.B∵a=(-1,3),b=(-5,4),∴3a-b=(-3,9)-(-5,4)=(2,5).故選B.2.B因?yàn)閮牲c(diǎn)A(2,-1),B(5,3),所以AB=(3,4),所以AB|AB|=132+42×(3,4)=353.B∵D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),∴AD=12AB+EB=-12(BC+BA),FC=-12(CB+∴EB+FC=-12(BC+BA)-12(CB+=12AB+12AC=4.ADG=12DE=12(DA+AE)+12=12-=12AB-125.A由向量的運(yùn)算法則可得AB=OB-OA,AC=OC-OA,代入AB+AC=0,可得(OB-OA)+(OC-OA)=0,可得OB+OC=2OA,可得OC=2OA-OB.故選A.6.A因?yàn)锽P=QC,所以PB+QC=0,所以AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC-AQ)=PB+QC=0,故選A.7.B可設(shè)直線l過點(diǎn)A,則AD=0,則BE+CF=0恒成立.如圖:則直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn),同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn),直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)M是△ABC的重心,故選B.8.A因?yàn)镻為以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE的中點(diǎn),所以|AP|=|AD|=|AE|=2,∠DAP=∠EAP=45°,所以AP=22AE+因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),所以易證得四邊形BCDE為平行四邊形,故ED=AD-AE,AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12ED=若AP=λAF+μED,則22AE=λ32AE+12AD+=32λ-即22=故λ-μ=24,故選A二、多項(xiàng)選擇題9.ABCA中,相等向量的始點(diǎn)相同,則終點(diǎn)肯定也相同,所以A中命題不正確;B中,向量AB與CD共線,只能說明AB、CD所在直線平行或在同一條直線上,所以B中命題不正確;C中,向量a與b共線,說明a與b方向相同或相反,a與b不肯定相等,所以C中命題不正確;D中,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB與CD是相反向量,所以|AB|=|CD|,所以D中命題正確.故選ABC.10.ABC由題意得,PA+PB+PC=AB=PB-PA,∴PC=-2PA,∴點(diǎn)P在AC邊上,且為線段AC的三等分點(diǎn),故D選項(xiàng)正確,A、B、C選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.11.AB由題可得,kb=-3a-7c=-3×(1,0)-7×(0,-1)=(-3,7),∴|kb|=|k|·|b|=(-3)2+72∴k=±58.故選AB.12.BC相等向量是大小相等、方向相同的向量,向量的模相等,但方向不肯定相同,故A錯(cuò)誤;設(shè)AC的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為D,因?yàn)?OA+OB+3OC=0,所以2×2OM+2OD=0,即2OM=-OD,所以O(shè)是線段MD上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn),可知O到AC的距離等于D到AC距離的13,而B到AC的距離等于D到AC距離的2倍,故可知O到AC的距離等于B到AC距離的16,依據(jù)三角形面積公式可知B正確;易知C正確;D中,在△ABC中,AC=AB+BC,但AC<AB+BC,故D錯(cuò)誤.三、填空題13.答案2;12(AD-AB)解析由向量加法的平行四邊形法則知AB+AD=AC,∵O是AC的中點(diǎn),∴AC=2AO,∴AC=2AO,故AB+AD=2AO,∴λ=2.易得BO=12BD=12(AD-14.答案-4解析∵a,b不平行,∴-a+b≠0.又a+14λb與-a+b平行∴存在實(shí)數(shù)μ,使得a+14λb=μ(-a+b∴依據(jù)平面對(duì)量基本定理,得1=解得λ=-4.15.答案平行四邊形解析∵OA+OC=OB+OD,∴OA-OB=OD-OC,∴BA=CD,因此四邊形ABCD肯定為平行四邊形.16.答案-23e1+512解析如圖,MN=CN-CM=CN+2BM=CN+23BC=-14AC+23(AC-AB)=-14e2+23(e2-e1)=-2四、解答題17.解析(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),∴|2a+b|=(-1)2+5∴與2a+b同向的單位向量e=1|2a+b|(2a+(2)設(shè)c=λa+μb(λ,μ∈R),則-3,-113=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+∴-3=λ-3∴c=-2a+13b. 1018.解析(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2), 2分∴|a+tb|=(2t-3)2+(∴當(dāng)t=45時(shí),|a+tb|的最小值為755(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb與c共線, 9分∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t), 11分∴t=35. 1219.解析(1)EF=EA+AD+DF 1分=-12AC+AD=-12(AB+AD)+AD+23=16AB+12(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 6分設(shè)AB=a,AD=b,則A(0,0),B(a,0),C(a,b),Ea2,b2,易得AB=(a,0),BC=(0,b),EF=a4∴AM=AB+BM=AB+λBC=(a,0)+λ(0,b)=(a,λb), 10分∵AM∥EF,∴a4·λb=a·b2,解得λ=2.20.解析(1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11). 3分(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n), 5分∴-m+5n=3(3)a+kc=(3,2)+k(5,2)=(3+5k,2+2k),2b-a=2(-1,3)-(3,2)=(-5,4). 10分∵(a+kc)∥(2b-a),∴4×(3+5k)-(-5)×(2+2k)=0,解得k=-1115. 1221.解析(1)∵a=(1,1),b=(1,0),∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), 1分f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1). 3分(2)設(shè)c=(s,t),則f(c)=(t,2t-s)=(p,q),∴t=p,2∴c=(2p-q,p). 6分(3)證明:設(shè)d=(a1,a2),e=(b1,b2), 8分則md+ne=(ma1+nb1,ma2+nb2), 9分∴f(md+ne)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).∵mf(d)=m(a2,2a2-a1),nf(e)=n(b2,2b2-b1),∴mf(d)+nf(e)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).11分∴f(md+ne)=mf(d)+nf(e)恒成立. 12分22.解析設(shè)OA=v0,OB=v1,OC=v2,由題意可知v2=v0+v1,|OA|=1,易得四邊形OACB為平行四邊形.(1)當(dāng)此人朝正南方向游去時(shí),四邊形OACB為矩形,且|OB|=AC=3,如圖①