山東省青島市黃島區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE19-山東省青島市黃島區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）本試卷4頁，23小題，滿分150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選A.2.雙曲線的虛軸長等于（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】干脆利用雙曲線的標準方程求解雙曲線的虛軸長即可．【詳解】雙曲線，可得b=1，所以雙曲線的虛軸長等于2．故選：C．【點睛】本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應用，是基本學問的考查，是基礎題．3.已知直線與直線平行，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行，得到，求解，得出的值，再代入直線方程檢驗，即可得出結果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，解得：或，當時，與重合，不滿意題意，舍去；當時，與平行，滿意題意.故選：B【點睛】本題主要考查由直線平行求參數(shù)，熟記直線平行的判定條件即可，屬于?？碱}型.4.視察數(shù)列1，，，4，，，7，，……，則該數(shù)列的第20項等于（）A.2024 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】通過視察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項是按正整數(shù)依次排列，且以3為循環(huán)節(jié)，由此推斷第20項是哪個數(shù)．【詳解】由數(shù)列得出規(guī)律，依據(jù)1，，，…，是按正整數(shù)的依次排列，且以3為循環(huán)節(jié)，由，所以該數(shù)列的第20項為．故選：D．【點睛】本題考查了歸納推理的應用問題，是基礎題．5.若點在橢圓：，，分別為橢圓的左右焦點，且，則的面積為（）A. B.3 C.4 D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)橢圓方程算出c，從而中得到，結合橢圓的定義聯(lián)解，得到，最終用直角三角形面積公式，即可算出的面積．【詳解】∵橢圓C：，∴a2=4，b2=1．可得，因此中，，由勾股定理得①依據(jù)橢圓的定義，得②①②聯(lián)解，可得，∴的面積．故選：D．【點睛】本題給出橢圓方程，求當焦點三角形是直角三角形時求焦點三角形的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義及簡潔性質(zhì)等學問，屬于中檔題．6.已知正項等比數(shù)列的前項和為，，，，則（）A. B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】設正項等比數(shù)列的公比為q＞0，利用通項公式即可得出．【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為q＞0．，，，，解得：，，則.故選：C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、方程的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．7.已知圓：與圓：，則兩圓的位置關系為（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】D【解析】【分析】化圓的一般方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，再由兩圓的圓心距與半徑的關系推斷．【詳解】化圓：為，可得圓的圓心坐標為，半徑為7；由圓：的圓心坐標為，半徑為2，∴，而，∴兩圓的位置關系為內(nèi)切．故選：D．【點睛】本題考查兩圓位置關系的判定，考查圓的一般方程化標準方程，是基礎題．8.人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為焦點的橢圓.設地球的半徑為，衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的距離分別為，，則衛(wèi)星軌道的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，求出橢圓的長半軸a，半焦距c，即可確定橢圓的離心率．【詳解】橢圓的離心率：，（c，半焦距；a，長半軸）所以只要求出橢圓的c和a，由題意，結合圖形可知，，，所以．故選：A．【點睛】本題是基礎題，考查橢圓的離心率的求法，留意半焦距與長半軸的求法，是解題的關鍵，考查學生的作圖視圖實力．9.已知直線：與圓：相交于，兩點，若，則實數(shù)（）A B. C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】利用弦長求出圓心到直線的距離，再用點到直線的距離公式即可求出a．【詳解】由題意，圓心，半徑，由幾何學問可得，圓心C到直線l的距離，解得，故選：A．【點睛】本題主要考查利用幾何法解決直線與圓的相交時的弦長問題，屬于基礎題．10.若等差數(shù)列的前項和為，，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導出，，，由此能求出的最大值．【詳解】∵等差數(shù)列的前n項和為，，，，∴，，∴，，的最大值為．故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得4分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.11.若直線過點，且在兩坐標軸上截距的肯定值相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】探討直線過原點時和直線不過原點時，分別求出對應的直線方程即可．【詳解】當直線經(jīng)過原點時，斜率為，所求的直線方程為y=2x，即；當直線不過原點時，設所求的直線方程為x±y=k，把點A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直線方程為，或；綜上知，所求的直線方程為、，或．故選：ABC．【點睛】本題考查了利用分類探討思想求直線方程的問題，是基礎題．12.已知橢圓的中心在原點，焦點，在軸上，且短軸長為2，離心率為，過焦點作軸的垂線，交橢圓于，兩點，則下列說法正確的是（）A.橢圓方程為 B.橢圓方程為C. D.的周長為【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由離心率結合隱含條件求得a，可得橢圓方程，進一步求得通徑及的周長推斷得答案．【詳解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴橢圓方程為，如圖：∴，的周長為．故選：ACD．【點睛】本題考查橢圓的簡潔性質(zhì)，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．13.已知拋物線：的焦點為，直線的斜率為且經(jīng)過點，直線與拋物線交于點，兩點（點在第一象限）、與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是（）A. B.為中點 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】如圖所示：作準線于，軸于，準線于，計算得到，為中點，，，得到答案.【詳解】如圖所示：作準線于，軸于，準線于.直線的斜率為，故，，，故，.，代入拋物線得到；，故，故為中點；，故；，，故；故選：.【點睛】本題考查了拋物線相關命題的推斷，意在考查學生的綜合應用實力.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分.14.準線方程為的拋物線的標準方程是___________.【答案】【解析】【分析】由拋物線的準線方程可知，拋物線是焦點在軸負半軸上的拋物線，并求得值，則答案可求．【詳解】解：由拋物線的準線方程為，可知拋物線是焦點在軸負半軸上的拋物線，設其方程為，則其準線方程為，得．該拋物線的標準方程是．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎題．15.已知雙曲線：的一條漸近線與直線：垂直，則雙曲線的離心率______.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c【詳解】雙曲線C：的一條漸近線，由于一條漸近線與直線垂直，則有，，則離心率為．故答案：．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運算實力，屬于基礎題．16.已知等差數(shù)列的首項為1，公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項的和為______.【答案】.【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為d，運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得公差d，再由等差數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．【詳解】等差數(shù)列的首項為1，公差d不為零，若，，成等比數(shù)列，可得，即，解得（0舍去），數(shù)列前8項的和為．故答案為：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和運算實力，屬于基礎題．17.已知圓上一動點，定點，軸上一點，則的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意畫出示意圖，進而數(shù)形結合求解；【詳解】依據(jù)題意畫出圓，以及點B（6，1）的圖象如圖，作B關于x軸的對稱點，連接圓心與，則與圓的交點A，即為的最小值，為點（0，2）到點（6，-1）的距離減圓的半徑，即，故答案為：．【點睛】考查“將軍飲馬”學問，數(shù)形結合的思想，畫出圖形，做出B點的對稱點是解決本題的突破點；四、解答題：共82分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）干脆利用已知條件建立等量關系式求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式．（2）利用（1）的結論，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和，進一步利用放縮法的應用求出結果．【詳解】解：（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，所以，所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）知：，所以.【點睛】本題考查的學問要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，放縮法的應用，主要考查學生的運算實力和轉換實力及思維實力，屬于基礎題型．19.在平面直角坐標系中，圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點和點.（1）求圓的標準方程；（2）求經(jīng)過點且與圓恰有1個公共點的直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由題意可知，圓心應在弦PQ的中垂線上，求出該直線方程，與圓心所在直線方程聯(lián)立求解，求得圓心坐標，再利用點P在圓上，求出半徑，進而求出圓的方程；（2）分直線的斜率是否存在進行探討，設出直線的點斜式方程，由直線與圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率，從而求出直線的方程．【詳解】解：（1）直線的斜率，中點坐標為，所以中垂線方程為，即，由得，圓心，所以，所以圓的標準方程為：.（2）當該直線斜率不存在，即直線方程為時，成立，當該直線斜率存在時，設其方程為：，即，因為該直線與圓恰有1個公共點，所以圓心到直線距離，得.所以切線方程為或.【點睛】本題考查的學問要點：圓與直線的位置關系式的應用，點到直線的距離公式的應用，主要考查學生的運算實力和轉換實力及思維實力，屬于中檔題．20.已知為坐標原點，點和點，動點滿意：.（1）求動點的軌跡曲線的方程并說明是何種曲線；（2）若拋物線：的焦點恰為曲線的頂點，過點的直線與拋物線交于，兩點，，求直線的方程.【答案】（1）動點的軌跡方程為：，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支；（2）或【解析】【分析】（1）由動點滿意，可得到軌跡曲線為雙曲線的右支；（2）由（1）可得F的坐標，然后再求出拋物線的方程，設出直線的方程為，后依據(jù)焦點弦弦長公式得到關于k的方程，解出即可．【詳解】解：（1）依據(jù)雙曲線的定義：點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支且，所以，，，，所以動點的軌跡方程為：.（2）因為曲線的頂點為，所以拋物線的方程為：，當直線斜率不存時，不滿意題意，設直線：，由拋物線的定義知：，，，所以，將代入得：，所以，解得，所以直線的方程為：或.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義以及直線與圓錐曲線的關系，應用拋物線的定義求其弦長公式即可快速求解，屬于中檔題．21.已知為坐標原點，定點，定直線：，動點到直線的距離為，且滿意：.（1）求動點的軌跡曲線的方程；（2）若直線：與曲線交于，兩點，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設，P到F的距離，P到定直線l的距離為，進而求解；（2）設，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出t的取值范圍，進而由三角形面積公式求解；【詳解】解：（1）設點，由題知：，所以，整理得點的軌跡方程為：.（2）將帶入得：，所以，，得，，點到直線的距離，∴，當且僅當即時等號成立滿意，面積最大值為.【點睛】（1）考查橢圓軌跡方程解析式求解；，點到直線距離，點到點的距離公式應用；（2）考查圓錐曲線與直線相交，求三角形面積最值問題，解決本題關鍵點在于怎么表示三角形的面積；22.已知數(shù)列的前項和為，，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）已知曲線若為橢圓，求的值；（3）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可得出結論；（2）利用（1）中的結論求出，由與之間的關系求出，結合題意得出，可求出的值；（3）求出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法求出.【詳解】（1）對隨意的，，則且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，.當時，，也適合上式，所以，.由于曲線是橢圓，則，即，，解得或；（3），，①，②①②得，因此，.【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明，同時也考查了利用橢圓方程求參數(shù)以及錯位相減法求和，考查推理實力與計算實力，屬于中等題.23.已知為坐標原點，橢圓：上頂點為，右頂點為，離心率，圓：與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，，為橢圓上的三個動點，直線，，的斜率分別為.（i）若的中點為，求直線的方程；（ii）若，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）由離心率和直線AB與圓相切分別得到a，b的關系式，求解得橢圓的方程；（2）（i）由點差法求出直線EF的斜率，然后寫出方程；（ⅱ）由直線DE、DF與橢圓的相