2025屆北京市昌平區(qū)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆北京市昌平區(qū)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知是非零向量且滿足，，則與的夾角是（）A. B.C. D.2．函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,1) B.［1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)3．若角滿足，，則角所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（）A. B.C. D.5．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖像（）A.向左平移個(gè)單位得到 B.向右平移個(gè)單位得到C.向左平移個(gè)單位得到 D.向右平移個(gè)單位得到6．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若對任意、，恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．若，則的值為A.0 B.1C.-1 D.28．黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達(dá)芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫面里形成了一個(gè)黃金三角形．如圖，在黃金三角形中，，根據(jù)這些信息，可得（）A. B.C. D.9．若角，均為銳角，，，則（）A. B.C. D.10．下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩平行直線與之間的距離______.12．的值為______13．設(shè)，則________14．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上遞減，則實(shí)數(shù)m＝________15．寫出一個(gè)定義域?yàn)?，周期為的偶函?shù)________16．已知直線與直線的傾斜角分別為和，則直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知A（﹣1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)G滿足GA⊥GB，記動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）如圖，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)（3，0）且與x軸垂直的直線為l，直線AM與l相交于點(diǎn)E，直線BM與l相交于點(diǎn)F，求證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點(diǎn)T，并求出點(diǎn)T的坐標(biāo)18．如圖，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且求二面角的正切值；求三棱錐的體積19．已知函數(shù)．（1）求方程在上的解；（2）求證：對任意的，方程都有解20．已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，最小值，設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象如圖所示（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其對稱軸方程（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)的x的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用向量垂直求得，代入夾角公式即可.【詳解】設(shè)的夾角為；因?yàn)?，，所以，則，則故選：B【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.2、A【解析】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間【詳解】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間為（-∞，1），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】根據(jù)，，分別確定的范圍，綜合即得解.【詳解】解：由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上，故是第三象限角故選：C4、D【解析】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),，由，得，，，解方程組得，代入計(jì)算比較大小可得.考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性及函數(shù)求解析式5、D【解析】異名函數(shù)圖像的平移先化同名，然后再根據(jù)“左加右減，上加下減”法則進(jìn)行平移.【詳解】變換到，需要向右平移個(gè)單位.故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)圖像平移異名化同名的公式：，.6、A【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)求得，求得函數(shù)的解析式，不等式等價(jià)于，由此求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，∴，解得，∴，所以，要使對任意、，恒成立，只需，又，∴，即，故選：A.7、A【解析】由題意得a不等于零，或,所以或,即的值為0，選A.8、B【解析】由題意，結(jié)合二倍角余弦公式、平方關(guān)系求得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求.【詳解】由題設(shè)，可得，，所以，又，所以.故選：B9、B【解析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及差角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以，.故選：B10、D【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減；函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減；函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減故選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】根據(jù)平行線間距離公式可直接求解.【詳解】直線與平行由平行線間距離公式可得故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查了平行線間距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可【詳解】13、【解析】根據(jù)自變量取值判斷使用哪一段解析式求解，分別代入求解即可【詳解】解：因?yàn)椋?，所以故答案為?14、2【解析】由冪函數(shù)的定義可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入驗(yàn)證即可.【詳解】是冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1，當(dāng)m＝2時(shí)，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝－1時(shí)，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是減函數(shù)，所以m＝2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查了理解辨析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目.15、（答案不唯一）【解析】結(jié)合定義域與周期與奇偶性，寫出符合要求的三角函數(shù)即可.【詳解】滿足定義域?yàn)镽，最小正周期，且為偶函數(shù)，符合要求.故答案為：16、【解析】因?yàn)橹本€與直線的傾斜角分別為和，所以，聯(lián)立與可得，,直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x2+y2＝1；（2）證明見解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解析】(1)由可得,列出等式即可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),我們可以得到直線AM、直線BM的方程,與直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程,最后求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)G（x，y）（x≠±1），因?yàn)镚A⊥GB，所以，整理得C的方程為x2+y2＝1（x≠±1）；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，則直線AM的方程為y，令x＝3，得E（3，），直線BM的方程為y，令x＝3，得F（3，），從而以EF為直徑的圓方程為（x﹣3）2+（y）（y）＝0，令y＝0，則（x﹣3）2?0，即（x﹣3）20，又因?yàn)閤02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，解得x＝3±2，所以定點(diǎn)T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,考查直線與圓的方程的應(yīng)用問題,屬于中檔題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線的點(diǎn)斜式方程,由圓上兩點(diǎn)的坐標(biāo)列出圓的方程,認(rèn)真分析題意求得結(jié)果.18、（1）2（2）【解析】取BC中點(diǎn)O，中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OA，以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正切值三棱錐的體積，由此能求出結(jié)果【詳解】取BC中點(diǎn)O，中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OA，由正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則3，，0，，0，，0，，所以0，，3，，其中平面ABD的法向量1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得1，，設(shè)二面角的平面角為，則，則，則，所以二面角的正切值為2由（1）可得平面，所以是三棱錐的高，且,所以三棱錐的體積：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的求解，及空間幾何體的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解二面角問題是求解空間角的常用方法，同時(shí)注意“等體積法”在求解三棱錐體積中的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題19、（1）或；（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）令，分，，三種情況，分別根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得證.【詳解】解：（1）由，得，所以當(dāng)時(shí)，上述方程的解為或，即方程在上的解為或；（2）證明：令，則，①當(dāng)時(shí)，，令，則，即此時(shí)方程有解；②當(dāng)時(shí)，，又∵在區(qū)間上是不間斷的一條曲線，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即此時(shí)方程有解；③當(dāng)時(shí)，，，又∵在區(qū)間上是不間斷的一條曲線，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即此時(shí)方程有解．綜上，對任意的，方程都有解20、（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值，通過a與0的大小討論，列出方程，即可求a，b的值；（2）轉(zhuǎn)化不等式f（2x）﹣k?2x≥0，為k在一側(cè)，另一側(cè)利用換元法通過二次函數(shù)在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）化簡方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，推出不等式然后求實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上為增函數(shù)，故，可得，?∴a＝1，b＝0（2）方程f（2x）﹣k?2x≥0化為2x2≥k?2x，k≤1令t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，記φ（t）＝t2﹣2t+1，∴φ（t）min＝φ（1）＝0，∴k≤0（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0得|2x﹣1|（2+3k）＝0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴由t＝|2x﹣1|的圖象（如圖）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有兩個(gè)根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，記φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2