專題24四邊形中動點(diǎn)問題(原卷版+解析)

專題24四邊形中動點(diǎn)問題解題思路解題思路考點(diǎn)一：四邊形中的動點(diǎn)問題考點(diǎn)二：特殊平行四邊形的存在性1．坐標(biāo)系中的平行四邊形：（1）對邊平行且相等：（2）對角線互相平分：即A、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合．以上兩條可統(tǒng)一為：典例分析典例分析【典例1】（2021春?荔灣區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為ts．（1）CD邊的長度為cm，t的取值范圍為；（2）從運(yùn)動開始，當(dāng)t＝時，PQ∥CD，當(dāng)t＝時，PQ＝CD．（3）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，四邊形PQBA是矩形？（4）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，△DQC是等腰三角形？【變式1】（2019春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)∠PQC＝150°時，求t的值；（2）當(dāng)PQ＝CD時，求t的值．【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）（1）求點(diǎn)C，使以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（2）如圖，連接OA，過點(diǎn)B作直線l∥OA，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)E，若點(diǎn)Q在直線l上，在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)P，使以O(shè)、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【變式2-1】（2020春?昂昂溪區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、點(diǎn)C都在x軸上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是線段OD的中點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)1．（2021春?渝中區(qū)校級期中）如圖，A（0，4），B（8，0），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．2．（2021秋?鳳翔縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒．過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，連接PQ、QM．（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一時刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由．3．（2020春?個舊市期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，點(diǎn)p從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts．（1）t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（等腰梯形的兩腰相等，兩底角相等）能力提升能力提升4．（2021春?安國市期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），連接OD，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以C、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題24四邊形中動點(diǎn)問題解題思路解題思路考點(diǎn)一：四邊形中的動點(diǎn)問題考點(diǎn)二：特殊平行四邊形的存在性1．坐標(biāo)系中的平行四邊形：（1）對邊平行且相等：（2）對角線互相平分：即A、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合．以上兩條可統(tǒng)一為：典例分析典例分析【典例1】（2021春?荔灣區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為ts．（1）CD邊的長度為cm，t的取值范圍為；（2）從運(yùn)動開始，當(dāng)t＝時，PQ∥CD，當(dāng)t＝時，PQ＝CD．（3）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，四邊形PQBA是矩形？（4）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，△DQC是等腰三角形？【答案】（1）10，0≤t≤9（2）t＝4時；t＝8或4（3）t＝6時（4）t＝5或6或【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則∠DEB＝∠DEC＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴DE＝AB＝8，BE＝AD＝12，∵BC＝18，∴CE＝18﹣12＝6，由勾股定理得：CD＝＝10（cm）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，AD＝12cm，∴點(diǎn)P運(yùn)動到D的時間為：12s，同理得：點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B的時間為：＝9s，∴0≤t≤9；（2）如圖2，∵AD∥BC，∴PD∥CQ，當(dāng)PD＝CQ時，四邊形DPQC是平行四邊形，∴PQ＝CD，∴12﹣t＝2t，∴t＝4，即當(dāng)t＝4時，PQ∥CD，此時PQ＝CD；如圖3，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，當(dāng)PQ＝CD時，∵PF＝DE，∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），∴FQ＝CE＝6，∵∠PFE＝∠DEF＝∠ADE＝90°，∴四邊形DPFE矩形，∴PD＝EF＝12﹣t，∴CQ＝QF+EF+CE，即6+6+12﹣t＝2t，∴t＝8，當(dāng)t＝8或4時，PQ＝CD；（3）如圖4，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴當(dāng)AP＝BQ時，四邊形ABQP是矩形，即t＝18﹣2t，解得：t＝6，∴當(dāng)t＝6時，四邊形PQBA是矩形；（4）分三種情況：①如圖5，當(dāng)CD＝CQ時，即2t＝10，∴t＝5；②如圖6，DQ＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∴CQ＝2CE，∴2t＝2×6，∴t＝6；③如圖7，DQ＝CQ，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵CQ＝2t，∴DQ＝2t，EQ＝6﹣2t，由勾股定理得：DE2+EQ2＝DQ2，即82+（6﹣2t）2＝（2t）2，解得：t＝，綜上，當(dāng)t＝5或6或時，△DQC是等腰三角形【變式1】（2019春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)∠PQC＝150°時，求t的值；（2）當(dāng)PQ＝CD時，求t的值．【答案】（1）t＝﹣2（2）t＝6s或9s【解答】解：（1）作PE⊥BC于E，由題意得，AP＝t，QC＝3t，則BE＝AP＝t，∴QE＝30﹣4t，∵∠PQC＝150°，∴∠PQE＝30°，∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，解得，t＝﹣2；（2）∵當(dāng)PD＝CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，則PQ＝CD，∴24﹣t＝3t，解得，t＝6（s）；當(dāng)四邊形PQCD是等腰梯形時，PQ＝CD．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則有AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝30﹣3t，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，則NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．∵梯形PQCD為等腰梯形，∴NC＝QM＝6，∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，∴當(dāng)AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，∴t＝9s時，四邊形PQCD為等腰梯形．綜上所述t＝6s或9s時，PQ＝CD．【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）（1）求點(diǎn)C，使以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（2）如圖，連接OA，過點(diǎn)B作直線l∥OA，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)E，若點(diǎn)Q在直線l上，在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)P，使以O(shè)、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【答案】（1）C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3）（2）（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）【解答】解：（1）如圖所示：∵點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2），∴C（﹣3，﹣1），C1（3，1），C2（1，3），∴當(dāng)點(diǎn)C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3），使以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（2）如圖所示，∵A（﹣1，1），∴OA的解析式為：y＝﹣x，∵OA∥ED，∴設(shè)ED的解析式為：y＝﹣x+b，把B（2，2）代入y＝﹣x+b中，b＝4，∴ED的解析式為：y＝﹣x+4，∴D（4，0），①當(dāng)OD為邊，P在第四象限時，四邊形OPQD是菱形，則OP＝OD＝4，過P作PG⊥x軸于G，∵∠POG＝45°，∴OG＝PG＝2，∴P（2，﹣2）；②當(dāng)OD為邊，P1在第二象限時，四邊形OP1Q1D是菱形，同理得P1（﹣2，2）；③當(dāng)OD為對角線時，四邊形OP2DQ2是菱形，此時Q2與B重合，點(diǎn)P2（2，﹣2）；④當(dāng)OD為邊，Q3與E重合時，四邊形ODP3Q3是菱形，此時點(diǎn)P3（4，4）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）．【變式2-1】（2020春?昂昂溪區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、點(diǎn)C都在x軸上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是線段OD的中點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）C（3，0）（2）（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵B、點(diǎn)C都在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，OA＝4，∴D（6，4），∵OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝3，∴C（3，0）；（2）存在一點(diǎn)N，使以A、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵D（6，4），E為線段OD的中點(diǎn)，∴E（3，2），且A（0，4），設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），如圖，分情況討論：①當(dāng)AE為對角線時，＝，＝，解得：x＝﹣3，y＝2，∴N（﹣3，2）；②當(dāng)DE為對角線時，＝，＝，解得：x＝9，y＝2，∴N'（9，2）；③當(dāng)AD為對角線時，＝，＝4，解得：x＝3，y＝6，∴N''（3，6）；綜上所述，平面內(nèi)存在一點(diǎn)N，使以A、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)1．（2021春?渝中區(qū)校級期中）如圖，A（0，4），B（8，0），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】（5，4）或（4，4）【解答】解：當(dāng)AB為菱形的對角線時，如圖1，設(shè)菱形的邊長為m，∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∵四邊形ABCD為菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝8﹣m，在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，∴D（5，4）；當(dāng)AB為菱形的邊時，如圖2，AB＝＝4，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D（4，4），綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）或（4，4）．故答案為（5，4）或（4，4）．2．（2021秋?鳳翔縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒．過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，連接PQ、QM．（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一時刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由．【答案】（1）t，40﹣2t，t（2）t＝【解答】解：（1）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，∴AQ＝t，∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝40，∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB＝90°，∴PM＝PB＝t．故答案為：t，40﹣2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知：AQ＝PM，∵AC⊥BC，PM⊥BC，∴AQ∥PM，∴四邊形AQMP是平行四邊形，當(dāng)AP＝AQ時，平行四邊形AQMP是菱形，即40﹣2t＝t，解得t＝，則存在t＝，使得平行四邊形AQMP成為菱形．3．（2020春?個舊市期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，點(diǎn)p從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts．（1）t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（等腰梯形的兩腰相等，兩底角相等）【答案】（1）t＝6s（2）7s【解答】解：（1）運(yùn)動時間為ts．AP＝t，PD＝24﹣t，CQ＝3t，∵經(jīng)過ts四邊形PQCD平行四邊形∴PD＝CQ，即24﹣t＝3t，解得t＝6．當(dāng)t＝6s時，四邊形PQCD是平行四邊形；（2）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC，則CE＝B