流體力學(xué)第7章不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第七章不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)一、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)（1）平移（2）線變形（3）角變形（4）旋轉(zhuǎn)變形?????zyxuuu??????????????????zuyuxuzzyyxx??????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx??????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式式中，①項(xiàng)——平移速度分量；③、④項(xiàng)——旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的速度分量；②、⑤、⑥項(xiàng)——角變形、線變形所引起的速度分量。亥姆霍茲速度分解定理???????????????????????dydxdydxdzuudxdzdxdzdyuudzdydzdydxuuxyxyzzzzxzxyyyyzyzxxx???????????????000第二節(jié)有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng)一、定義物理特征：流體微團(tuán)（質(zhì)點(diǎn)）繞自身軸旋轉(zhuǎn)，稱為有旋（渦）流動(dòng)，反之，為無(wú)旋（渦）流動(dòng)。數(shù)學(xué)表達(dá)，有旋流無(wú)旋流0,0,0???zyx???0,0,0???zyx???二、無(wú)旋流（無(wú)渦流）有分析數(shù)學(xué)可知式成立，流場(chǎng)中一定存在一個(gè)函數(shù)函數(shù)稱為流速勢(shì)函數(shù)。??????????????????????????????0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzxyz),,,(tzyx???????????????????zyxuzuyux????流速勢(shì)函數(shù)的二階偏導(dǎo)，即流速的偏導(dǎo)因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)值與微分次序無(wú)關(guān)，所以式成立，一定存在一個(gè)勢(shì)函數(shù)，所以，無(wú)旋流又稱為勢(shì)流。yxyux???????xyxuy???????xuyuyx?????0?z?????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzxyz?0,0,0???zyx???三、有旋流（有渦流）從幾何意義上描述，有渦線、渦束、渦管等概念。這些概念與流線雷同。表征渦流的強(qiáng)弱，有渦通量（漩渦強(qiáng)度）、速度環(huán)量。（一）渦線定義，某一瞬時(shí)，在渦（流）場(chǎng)中，有一條幾何曲線，在這條曲線上，各點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）的旋轉(zhuǎn)角速度的矢量都與該曲線相切。與微小流束相似，渦線為光滑曲線，不是折線、兩條渦線不相交。（二）渦束、渦管：在渦流場(chǎng)中，取一微小面積，圍繞這個(gè)微小面積作出的一束渦線——微小渦束。??????????????????????????????0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???（三）渦通量（1）渦量定義：渦量旋轉(zhuǎn)角速度矢量渦量是空間坐標(biāo)和時(shí)間的矢性函數(shù)，有渦流則構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，也稱為渦量場(chǎng)。????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???),,,(tzyx?kjizyx?????????2??????????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx哈米爾頓算子是一個(gè)矢性微分算子與對(duì)照。?zyxuuuzyxkiiu?????????kyuxujxuzuizuyuxyzxyz)()()(??????????????????u????kjizyx?????????2??????????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx（2）渦量的連續(xù)性方程由數(shù)學(xué)分析知上式表明，渦量的散度等于0，即（7-2-5）式（7-2-5）為渦量的連續(xù)性方程。0)(?????????u0????????????zyxzyx?（3）渦線微分方程對(duì)于一條渦線，流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與渦線相切，即旋轉(zhuǎn)角速度矢量與渦線方向一致。取一微分段，微分段在空間坐標(biāo)上的分量與旋轉(zhuǎn)角速度矢量在空間坐標(biāo)上的分量成正比。即（7-2-6）式（7-2-6）為渦線微分方程。zyxdzdydx?????ds（四）渦通量微小渦束上各點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角速度可認(rèn)為是相等的,若微小渦束，其橫斷面積，旋轉(zhuǎn)角速度為微小渦束的渦通量（漩渦強(qiáng)度）為。也可以表示為：渦通量的符號(hào)：dA?dA?dAn?J??????????????AAzyxnAdxdzdxdydzdAdAJ)(有旋流重要運(yùn)動(dòng)特征：同一瞬時(shí)，通過(guò)同一渦管各截面的渦量相等，及渦通量為常數(shù)，則或（7-2-9）式（7-2-9）表明，渦管截面積愈小，流體的旋轉(zhuǎn)角速的愈大。有旋流：流體的流場(chǎng)是渦量場(chǎng)，也是速度場(chǎng)，渦線、渦管、渦通量，與流速場(chǎng)的流線、流管、流量對(duì)應(yīng)。dAdAAnAn?????212211AA???2211AA???五、速度環(huán)量在流體力學(xué)中也常用速度環(huán)量，來(lái)表征渦流的強(qiáng)弱?！俣仁噶俊忾]周線——流速矢與切線的夾角速度環(huán)量即速度環(huán)量的和數(shù)的極限，即沿封閉曲線的積分。u?S??ndsu1cos?速度環(huán)量符號(hào)：切向速度與所周線繞行方向相同，速度環(huán)量為正值，反之為負(fù)。?dsdsuudsudsussn?????????),cos(coscoslim1??????????szyxsdzudyudxudsu)(（一）斯托克斯定理斯托克斯公式：或?qū)憺椋杭???????????????????????????????Ayxzxyzszyxsdxdxuyudzdxxuzudydzzuyudzudyudxudsu)()()()(dAdAdAdAdsuAnAzzyyxxs????????????)(AsJ??（二）湯姆遜定理對(duì)于無(wú)渦流，存在流速勢(shì)函數(shù)，當(dāng)流速勢(shì)為單值時(shí)，在無(wú)渦流空間畫出的封閉周線上的速度環(huán)量都等于0。湯姆遜定理：在理想流體的渦量場(chǎng)中，如果質(zhì)量力具有單值的勢(shì)函數(shù)，那么，沿由流體質(zhì)點(diǎn)所組成的封閉曲線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。結(jié)論：利用速度環(huán)量也可以判斷有渦流與無(wú)渦流。0??dtd推論：根據(jù)斯托克斯定理，沿曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為成都曲面的渦通量。速度環(huán)量不隨時(shí)間變化意味著渦通量也不隨時(shí)間變化。具有單值勢(shì)函數(shù)的理想流體，如果某一時(shí)刻為有旋流，則總是有旋流。如果某一時(shí)刻為無(wú)旋流，則永遠(yuǎn)是無(wú)旋流。即流體的渦旋具有不生、不滅的性質(zhì)。第三節(jié)不可壓縮流體連續(xù)性微分方程1.流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性微分方程的建立中心點(diǎn)流速前面：后面：密度：),,(zyxuuA?2dxxuuxx???2dxx?????2dxxuuxx???2dxx?????dt時(shí)段從后面流入的流體質(zhì)量為dt時(shí)段從前面流出的流體質(zhì)量為規(guī)定流入為正，流出為負(fù)，dt時(shí)段從前后面流入流出的質(zhì)量差為dydzdtdxxuuxxx)2)((????????dydzdtdxxuuxxx)2)((????????dxdydzxudxdydzdtxuxuxxx??????????)()(???同理，在另外兩個(gè)對(duì)應(yīng)面流入流出的質(zhì)量差為Y向：Z向：Dt時(shí)段內(nèi)，從微分六面體各個(gè)面流入流出質(zhì)量差為Dt時(shí)段內(nèi)，微分六面體內(nèi)質(zhì)量的變化dxdydzdtyuy???)(?dxdydzdtzuz???)(?dxdydtdxdydzdtdxdydzdtt???????????)(dxdtdzdtzuyuxuzyx???????????????)()()(???同一時(shí)段內(nèi)，流入流出六面體總的流體質(zhì)量的差值=六面體內(nèi)因密度變化所引起的質(zhì)量變化?？蓧嚎s流體非恒定流的連續(xù)性微分方程dxdydzzuyuxudxdydzdttzyx??????????????????)()()(????0)()()(??????????????????zuyuxutzyx????對(duì)于不可壓縮流體：不可壓縮均質(zhì)流體的連續(xù)微分方程物理意義：體積守恒（質(zhì)量守恒）0?????????zuyuxuzyxconst??0?udiV第四節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)方程及其積分思路：理想流體實(shí)際流體1.理想流體特征（1）理想流體不具有粘滯性：（2）理想流體動(dòng)水壓強(qiáng)的特性:（同實(shí)際流體）（3）作用在理想流體上的表面力：僅有正壓力無(wú)切向力。2.理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的建立0??中心點(diǎn)壓強(qiáng)沿x方向的表面力（前）（后）沿x方向的質(zhì)量力:),,(zyxPdydzdxxpp)21(???dydzdxxpp)21(???dxdydzX?歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程（推導(dǎo)）dtduzpZdtduypYdtduxpXzyx???????????????111?3.實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程(N-S方程)(7-6-3)式中為粘性項(xiàng).為拉普拉斯算子???????????????????????????dtduuzpzdtduuypYdtduuxpXzzyyxx222111??????u2??2?2222222zyx??????????4.理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分對(duì)于理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程，一般質(zhì)量力已知，密度已知，所以該方程有4個(gè)未知量，與連續(xù)性微分方程聯(lián)立，4個(gè)方程，4個(gè)未知量，應(yīng)該可解，但是------至今仍未找到它的通解，在特殊情況下有特解。有的講義用葛羅米柯（Громеко）積分，葛羅米柯將理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行了變換，得到了葛羅米柯方程。葛羅米柯方程也只能在質(zhì)量力是有勢(shì)的條件下才能積分。工程流體力學(xué)一般用伯努利(D.Bernoulli)積分.zyxuuup,,,0?????????zuyuxuzyxzuuyuuxuutuxpXxzxyxxx????????????????1伯努利積分在以下具體條件下積分（1）恒定流（2）流體為均質(zhì)不可壓縮，（3）質(zhì)量力為有勢(shì)力（4）沿流線積分0????????????tptututuzyxdpdzzpdyypdxxp?????????),,(zyxWzWZyWYxWX?????????zyxudtdzudtdyudtdx???const??積分積分得：????????????????????????dzdtduzpZdydtduypYdxdtduxpXzyx???111CupW???22?當(dāng)質(zhì)量力只有重力時(shí)，代入上式上式為理想流體元流的能量方程(伯努利方程)實(shí)際流體元流的能量方程gZ??gdzdW??Cgugpz???22?cgupz???22?cupgz???22?'2222211122lhgupzgupz????????本章重點(diǎn)一、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)：平移、線變形、角變形、旋轉(zhuǎn)變形。二、有旋流與無(wú)旋流（1）無(wú)旋流（勢(shì)流）存在函數(shù)稱為流速勢(shì)函數(shù)（2）有旋流（有渦流）三、描述有渦流的概念：渦線、渦束、渦管表征渦流的強(qiáng)弱：渦通量（漩渦強(qiáng)度）、速度環(huán)量。四、渦通量(1)渦量(2)渦通量dAn?Jkjizyx?????????2?渦通量根據(jù)有旋流重要運(yùn)動(dòng)特征：同一瞬時(shí)，通過(guò)同一渦管各截面的渦量相等，即渦通量為常數(shù)。2211AA???????????