2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.16.4.2平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.兩個大小相等的共點力F1,F2,當它們的夾角為90°時,合力大小為20N,當它們的夾角為120°時,合力大小為 ()A.40N B.10QUOTENC.20QUOTEN D.40QUOTEN【解析】選B.如圖,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,F為這兩個力的合力.由題意,易知|F|=QUOTE|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=10QUOTEN.當它們的夾角為120°時,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,此平行四邊形為菱形,此時|F合|=|F1|=10QUOTEN.2.若點O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿意|-|=|+-2|,則△ABC的形態(tài)是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【解析】選B.因為|-|=||=|-|,|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四邊形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.所以△ABC是直角三角形.【補償訓(xùn)練】若四邊形ABCD滿意+=0,(-)·=0,則該四邊形肯定是 ()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.直角梯形【解析】選C.因為+=0,所以=,四邊形ABCD是平行四邊形,由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此四邊形對角線相互垂直,故為菱形.3.已知點O為△ABC外接圓的圓心,且++=0,則△ABC的內(nèi)角A等于 ()A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】選A.由++=0,得=-,兩邊平方得=+-2·,由于||=||=||,則||2=2||||cos∠BOC,所以cos∠BOC=QUOTE,則∠BOC=60°,所以∠A=QUOTE∠BOC=30°.【補償訓(xùn)練】已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3+4+5=0,則·的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24·+16=25.因為A,B,C在圓上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,所以·=-QUOTE(3+4)·(-)=-QUOTE(3·+4-3-4·)=-QUOTE.4.一質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F2,F3的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1與F2的夾角為60°,且F1,F2的大小分別為2N和4N,則F3的大小為 ()A.6N B.2N C.2QUOTEN D.2QUOTEN【解析】選D.由向量的平行四邊形法則及力的平衡,得|F3|2=|-F1-F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|·|F2|·cos60°=22+42+2×2×4×QUOTE=28,所以|F3|=2QUOTEN.5.在四邊形ABCD中,∠B=120°,∠C=150°,且AB=3,BC=1,CD=2,則AD的長所在區(qū)間為 ()A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)【解析】選C.=++,其中與的夾角為60°,與的夾角為30°,與的夾角為90°,則||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=9+1+4+2×3×1×QUOTE+2×1×2×QUOTE+0=17+2QUOTE∈(16,25),所以||∈(4,5).6.(多選題)小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時,設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列說法中正確的是 ()A.繩子的拉力不斷增大 B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小 D.船的浮力保持不變【解析】選AC.設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,F與水平方向的夾角為θ,0<θ<QUOTE.則|F|cosθ=|f|,所以|F|=QUOTE.因為θ增大,cosθ減小,所以|F|增大.因為|F|sinθ增大,且船的重力為|F|sinθ與浮力之和,所以船的浮力減小.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知O為坐標原點,點A(3,0),B(4,4),C(2,1),則AC和OB的交點P的坐標為______.

【解析】設(shè)=t=t(4,4)=(4t,4t),則=-=(4t-3,4t),=(2,1)-(3,0)=(-1,1).由,共線,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,解得t=QUOTE.所以=(4t,4t)=QUOTE,所以點P的坐標為QUOTE.答案:QUOTE8.在傾斜角為37°(sin37°=0.6),高為2m的斜面上,質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑至底部,則斜面對物體m的支持力所做的功為______J,重力所做的功為__

J(g=9.8m/s2).【解析】物體m的位移大小為|s|=QUOTE=QUOTE(m),則支持力對物體m所做的功為W1=F·s=|F||s|·cos90°=0(J);重力對物體m所做的功為W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:098三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若∥,求x與y間的關(guān)系式;(2)若又有⊥,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.【解析】(1)因為=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).由∥,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因為=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),由⊥,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-QUOTEx,代入上式得x2+4x-12=0.解得x1=-6,x2=2.相應(yīng)求得y1=3,y2=-1,即QUOTE或QUOTE如圖,S四邊形ABCD=S△BCD+S△ABD=QUOTE||||+QUOTE||||=QUOTE||||,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以||=8或4,||=4或8,所以QUOTE=16.10.某人在一條河中游泳,河水的流速為3km/h,此人在靜水中游泳的速度為4km/h.(1)假如他徑直游向河對岸,他實際是沿什么方向前進?速度大小為多少?(2)他必需朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進?實際前進的速度大小為多少?【解析】(1)設(shè)水流速度為,此人游泳的速度為,以,為鄰邊作矩形OACB,則此人實際的速度為=+.由||=3,||=4,及勾股定理,得||=5,且在Rt△OAC中,∠AOC≈53°8′.故此人實際是沿與水流方向的夾角為53°8′的方向前進的,速度大小為5km/h.(2)設(shè)水流速度為,實際游泳的速度為,實際前進的速度為,則+=,所以四邊形OABC為平行四邊形.據(jù)題意,⊥,||=3,||=4,則在Rt△AOB中,||=QUOTE=QUOTE.cos∠BAO=QUOTE,所以∠BAO≈41°25′.故此人應(yīng)沿與河岸的夾角為41°25′且逆著水流的方向前進,實際前進的速度大小為QUOTEkm/h.【補償訓(xùn)練】一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地,然后向C地飛行.設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°,并且A、C兩地相距2000km,求飛機從B地到C地的位移.【解析】如圖所示,設(shè)A在東西基線和南北基線的交點處.依題意,的方向是北偏西60°,||=1000km;的方向是南偏西60°,||=2000km,所以∠BAC=60°.過點B作東西基線的垂線,交AC于點D,則△ABD為正三角形.所以BD=CD=1000km,∠CBD=∠BCD=QUOTE∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=AC·sin60°=2000×QUOTE=1000QUOTE(km),||=1000QUOTE(km).所以,飛機從B地到C地的位移大小是1000QUOTEkm,方向是南偏西30°.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在△ABC中,設(shè)=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,則△ABC的形態(tài)為 ()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.因為a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法則可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等邊三角形.2.在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則QUOTE= ()A.2 B.4 C.5 D.10【解析】選D.將△ABC各邊及PA,PB,PC均用向量表示,則QUOTE====-6=42-6=10.3.點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿意·=·=·,則點O是△ABC的 ()A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高線的交點【解析】選D.由·=·,得·-·=0,所以·(-)=0,即·=0.所以⊥.同理可證⊥,⊥.所以O(shè)B⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即點O是△ABC的三條高線的交點.4.(多選題)在直角△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列等式成立的是 ()A.||2=·B.||2=·C.||2=·D.||2=【解析】選ABD.·=·(+)=+·==||2,A正確;同理||2=·成立,B正確;又===||2,D正確.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上),大小為50N,一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運動了20m.則力F所做的功是________,摩擦力f所做的功是________.(g=10m/s2)

【解析】設(shè)木塊的位移為s,則F·s=|F||s|cos30°=50×20×QUOTE=500QUOTE(J).將力F分解,它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|=|F|sin30°=50×QUOTE=25(N),所以摩擦力f的大小為|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分別是500QUOTEJ和-22J.答案:500QUOTEJ-22J6.如圖,已知在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,點M在OB上,且OM=1,點N在OA上,且ON=1,P為AM與BN的交點,則∠MPN=________.

【解析】設(shè)=a,=b,與的夾角為θ,則=QUOTEb,=QUOTEa,又因為=-=QUOTEb-a,=-=QUOTEa-b.所以·=QUOTE·QUOTE=-5,又||=QUOTE,||=QUOTE,所以cosθ=QUOTE=-QUOTE.又因為θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,又因為∠MPN為向量,的夾角,所以∠MPN=QUOTE.答案:QUOTE7.已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿意||2+=||2+||2=||2+||2,則O是△ABC的________.

【解析】設(shè)=a,=b,=c,則=c-b,=a-c,=b-a.由題意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化簡可得c·b=a·c,即(b-a)·c=0,即·=0,故⊥,即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.答案:垂心8.如圖所示,在△ABC中,D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點,G是它的重心,已知D點的坐標是(1,2),E點坐標是(3,5),F點坐標是(2,7),則A點坐標為________,G點坐標為________.

【解析】設(shè)A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).所以QUOTE即QUOTE所以A(0,4).因為AE過點G.設(shè)G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),所以QUOTE即QUOTE所以G(2,QUOTE).答案:(0,4)(2,QUOTE)三、解答題(每小題10分,共30分)9.一條寬為QUOTEkm的河,水流速度的大小為2km/h,在河兩岸有兩個碼頭A,B,已知AB=QUOTEkm,船在水中最大航速的大小為4km/h,問該船從A碼頭到B碼頭怎樣支配航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭?用時多少?【解析】如圖所示,設(shè)為水流速度,為航行速度,以AC和AD為鄰邊作?ACED且當AE與AB重合時能最快到達彼岸,依據(jù)題意AC⊥AE,在Rt△ADE和?ACED中,||=||=2,||=4,∠AED=90°,