重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或2．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.23．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.4．設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．如圖所示，在平行六面體中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.6．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.8．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則=（）A. B.C. D.9．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.10．是等差數(shù)列，，，的第（）項(xiàng)A.98 B.99C.100 D.10111．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1312．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某足球俱樂(lè)部選拔青少年隊(duì)員，每人要進(jìn)行3項(xiàng)測(cè)試．甲隊(duì)員每項(xiàng)測(cè)試通過(guò)的概率均為，且不同測(cè)試之間相互獨(dú)立，設(shè)他通過(guò)的測(cè)試項(xiàng)目數(shù)為X，則_________14．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____15．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中位移的單位是米，時(shí)間的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時(shí)速度是__________米/秒16．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.19．（12分）已知圓C的圓心C在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，直線與直線的交點(diǎn)為N.判斷是否為定值.若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是，的等比中項(xiàng)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍22．（10分）設(shè)橢圓：的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置不同方程不同2、C【解析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C3、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題4、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類(lèi)討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，，即，或，即，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C5、D【解析】根據(jù)空間向量加法和減法的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，所以，故選：D.6、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D7、A【解析】結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別求出和，代值運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A8、A【解析】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算法則，直接寫(xiě)出向量的表達(dá)式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.9、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D10、C【解析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)故選：C11、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B12、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可求出【詳解】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?4、【解析】取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AH于點(diǎn)F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，15、5【解析】，16、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價(jià)于∴故不等式的解集是答案：點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過(guò)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見(jiàn)的函數(shù)類(lèi)型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將的通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內(nèi)積為零，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算向量?jī)?nèi)積；(2)利用一元二次函數(shù)，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示，以原點(diǎn)，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，因?yàn)椋?，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以故的最大值為【小?wèn)3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榇藭r(shí)，，所以由得取，得，，又可取平面的一個(gè)法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，將代入直線方程，即可求出，再與求交點(diǎn)坐標(biāo)，得到圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在直接求出、的坐標(biāo)，即可求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為、、，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示出的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，即可表示出、，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，則，解得，即，由，解得，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑，所以圓的方程為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，所以，消去得，設(shè)、，則，，所以，所以的中點(diǎn)，由解得，即，所以，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，綜上可得.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)是，的等比中項(xiàng)，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭?，的等比中?xiàng)，且，，所以，解得，，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.21、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)?，所以，即，所以①，因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為22、（1）；（2）.【