湖南省長沙市鐵路一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析_第1頁
湖南省長沙市鐵路一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析_第2頁
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文檔簡介

湖南省長沙市鐵路一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0公共弦所在直線方程為()A. B.C. D.2.直線與圓相交與A,B兩點,則AB的長等于()A3 B.4C.6 D.13.已知直線和互相垂直,則實數(shù)的值為()A. B.C.或 D.4.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.455.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則()A. B.C. D.6.雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為A. B.C. D.7.若離散型隨機變量的所有可能取值為1,2,3,…,n,且取每一個值的概率相同,若,則n的值為()A.4 B.6C.9 D.108.雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.9.已知點,是橢圓:的左、右焦點,是的左頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,且,則的離心率為()A. B.C. D.10.直線與直線的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直11.用數(shù)學(xué)歸納法時,從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是()A. B.C. D.12.已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為,則拋物線的方程是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,則___________.14.寫出同時滿足以下三個條件的數(shù)列的一個通項公式______.①不是等差數(shù)列,②是等比數(shù)列,③是遞增數(shù)列15.已知直線與,若,則實數(shù)a的值為______16.已知,滿足約束條件則的最小值為__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱柱的底面為正方形,平面,,,點在上,且.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求平面與平面夾角的余弦值.18.(12分)在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1BC=60°,求證:(1)AB1⊥BC;(2)A1C⊥平面AB1C1.19.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,橢圓E的一個焦點為(1)求橢圓E的方程;(2)若直線l過點且與橢圓E交于A,B兩點.求的最大值20.(12分)如圖,多面體中,平面平面,,四邊形為平行四邊形.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項和為,,,數(shù)列滿足(且),.(1)求和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.22.(10分)設(shè)AB是過拋物線焦點F的弦,若,,求證:(1);(2)(為弦AB的傾斜角)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】兩圓的方程消掉二次項后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2+y2-4=0與x2+y2-4x+4y-12=0兩式相減得:,即.故選:B2、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為,所以AB的長等于故選:C3、B【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)的等式,求解即可.【詳解】由已知可得,解得.故選:B.4、A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)×2=0.3,頻數(shù)為36,∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75=90.考點:頻率分布直方圖.5、B【解析】利用對數(shù)的運算性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,,,.故選:B6、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:因為漸近線方程為,所以漸近線方程為,選A.點睛:已知雙曲線方程求漸近線方程:.7、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因為,所以故選:D8、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知,,故選A.9、D【解析】設(shè),先求出點,得,化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點在軸上,如圖所示,設(shè),則,∵為等腰三角形,且,∴.過作垂直軸于點,則,∴,,即點.∵點在過點且斜率為的直線上,∴,解得,∴.故選:D【點睛】方法點睛:求橢圓的離心率常用的方法有:(1)公式法(求出橢圓的代入離心率的公式即得解);(2)方程法(通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解).10、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為,所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選:C11、C【解析】分別求出n=k時左端的表達式,和n=k+1時左端的表達式,比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當n=k時,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),當n=k+1時,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選:C【點睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,分別求出n=k時左端的表達式和n=k+1時左端的表達式,是解題的關(guān)鍵12、B【解析】由拋物線知識得出準線方程,再由點到焦點的距離等于其到準線的距離求出,從而得出方程.【詳解】由題意知,則準線為,點到焦點的距離等于其到準線的距離,即,∴,則故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示運算求解即可.【詳解】解:因為,,所以.故答案為:14、【解析】由條件②寫出一個等比數(shù)列,再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列,令,當時,,,是遞增數(shù)列,令是互不相等的三個正整數(shù),且,若,,成等差數(shù)列,則,即,則有,顯然、都是正整數(shù),,都是偶數(shù),于是得是奇數(shù),從而有不成立,即,,不成等差數(shù)列,數(shù)列不成等差數(shù)列,所以.故答案為:15、【解析】由可得,從而可求出實數(shù)a的值【詳解】因為直線與,且,所以,解得,故答案:16、2【解析】由題意,根據(jù)約束條件作出可行域圖,如圖所示,將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為,作出其平行直線,并將其在可行域內(nèi)平行上下移動,當移到頂點時,在軸上的截距最小,即.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)以為原點,所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量可得,即平面,再由線面垂直的性質(zhì)可得答案;(2)設(shè)直線與平面所成角的為,可得答案;(3)由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】以為原點,所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系,則,,,,,所以,,,設(shè)平面的一個法向量為,所以,即,令,則,所以,所以,所以平面,平面,所以.【小問2詳解】,所以,由(1)平面的一個法向量為,設(shè)直線與平面所成角的為,所以直線與平面所成角的正弦值.【小問3詳解】由已知為平面的一個法向量,且,由(1)平面的一個法向量為,所以,由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.18、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)通過計算·=0來證得AB1⊥BC.(2)通過證明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1來證得A1C⊥平面AB1C1.【詳解】證明:(1)易知<>=120°,=+,則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.(2)易知四邊形AA1C1C為菱形,所以A1C⊥AC1.因為·=(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0,所以AB1⊥A1C,又AC1∩AB1=A,所以A1C⊥平面AB1C1.19、(1);(2).【解析】(1)利用代入法,結(jié)合焦點的坐標、橢圓中的關(guān)系進行求解即可;(2)根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論,結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意:,解得,,∴橢圓E的方程為;【小問2詳解】當直線l的斜率存在時,設(shè),,由得由得.由,得當且僅當,即時等號成立當直線l的斜率不存在時,,∴的最大值為20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)先通過平面平面得到,再結(jié)合,可得平面,進而可得結(jié)論;(2)取的中點,的中點,連接,,以點為坐標原點,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量,求這兩個法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解:(1)因為平面平面,交線為,又,所以平面,,又,,則平面,平面,所以,;(2)取的中點,的中點,連接,,則平面,平面;以點坐標原點,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,已知,則,,,,,,則,,設(shè)平面的一個法向量,由得令,則,,即;平面的一個法向量為;.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角,考查學(xué)生計算能力以及空間想象能力,是中檔題.21、(1),;(2).【解析】(1)根據(jù),列方程組即可求解數(shù)列的通項公式,根據(jù)可求數(shù)列的通項公式;(2)化簡,利用裂項相消法求該數(shù)列前n項和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,∵,∴,∵公差,∴.由得,即,∴數(shù)列是首項為,公比為2的等比數(shù)列,∴;【小問2

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