第02講圓-垂徑定理（知識解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）

第02講圓垂徑定理1.掌握垂徑定理及其推論；2.利用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明.知識點1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分知識點2垂徑定理的應用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【題型1運用垂徑定理直接求線段的長度】【典例1】（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【變式11】（2023春?開福區(qū)校級月考）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式12】（澄城縣期末）如圖，⊙O中，OD⊥弦AB于點C，交⊙O于點D，OB＝13，AB＝24，則OC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式13】（2023?宿州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若OE＝CE＝2，則BE的長為（）A． B． C．1 D．2【題型2垂徑定理在格點中的運用】【典例2】（2023?平遙縣二模）如圖所示，一圓弧過方格的格點AB，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【變式21】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【變式22】（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經(jīng)過A（2，2），B（4，0），O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A．點D B．點E C．點F D．點G【變式23】（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一圓弧過正方形網(wǎng)格的格點A，B，C，已知A點的坐標為（﹣3，5），B點的坐標為（1，5），C點的坐標為（4，2），則該圓弧所在圓的圓心坐標為．【題型3垂徑定理與方程的綜合應用】【典例3】（2023?尋烏縣一模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式31】（2021秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OE⊥弦AB于點E，EO的延長線交弦AB所對的優(yōu)弧于點F，若AB＝FE＝8，則⊙O的半徑為（）A．5 B．6 C．4 D．2【變式32】（2022秋?宜春期末）已知：如圖，⊙O的直徑AC與弦BD（不是直徑）交于點E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的長．【題型4同心圓與垂井定理綜合】【典例4】（2022秋?梁山縣期末）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【變式41】（2022秋?嘉興期中）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長．【變式42】（2022秋?浦江縣校級月考）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的長；（2）若大圓半徑為13cm，求小圓的半徑．【題型5垂徑定理的實際應用】【典例5】（2022秋?贛縣區(qū)期末）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半徑．【變式51】（2022秋?信都區(qū)校級期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【變式52】（2023?武義縣一模）如圖，一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式53】（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學）一面墻上有一個矩形門洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是（）A．2.25米 B．2.2米 C．2.15米 D．2.1米【典例6】（2023?迎澤區(qū)校級一模）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【變式61】（2021秋?恩施市校級期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過這座圓弧形拱橋并說明理由．【變式62】（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度．【變式63】（2022秋?南寧期中）如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度AB（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高（弧的中點到弦的距離）為0.8米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端（點B）0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．1．（2021?鄂州）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米2．（2021?涼山州）點P是⊙O內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（2021?青海）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分4．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．6．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．1．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝10，水面寬AB＝16，則截面圓心O到水面的距離OC是（）A．4 B．5 C．6 D．62．《九章算術》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學專著，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深兩寸，鋸道長八寸，問徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深2寸（ED＝2寸），鋸道長8寸”，問這塊圓形木材的直徑是多少？”如圖所示，請根據(jù)所學知識計算圓形木材的直徑AC是（）A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．24．如圖，一根排水管的截面是一個半徑為5的圓，管內(nèi)水面寬AB＝8，則水深CD為（）A．3 B．2 C． D．5．如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個半徑為5cm的圓，杯內(nèi)水面AB＝8cm，則水深CD是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm6．如圖，某同學準備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為cm．7．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為m．8．“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學語言就是：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，AE＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB的長為寸．9．往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．10．興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為m．11．為測量一鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得有關數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為．12．如圖，以點P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點，點P的坐標為（4，2），點A的坐標為（2，0），則點B的坐標為．13．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA＝2m，水面寬AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面寬度為3.2m，則排水管水面上升了m．14．證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條?。阎喝鐖D，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，．求證：．證明：15．如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．16．已知：如圖，∠PAC＝30°，在射線AC上順次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點．（1）求圓心O到AP的距離；（2）求弦EF的長．17．如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點A、B、C．若A點的坐標為（0，4），C點的坐標為（6，2），（1）根據(jù)題意，畫出平