專題20一次函數(shù)特殊圖形的存在性問題-

專題20一次函數(shù)特殊圖形的存在性問題【考法導(dǎo)圖】◎考法類型1直角三角形存在性問題方法技巧：分類討論哪個角為直角，一般分三種情況，簡稱“兩垂線+一圓”1．（2022秋·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，是直線與兩坐標(biāo)軸的交點，直線過點，與軸交于點．(1)求，，三點的坐標(biāo)；(2)點是折線上一動點．①如圖（1），當(dāng)點是線段的中點時，在軸上找一點，使最??；用直尺和圓規(guī)畫出點的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求出點的坐標(biāo)；②是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)①作圖見解析，；②點的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點，解方程即可得到結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，求得，于是得到結(jié)論；②當(dāng)點在上時，由得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到；當(dāng)點在上時，如圖，設(shè)交軸于點，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，令，得；令，得，，，把代入，得，直線為，在中，令，得，點的坐標(biāo)為；（2）解：①如圖所示：點是的中點，，，，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，，故直線解析式為，點在軸上，令，得點的坐標(biāo)為；②存在，理由如下：當(dāng)點在上時，設(shè)交軸于點，過作軸，如圖1所示：，為等腰直角三角形，即，，為等腰直角三角形，，，，，，點的坐標(biāo)為；當(dāng)點在上時，設(shè)交軸于點，如圖2所示：在與中，，，點的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由圖可知，點是直線與直線交點，聯(lián)立方程組，解得，點的坐標(biāo)為．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對稱的最短路徑問題、直角三角形問題，第（2）②題采用了分類討論的思想，與三角形全等結(jié)合，聯(lián)立方程組求解即可解決問題．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是的中點．(1)求直線的解析式；(2)在x軸上找一點D，使得，求點D的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在；或【分析】（1）求出C點坐標(biāo)，代入解析式可求解；（2）先根據(jù)題意，求出，設(shè)點D，再根據(jù)即可求解；（3）假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為，分兩種情況討論，①，②，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，則有：時，；時，；A，B，，點C是的中點，，C，設(shè)直線的解析式為：，代入A，C可得：，解得：，直線的解析式為：；（2）A，C，，，，設(shè)點D，則，，解得：或，點D的坐標(biāo)為或；（3）假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為，A，B，C，，，，因為確定，所以是直角三角形需分2種情況分析：①，此時點P與原點O重合，坐標(biāo)為；②，，即，解得：，此時點P的坐標(biāo)為，綜上所述，滿足條件的P點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E，且兩個函數(shù)圖象相交于點．(1)填空：m＝______，b＝______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點M，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(4)點P在線段上，連接，若是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P坐標(biāo)．【答案】(1)3，6(2)的面積為50(3)存在，點M的坐標(biāo)為(4)所有符合條件的點P坐標(biāo)為或【分析】（1）由是一次函數(shù)與的圖象的交點，即可解出；（2）由兩個一次函數(shù)解析式分別求出它們與x軸的交點坐標(biāo)，得到的長，從而算出的面積；（3）由已知條件可得的面積，進而得出的長，即可得點M的坐標(biāo)；（4）由是直角三角形、是銳角，分和兩種情況討論，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵是一次函數(shù)與的圖象的交點，∴，解得，∴，解得，故答案為：3，6；（2）一次函數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，一次函數(shù)中，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴的面積為50；（3）如圖：在線段上存在一點M，使得的面積與四邊形的面積比為，∵的面積與四邊形的面積比為，∴，∴，即，∴，∵點M在線段上，∴點M的坐標(biāo)為；（4）點P在線段上，是銳角，若是直角三角形，則或，設(shè)點，∵，∴，，，當(dāng)時，，∴，整理得，，解得或（舍去），∴點P坐標(biāo)為；當(dāng)時，，∴，解得，∴點P坐標(biāo)為；綜上所述，所有符合條件的點P坐標(biāo)為或．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.(1)點C的坐標(biāo)為(2)求原點O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形?若存在，求出點P的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)存在，點的坐標(biāo)為或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式可求得的長，再根據(jù)，設(shè)原點到直線的距離為，列方程即可求解；(3)設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得：，所以點的坐標(biāo)為；（2）解：代入A、兩點可得：，，解得：，，故，，，，設(shè)原點到直線的距離為，則，解得：，故原點到直線的距離為；（3）解：存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，所以當(dāng)是直角三角形分兩種情況：①當(dāng)時，此時點的坐標(biāo)為；②當(dāng)，，故，解得：，此時點的坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了兩點間距離公式，坐標(biāo)與圖形，求不規(guī)則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關(guān)鍵是采用分類討論的思想．◎考法類型2等腰三角形存在性問題方法技巧：分類討論哪兩條邊相等，一般分三種情況，簡稱“兩圓+一中垂線”5．（2022秋·山東濟南·八年級?？计谀┤鐖D，直線和直線相交于點A，分別與y軸交于B，C兩點．(1)求點A的坐標(biāo)；(2)在x軸上有一動點，過點P作x軸的垂線，分別交函數(shù)和的圖象于點D，E，若，求a的值．(3)在（2）的條件下，點Q為x軸負半軸上一點，直接寫出為等腰三角形時Q點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或4；(3)或或．【分析】（1）聯(lián)立兩條直線的解析式即可得出點A的坐標(biāo)；（2）由點P的坐標(biāo)可得出點D，E的坐標(biāo)，根據(jù)，求解可得a的值；（3）由（2）可得點D，E的坐標(biāo)，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：聯(lián)立兩條直線的解析式得：，解得：∴；（2）解：由題意可知，，，∴，解得或，∴a的值為或4；（3）設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為b，，當(dāng)時，，，若是等腰三角形，分以下三種情況：當(dāng)時，，解得或（不合題意，舍去）；時，，解得或（不合題意，舍去）；，此時x軸上不存在符合題意的點D，舍去；當(dāng)時，，，若是等腰三角形，分以下三種情況：當(dāng)時，，解得或（不合題意，舍去）；時，，解得（不合題意，舍去）；，此時x軸上不存在符合題意的點D，舍去；故點Q的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想等知識．分類思想的運用是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點A，B，將沿直線對折，使點A和點B重合，直線與x軸交于點C，與交于點D．(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)求線段的長；(3)在x軸上是否存在點P，使為等腰三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為(2)(3)存在，點坐標(biāo)為，，，【分析】（1）令，求出，，求出，即可得出答案；（2）設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可得出的長，然后求出的長，最后根據(jù)勾股定理求出的值即可；（3）分，，三種情況分別求出點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：令，則，解得：；令，則，故點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．（2）解：設(shè)，則，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，．（3）解：當(dāng)時，點與點重合，此時；當(dāng)時，或；當(dāng)時，∵，∴，∴；綜上分析可知，點坐標(biāo)為，，，．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進行分類討論．7．（2021秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，點為軸上一動點，連接．(1)求點、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點在軸負半軸上，且的面積為6時，求點的坐標(biāo)；(3)是否存在點使得為等腰三角形?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）令和即可求得點的坐標(biāo)（2）由為的邊上的高，利用的面積即可求得點的坐標(biāo)（3）分三種情況討論，即可求得點的坐標(biāo)【詳解】（1）在中，令，得，所以點的坐標(biāo)為；令，得，所以點的坐標(biāo)為．（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，易得，．因為為的邊上的高，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為．（3）因為，，所以．當(dāng)為等腰三角形時，需分以下三種情況：①當(dāng)時，因為，所以．又因為，所以此時點的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，因為，所以，所以此時點的坐標(biāo)為；③當(dāng)時，如圖．設(shè)，則，，所以，，所以解得，所以此時點的坐標(biāo)為．綜上所述，存在點使得為等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點的坐標(biāo)8．（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與過點的直線交于點，與軸交于點，軸于點．(1)求點和點的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達式；(3)在軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）把代入可得點的坐標(biāo)，把代入可得點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式；（3）分三種情況：①當(dāng)點為等腰的頂點，即時；②當(dāng)點為等腰的頂點，即時；③當(dāng)點為等腰的頂點，即時，分別進行討論即可．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，∴當(dāng)時，，解得：，∴，∵點在直線上，∴當(dāng)時，，∴，∴．∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．（2）設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵點和點在直線上，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為．（3）∵，軸于點，∴，又∵，∴，，∴，①當(dāng)點為等腰的頂點，即時，則點與點重合，∴此時點的坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點為等腰的頂點，即時，∵，，∴此時點的坐標(biāo)為或；③當(dāng)點為等腰的頂點，即時，∵，，∴為的中點，即．∵，，∴此時點的坐標(biāo)為．綜上可知，在軸上存在點，使得以、、為頂點的三角形是等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．分類討論是解題的關(guān)鍵．◎考法類型3等腰直角三角形存在性問題方法技巧：分類討論哪個角為直角且哪兩條邊相等9．（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與直線相交于點C，過B作x軸的平行線l，點P為直線l上的動點．(1)求點A、B、C的坐標(biāo)；(2)若，求點P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)點P的坐標(biāo)為或；(3)點E的坐標(biāo)為或．【分析】（1）對于直線，分別令x、y等于0，即可求得點A、B坐標(biāo)，解方程組即可求得點C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式，求解即可；（3）分①當(dāng)點B為直角頂點，②當(dāng)點A為直角頂點時，過點E作y軸或x軸的垂線，構(gòu)造全等三角形，分別求出相應(yīng)的點E的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得，∴．聯(lián)立解得∴點C的坐標(biāo)為；（2）解：∵；，，點P在直線l上，∴，點P的縱坐標(biāo)為6．解得，∴點P的坐標(biāo)為或；（3）解：①當(dāng)點B為直角頂點時，如圖1：過點E作軸于點G，則．∴，∴，∴，∴，∴此時點E的坐標(biāo)為；②當(dāng)點A為直角頂點時，如圖2：作軸于點H，則，∴，∴，∴，∴，∴此時點E的坐標(biāo)為．綜上可知，第一象限內(nèi)存在點E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，點E的坐標(biāo)為或．【點睛】此題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出所需要的輔助線，構(gòu)造直角三角形、全等三角形，解題過程中還涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用．10．（2022春·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l交x軸于點A（－1，0）、交y軸于點B（0，3）．(1)求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)在直線l沿x軸正方向平移t個單位長度，得到直線m．若直線m上存在點C，使得△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，求t的值．【答案】(1)y＝3x＋3；(2)t＝．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式；（2）過點C作CG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥CG于點H，易證△BCH≌△CAG（AAS），設(shè)OG＝x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得方程2?x＝x，解方程可得C點坐標(biāo)，即可求出t的值．（1）解：設(shè)直線l的函數(shù)表達式：y＝kx＋b，代入A（?1，0），B（0，3），得，解得，∴直線l對應(yīng)的函數(shù)表達式：y＝3x＋3；（2）過點C作CG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥CG于點H，圖象如下：則∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴BH＝CG，HC＝AG，設(shè)OG＝x，則AG＝HC＝1＋x，∴CG＝3?（1＋x）＝2?x，∴2?x＝x，解得x＝1，∴C（1，1），設(shè)直線l平移后的解析式為y＝3（x?t）＋3，代入C點坐標(biāo)，得3（1?t）＋3＝1，解得t＝．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強．11．（2022春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線為交y軸于點，交x軸于點B，經(jīng)過點且平行于y軸的直線交于點D，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求的面積（用含n的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)時，在第一象限找點C，使為等腰直角三角形，直接寫出所有滿足條件的點C的坐標(biāo)．【答案】(1)（4，0）(2)(3)或或，或，【分析】（1）將代入得，即知，令得；（2）根據(jù)題意得，，，可得的面積為；（3）由，得，設(shè)，，而，可得，，，分三種情況：①若、為直角邊，則，，即，可得，②若，為直角邊，，得；③若，為