2025屆陜西省洛南縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆陜西省洛南縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.82．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.3．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－194．已知點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.6．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定7．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或38．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.9．方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.10．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切11．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-312．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______.14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________15．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是______16．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）+alnx，實(shí)數(shù)a＞0（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，10）上的單調(diào)性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關(guān)于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)19．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大小；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.21．（12分）已知圓：，過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點(diǎn)，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以.故選：D2、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因?yàn)?，所以，所?故選：B.3、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C4、C【解析】先計(jì)算拋物線上的點(diǎn)P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設(shè)，由圓心，得，∴時(shí)，，∴故選：C.5、C【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：C6、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C7、D【解析】根據(jù)，且構(gòu)成等比數(shù)列，利用“”求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，且?gòu)成等比數(shù)列，所以，解得，故選：D8、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A9、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個(gè)不同的解即半圓和直線要始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.10、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因?yàn)椋詢蓤A相交.故選：A.11、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A12、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線直線，可以看到當(dāng)移動(dòng)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線即過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##2.25##【解析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后得到兩根之和，結(jié)合焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式求出，用點(diǎn)到直線距離公式求高，進(jìn)而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點(diǎn)，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設(shè)，則，由拋物線的定義可得弦長(zhǎng)，原點(diǎn)到直線的距離，所以面積.故答案為：14、【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合焦點(diǎn)定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：15、相交【解析】把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關(guān)系比較即可知兩圓位置關(guān)系.【詳解】化為，化為，則兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，圓心距為，，所以兩圓相交.故答案為：相交.16、【解析】構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于等于零得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算函數(shù)最小值得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和極值可得答案【小問1詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a＝2時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當(dāng)010，即a時(shí)，當(dāng)0＜x時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜10時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當(dāng)10即0＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當(dāng)a時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，10）上單調(diào)遞增，f（x）在x時(shí)取得極小值，無極大值當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等價(jià)為存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因?yàn)閍＞0，可得當(dāng)0＜x時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以當(dāng)x時(shí)，g（x）取得極小值，且為最小值，由題意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減所以當(dāng)x＝2時(shí)，h（x）取得極大值，且為最大值h（2）＝0所以滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）∪（2，+∞）18、（1）（2）【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得結(jié)果.【小問1詳解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小問2詳解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長(zhǎng)為19、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，利用三點(diǎn)共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因?yàn)?，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因?yàn)槠矫?，到平面的距離為所以，即因?yàn)榇霐?shù)據(jù)解得，即，故存在點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.20、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程21、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范圍；(2)使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求切點(diǎn)的連線的方程.【小問1詳解】如下圖所示，因?yàn)閳A的方程可化為，所以圓心，半徑，且，所以，故取值范圍為.【小問2詳解】可知切線，中至少一條的斜率存在，設(shè)為，則此切線為即，由圓心到此切線的距離等于半徑，即，得所以兩條切線的方程為和，于是由聯(lián)立方程組得兩切點(diǎn)的坐標(biāo)為和所以故直線的方程為即22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和