專題06冪的運算重難點題型專訓(原卷版+解析)2

專題06冪的運算重難點題型專訓【題型目錄】題型一同底數(shù)冪的乘法題型二冪的乘方題型三積的乘方題型四同底數(shù)冪的除法題型五冪的混合運算題型六冪的運算含參問題題型七冪的運算新定義問題題型八冪的運算綜合問題【經典例題一同底數(shù)冪的乘法】【要點梳理】法則：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.特別說明：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.【例1】（2022春·江蘇·七年級專題練習）已知，，，現(xiàn)給出3個實數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級單元測試）若（且），則，已知，，，那么，，三者之間的關系正確的有（

）①；②；③；④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式2】（2023春·七年級課時練習）觀察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是_______．【變式3】（2022秋·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：一般地，個相同因數(shù)相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則叫做以為底的對數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計算以下各對數(shù)的值：________，________，________．(2)寫出（1）、、之間滿足的關系式________．(3)由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：________（且，，）(4)設，，請根據(jù)冪的運算法則以及對數(shù)的定義說明上述結論的正確性．【經典例題二冪的乘方】要點、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.【例2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習）若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級單元測試）已知，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作，如果，那么．例如∶因為，所以．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征；，并作出了如下的證明∶∵設，則，∴，即，∴∴試參照小明的證明過程，解決下列問題∶①計算；②請你嘗試運用這種方法，寫出之間的等量關系．并給予證明．【經典例題三積的乘方】要點、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：要點、注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.【例3】（2022秋·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期中）已知當時，，那么當時，（

）A．14 B．15 C．16 D．無法確定【變式訓練】【變式1】（2022秋·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）下列計算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，則中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023秋·河南南陽·八年級校考期末）已知，則的值為______．【變式3】（2022秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）（1）計算：①與；②與；③與；④與（2）根據(jù)以上計算結果猜想：分別等于什么？（直接寫出結果）（3）猜想與驗證：當p為正整數(shù)時，等于什么？（4）利用上述結論，求的值．【經典例題四同底數(shù)冪的除法】要點、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）特別說明：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質.（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.要點、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項也叫0次單項式.【例4】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知，，則代數(shù)式值是（

）A．3 B．6 C．7 D．8【變式訓練】【變式1】（2022春·重慶北碚·七年級西南大學附中?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A．-1 B． C．1 D．72【變式2】（2022秋·八年級課時練習）如果，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因為32＝9，所以（3，9）＝2．（1）記（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，則a，b，c三者之間的數(shù)量關系是_____；（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），則t的值為_____．【變式3】（2023春·七年級單元測試）數(shù)學活動在上個月，我們學習了“有理數(shù)乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．定義：與（，、都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運算法則如下：．解決問題根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運算法則，回答下列問題：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，請直接寫出的值．【經典例題五冪的混合運算】【例5】（2020·七年級統(tǒng)考課時練習）計算的結果是(

)A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2022秋·天津南開·八年級?？计谀┤?，，，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據(jù)圖2化簡，______．【變式3】（2022春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【經典例題六冪的運算含參問題】【例6】（2022秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學校考期中）已知，，則的值是（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2021·江蘇·九年級自主招生）設m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【變式2】（2022秋·天津和平·八年級天津一中?？计谀┤簦?，則______．【變式3】（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習）如果，那么我們規(guī)定，例如：因為，所以[理解]根據(jù)上述規(guī)定，填空：______，[說理]記，，，說明[應用]若，求的值【經典例題七冪的運算新定義問題】【例7】（2023春·七年級單元測試）若定義表示，表示，則運算÷的結果為（）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級校聯(lián)考期中）定義：如果（），則叫做以為底的對數(shù)，記作.如：，記作.若，，則的值為（

）A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04【變式2】（2021春·上海奉賢·六年級校聯(lián)考期末）本學期我們學習了“有理數(shù)的乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．定義：am與an（a≠0，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作am÷an．其中“同底數(shù)冪除法”運算法則中規(guī)定當m＝n時，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根據(jù)“同底數(shù)冪除法”法則中的規(guī)定和你已經學過的知識，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，則請寫出滿足等式成立的所有的x的值______．【變式3】（2022秋·北京海淀·八年級校考期中）在學習平方根的過程中，同學們總結出：在中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運算是乘方運算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運算是開方運算．小明提出一個問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)x是否也對應著一種運算呢？”老師首先肯定了小明善于思考，繼而告訴大家這是同學們進入高中將繼續(xù)學習的對數(shù)，感興趣的同學可以課下自主探究．小明課后借助網(wǎng)絡查到了對數(shù)的定義：如果（，且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作：，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．小明根據(jù)對數(shù)的定義，嘗試進行了下列探究：(1)；；；__________；計算：__________；(2)計算后小明觀黎（1）中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對數(shù)之間有關系，例如：__________；（用對數(shù)表示結果）(3)于是他猜想：__________（且，，）．請你將小明的探究過程補充完整，并證明他的猜想．(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出__________．【經典例題八冪的運算綜合問題】【例8】（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2020春·七年級統(tǒng)考課時練習）已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a,b,c,d大小順序為（

）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c【變式2】（2022秋·北京西城·七年級北師大實驗中學?？计谥校┰谀扯嗝襟w電子雜志的一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設每邊長為a，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，如此連續(xù)作幾次，便可構成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖（3））．下列步驟：（1）作一個正方形，設邊長為a（如圖（1）），此正方形的面積為_______；（2）對正方形進行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖（2），此圖形的周長為_________；（3）重復上述的作法，圖（1）經過第_________次分形后得到圖（3）的圖形；（4）觀察探究：上述分形過程中，經過n次分形得到的圖形周長是____，面積是____．【變式3】（2023春·七年級單元測試）閱讀下列材料：小明為了計算的值，采用以下方法：設①則②②①得，．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請寫出計算過程）（4）求的和（其中且）．（請寫出計算過程）【培優(yōu)檢測】1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考階段練習）計算的結果是（）A． B． C． D．2．（2021秋·吉林長春·八年級長春市實驗中學?？计谥校┍容^，，的大小正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年級單元測試）新型冠狀病毒體積很小，這種病毒外直徑大概在0.00000011米，則0.00000011這個數(shù)字可用科學記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．4．（2021春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）已知xa=3，xb=4，則x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．195．（2022春·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）一點P從距原點右側8個單位的M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點處，第二次從跳到的中點處，第三次從點跳到的中點處，如此不斷跳動下去，則第2022次跳動后，該點到原點O的距離為（

）A． B． C． D．6．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）下列有四個結論，其中正確的是（

）①若，則x只能是2；②若的運算結果中不含項，則③若，則；④若，，則可表示為．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④7．（2021春·遼寧沈陽·七年級校考期中）已知，則______．8．（2022秋·河北廊坊·八年級校聯(lián)考期末）已知，滿足，則______；______．9．（2022秋·全國·八年級專題練習）若x，y均為實數(shù)，，則：（1）＝______x+y；（2）_______．10．（2021春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）觀察以下一系列等式：①；

②；③；

④；……利用上述規(guī)律計算：=___________．11．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．12．（2022春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）如圖①是一塊正方形紙板，邊長為1，面積記為S1，沿圖①的底邊剪去一個邊長為的小正方形紙板后得到圖②，圖②的面積記為S2，然后再沿同一底邊依次剪去一塊更小的正方形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正方形紙板邊長的）后得到圖③，④，…，記第n塊紙板的面積為Sn，則Sn+1﹣Sn＝__．（用含n的代數(shù)式表示）13．（2022春·江西九江·七年級統(tǒng)考期中）已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式是____（填序號）．14．（2022秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）觀察等式：；；按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，則用含a的代數(shù)式表示下列這組數(shù)的和_________．15．（2023春·七年級課時練習）閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．16．（2022秋·全國·八年級專題練習）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運算性質：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運算性質，填空：=________．（a為正數(shù)）(3)若d（2）=0.3010，分別計算d（4）；d（5）．17．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：設（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．試解決下列問題：①計算（8，1000）﹣（32，100000）；②請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．18．（2021·四川內江·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項，記為，依此類推，排在第位的數(shù)稱為第項，記為．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．如：數(shù)列1，3，9，27，為等比數(shù)列，其中，公比為．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，的公比為，第4項是．(2)如果已知一個等比數(shù)列的第一項（設為和公比（設為，則根據(jù)定義我們可依次寫出這個數(shù)列的每一項：，，，，．由此可得第項（用和的代數(shù)式表示）．(3)若一等比數(shù)列的公比，第2項是10，求它的第1項與第4項．(4)已知一等比數(shù)列的第3項為12，第6項為96，求這個等比數(shù)列的第10項．19．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計算過程）（3）思維拓展：計算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計算過程）20．（2022秋·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料,并解決下面的問題:我們知道,加減運算是互逆運算,乘除運算也是互逆運算,其實乘方運算也有逆運算,如我們規(guī)定式子可以變形為也可以變形為.在式子中,3叫做以2為底8的對數(shù),記為一般地,若則叫做以為底的對數(shù),記為且具有性質:其中且根據(jù)上面的規(guī)定,請解決下面問題:(1)計算:_______(請直接寫出結果)；(2)已知請你用含的代數(shù)式來表示其中(請寫出必要的過程).21．（2022春·江蘇·七年級專題練習）閱讀材料：求l+2+22+23+24+…+22019的值．解：設S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①則2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l仿照此法計算：(1)計算：1+3+32+33+34+…+3100.(2)計算：1++++…++=________(直接寫答案)22．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考階段練習）(1)你發(fā)現(xiàn)了嗎？，，由上述計算，我們發(fā)現(xiàn)；(2)請你通過計算，判斷與之間的關系；(3)我們可以發(fā)現(xiàn)：____(4)利用以上的發(fā)現(xiàn)計算：.專題06冪的運算重難點題型專訓【題型目錄】題型一同底數(shù)冪的乘法題型二冪的乘方題型三積的乘方題型四同底數(shù)冪的除法題型五冪的混合運算題型六冪的運算含參問題題型七冪的運算新定義問題題型八冪的運算綜合問題【經典例題一同底數(shù)冪的乘法】【要點梳理】法則：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.特別說明：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.【例1】（2022春·江蘇·七年級專題練習）已知，，，現(xiàn)給出3個實數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式即可求出a、b、c的關系，代入各式驗證即可．【詳解】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12．∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正確；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；④b＝a+1，因此④不正確；綜上所述，正確的結論有：①②③三個，故選：C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是熟練運用同底數(shù)冪的乘法公式，得出a、b、c的關系．【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級單元測試）若（且），則，已知，，，那么，，三者之間的關系正確的有（

）①；②；③；④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法公式即可求出m、n、p的關系．【詳解】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m，∴n=1+m，即n-m=1，故②錯誤；∵4p=48=12×4=4n×4=41+n，∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m，∴m+p=2n，故①正確；∵4p=48=3×16=4m×42=42+m，∴p=2+m，∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③錯誤；，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是熟練運用同底數(shù)冪的乘法公式，本題屬于中等題型．【變式2】（2023春·七年級課時練習）觀察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是_______．【答案】m2﹣m##-m+m2【分析】歸納出數(shù)字的變化規(guī)律，給已知數(shù)列求和，并用含m的代數(shù)式表示出來即可．【詳解】解：由題意得：2100+2101+2102+…+2199，＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案為：m2﹣m．【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，觀察數(shù)字變化規(guī)律并利用規(guī)律用含m的代數(shù)式表示出結果是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：一般地，個相同因數(shù)相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則叫做以為底的對數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計算以下各對數(shù)的值：________，________，________．(2)寫出（1）、、之間滿足的關系式________．(3)由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：________（且，，）(4)設，，請根據(jù)冪的運算法則以及對數(shù)的定義說明上述結論的正確性．【答案】(1)(2)(3)(4)見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結論：；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可得，根據(jù)對數(shù)的定義即證明．【詳解】（1）解：∵∴，故答案為：；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）由（2）的結果可得，故答案為：．（4）證明：設，，則∴∴即．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法應用，借考查對數(shù)，實際考查學生對指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確地應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應有的性質．【經典例題二冪的乘方】要點、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.【例2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習）若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法可求得，即可求得【詳解】∵∴，解得：，故選：B【點睛】本題主要考查冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是熟練冪的運算【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級單元測試）已知，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化成底數(shù)為3的冪，比較指數(shù)的大小即可判定．【詳解】解：因為，，，因為所以，故選A．【點睛】本題考查了冪的乘方，熟練掌握冪的乘方運算法則是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作，如果，那么．例如∶因為，所以．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征；，并作出了如下的證明∶∵設，則，∴，即，∴∴試參照小明的證明過程，解決下列問題∶①計算；②請你嘗試運用這種方法，寫出之間的等量關系．并給予證明．【答案】(1)(2)①0；②【分析】（1）由新定義計算得出結果即可；（2）①由推理過程可得，再相減結果得0即可；②設，，則，從而得到【詳解】（1）故答案為：（2）①；②．證明：設，，則，所以，，，所以【點睛】本題主要考查冪的運算與新定義結合的題型，理解透題目的意思是解題的關鍵點．【經典例題三積的乘方】要點、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：要點、注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.【例3】（2022秋·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期中）已知當時，，那么當時，（

）A．14 B．15 C．16 D．無法確定【答案】B【分析】先將帶入得到，再將帶入得到，再根據(jù)積的乘法的運算法則將換算成即可得到答案．【詳解】解：當時，，當時，=15，故選：B．【點睛】本題考查積的乘方，解題的關鍵是靈活運用積的乘方將整式進行換算．【變式訓練】【變式1】（2022秋·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）下列計算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，則中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用積的乘方、冪的乘方，同底數(shù)冪的運算，即可計算得出選項．【詳解】解：（1），原計算錯誤，不符合題意；（2），原計算錯誤，不符合題意；（3），原計算正確，符合題意；（4）若，，則，原計算正確，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了冪的乘方、積的乘方，同底數(shù)冪的運算，解題的關鍵是能熟記法則的內容．【變式2】（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀┮阎?，則的值為______．【答案】1025【分析】先化簡，再逆用冪的乘方，進行求值即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：1025．【點睛】本題考查積的乘方，冪的乘方，以及代數(shù)式求值．熟練掌握積的乘方，冪的乘方運算，是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）（1）計算：①與；②與；③與；④與（2）根據(jù)以上計算結果猜想：分別等于什么？（直接寫出結果）（3）猜想與驗證：當p為正整數(shù)時，等于什么？（4）利用上述結論，求的值．【答案】（1）①196

196

②

③36

36

④216

216（2）

（3）；（4）-4【分析】（1）第一個式子先計算乘法，再計算乘方，第二個式子先計算乘方，再計算乘法即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的運算結果可知，；（3）由結合（2）可得答案；（4）將原式變形為進行求解即可．【詳解】解：（1）①，；②，；③，；④與；（2）由（1）可知，；（3）（4）．【點睛】本題主要考查了積的乘方運算，積的乘方的逆運算，同底數(shù)冪乘法的逆運算，正確理解題意是解題的關鍵．【經典例題四同底數(shù)冪的除法】要點、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）特別說明：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質.（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.要點、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項也叫0次單項式.【例4】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知，，則代數(shù)式值是（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)可以得到然后再根據(jù)即可得到結果．【詳解】解：兩式相減，可得故選：B．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則以及同底數(shù)冪的除法法則的運用、代數(shù)式求值，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【變式訓練】【變式1】（2022春·重慶北碚·七年級西南大學附中校考期中）已知，，則的值為（

）A．-1 B． C．1 D．72【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方與同底數(shù)冪的除法法則進行計算即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴故選：B【點睛】本題主要考查了冪的乘方運算和同底數(shù)冪的除法運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）如果，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因為32＝9，所以（3，9）＝2．（1）記（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，則a，b，c三者之間的數(shù)量關系是_____；（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），則t的值為_____．【答案】

a+b=c

80【分析】（1）根據(jù)積的乘方法則，結合定義計算；（2）根據(jù)定義解答即可．【詳解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c∴，∵12×5=60，∴，∴，∴a+b=c；故答案為：a+b=c.（2）設（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r∴∵（m，16）+（m，5）=（m，t），∴p+q=r∴，∴，即16×5=t∴t=80．故答案為：80．【點睛】本題考查的是冪的乘方和積的乘方以及有理數(shù)的混合運算，掌握冪的乘方和積的乘方法則是解題的關鍵．【變式3】（2023春·七年級單元測試）數(shù)學活動在上個月，我們學習了“有理數(shù)乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．定義：與（，、都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運算法則如下：．解決問題根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運算法則，回答下列問題：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義的運算法則計算即可；（2）逆用運算法則列一元一次方程求解；（3）分兩種情況討論：，求解可知；，求解可得，即可獲得最終答案；【詳解】（1）解：（2）解：原等式可化為：所以：解得：（3）解：當時，解得：當時，解得：所以：或【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方運算，掌握乘方運算法則、分類討論思想的運用是解題的關鍵．【經典例題五冪的混合運算】【例5】（2020·七年級統(tǒng)考課時練習）計算的結果是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】===×（1-）==.故選D.【變式訓練】【變式1】（2022秋·天津南開·八年級?？计谀┤?，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪的性質以及零指數(shù)冪的性質分別進行化簡運算，然后比較大小即可得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴．故選：D．【點睛】此題主要考查了乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪的性質、零指數(shù)冪的性質以及有理數(shù)大小比較等知識，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據(jù)圖2化簡，______．【答案】【分析】先具體計算出S1，S2，S3，S4的值，得出面積規(guī)律，表示S2021，再設①，兩邊都乘以，得到②，利用①?②，求解S，從而可得答案．【詳解】解：∵設①②①-②得，故答案為：．【點睛】本題考查的是圖形的面積規(guī)律的探究，有理數(shù)的乘方運算的靈活應用，同底數(shù)冪的乘法與除法的應用，方程思想的應用，正方形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式3】（2022春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【答案】(1)(2)(3)(4)1(5)(6)【分析】（1）根據(jù)積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（2）先計算積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項即可；（3）先計算負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪和有理數(shù)的乘方，再進行有理數(shù)的混合運算即可；（4）根據(jù)積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪的乘、除法法則計算即可；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（6）先計算積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪的乘、除法，再合并同類項即可．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【點睛】本題考查冪的混合運算和有理數(shù)的混合運算．涉及積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘、除法，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪和有理數(shù)的乘方．掌握各運算法則是解題關鍵．【經典例題六冪的運算含參問題】【例6】（2022秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學?？计谥校┮阎?，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)冪的乘方的逆運算求出，，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法逆運算求出，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運算，同底數(shù)冪乘除法的逆運算，熟知，是解題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2021·江蘇·九年級自主招生）設m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由題意可知是100的倍數(shù)，從而分析得到的末尾數(shù)字是01，設（t為正整數(shù)），由，分析判斷即可得到正確答案．【詳解】解：由題意知，是100的倍數(shù)∵與100互質∴是100的倍數(shù)∴的末尾數(shù)字是01∴的數(shù)值一定是偶數(shù)，且m，n是正整數(shù)，設：（t為正整數(shù)）則：∵的末尾兩位數(shù)字為61，的末尾兩位數(shù)字為41，的末尾兩位數(shù)字為21，末尾兩位數(shù)字為01∴t的最小值為5，∴的最小值為10故答案為：B【點睛】本題考查冪的乘方，牢記相關的知識點并能靈活應用是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·天津和平·八年級天津一中?？计谀┤?，，則______．【答案】##0.5【分析】用同底數(shù)冪相乘和冪的乘方的逆用進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查同底數(shù)冪相乘和冪的乘方，解本題的關鍵是掌握冪的乘方和同底數(shù)冪相乘運算法則，并靈活運用．【變式3】（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習）如果，那么我們規(guī)定，例如：因為，所以[理解]根據(jù)上述規(guī)定，填空：______，[說理]記，，，說明[應用]若，求的值【答案】[理解]，；[說理]見解析；[應用]【分析】[理解]根據(jù)新定義進行計算即可求解；[說理]根據(jù)新定義得出，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法即可得證；[應用]根據(jù)同底數(shù)冪的乘法即可求解．【詳解】[理解]解：∵，∴，∵，∴；故答案為：，；[說理]證明：∵，，，∴，∴，∴；[應用]解：設，∴，∴，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘法運算，掌握同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題的關鍵．【經典例題七冪的運算新定義問題】【例7】（2023春·七年級單元測試）若定義表示，表示，則運算÷的結果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)定義列出代數(shù)式，然后再利用積的乘方、單項式除法解答即可．【詳解】解：由題意可得：==．故選A．【點睛】本題主要考查了整單項式除法運算，根據(jù)新定義列出整式是解答本題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級校聯(lián)考期中）定義：如果（），則叫做以為底的對數(shù)，記作.如：，記作.若，，則的值為（

）A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04【答案】D【分析】根據(jù)新定義的運算和冪的相關運算，求出關于m，n的式子再進行求解.【詳解】∵，，∴5m=0.4,5n=4∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04故選D.【點睛】此題主要考查實數(shù)新定義的運算，解題的關鍵是根據(jù)題意求出相關式子，再根據(jù)冪的運算法則進行求解.【變式2】（2021春·上海奉賢·六年級校聯(lián)考期末）本學期我們學習了“有理數(shù)的乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．定義：am與an（a≠0，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作am÷an．其中“同底數(shù)冪除法”運算法則中規(guī)定當m＝n時，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根據(jù)“同底數(shù)冪除法”法則中的規(guī)定和你已經學過的知識，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，則請寫出滿足等式成立的所有的x的值______．【答案】1或-1或3【分析】根據(jù)已知分三種情況，底數(shù)是1或-1，及（2x＋4）?（x＋7）＝0，再求出x即可．【詳解】有三種情況：①當x＝1時，x2x+4÷xx+7＝16÷18＝1，②當x＝-1時，x2x+4÷xx+7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x+4）﹣（x+7）＝0，解得：x＝3，所以x＝1或-1或3，故答案為：1或-1或3．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，同底數(shù)冪除法，解題的關鍵是掌握同底數(shù)冪的除法法則、分類討論思想運用等知識點．【變式3】（2022秋·北京海淀·八年級?？计谥校┰趯W習平方根的過程中，同學們總結出：在中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運算是乘方運算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運算是開方運算．小明提出一個問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)x是否也對應著一種運算呢？”老師首先肯定了小明善于思考，繼而告訴大家這是同學們進入高中將繼續(xù)學習的對數(shù)，感興趣的同學可以課下自主探究．小明課后借助網(wǎng)絡查到了對數(shù)的定義：如果（，且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作：，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．小明根據(jù)對數(shù)的定義，嘗試進行了下列探究：(1)；；；__________；計算：__________；(2)計算后小明觀黎（1）中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對數(shù)之間有關系，例如：__________；（用對數(shù)表示結果）(3)于是他猜想：__________（且，，）．請你將小明的探究過程補充完整，并證明他的猜想．(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出__________．【答案】(1)4，5；(2)；(3)，證明見解析；(4)．【分析】（1）根據(jù)對數(shù)與乘方之間的關系求解可得答案；（2）利用對數(shù)的定義結合（1）中結果求解可得答案；（3）根據(jù)（2）中結果進行猜想，設，，可得，，求出，根據(jù)對數(shù)的定義可得結論；（4）根據(jù)（3）中的探究可得，設，，可得，，求出，根據(jù)對數(shù)的定義可進行驗證．【詳解】（1）解：∵＝16，∴；∵＝32，∴；故答案為：4，5；（2）解：，故答案為：；（3）解：，證明：設，，則，，∴，∴，∴，故答案為：；（4）根據(jù)之前的探究，可得，設，，則，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘方，同底數(shù)冪的乘除運算，解題的關鍵是弄清對數(shù)與乘方之間的關系，并熟練運用．【經典例題八冪的運算綜合問題】【例8】（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出，再利用整體代入思想即可得出答案．【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為：∵，∴原式=,故選：A．【點睛】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)冪的乘法的逆用，解題的關鍵是正確找到本題的規(guī)律：，學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式訓練】【變式1】（2020春·七年級統(tǒng)考課時練習）已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a,b,c,d大小順序為（

）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c【答案】D【詳解】【分析】根據(jù)（am）n=amn,將各個式子化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，指數(shù)大的，冪也就大.【詳解】∵a=255=（25）11，b=344=（34）11，c=533=（53）11，d=622=(62)11,53＞34＞62＞25，∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11，即a＜d＜b＜c，故正確選項為：D.【點睛】此題考核知識點:冪的乘方（am）n=amn.解題的關鍵：對有理數(shù)的乘方的正確理解.，化為底數(shù)相同的形式，再比較底數(shù)的大小.【變式2】（2022秋·北京西城·七年級北師大實驗中學?？计谥校┰谀扯嗝襟w電子雜志的一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設每邊長為a，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，如此連續(xù)作幾次，便可構成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖（3））．下列步驟：（1）作一個正方形，設邊長為a（如圖（1）），此正方形的面積為_______；（2）對正方形進行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖（2），此圖形的周長為_________；（3）重復上述的作法，圖（1）經過第_________次分形后得到圖（3）的圖形；（4）觀察探究：上述分形過程中，經過n次分形得到的圖形周長是____，面積是____．【答案】

2

【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式即可求解；（2）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對正方形每進行1次變化，周長增加1倍，故可求解；（3）根據(jù)正方形雪花圖案的形成過程，觀察圖形，可知對正方形每進行1次分形，周長增加1倍，由圖（3）的圖形，得出圖（1）經過第2次分形后即可得到；（4）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對正方形每進行1次分形，周長增加1倍；每增加一個小正方形同時又減少一個相同的小正方形，即面積不變．【詳解】（1）作一個正方形，設邊長為a（如圖（1）），此正方形的面積為；（2）對正方形進行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖（2），原圖形的周長為4a，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對正方形每進行1次變化，周長增加1倍，故此時圖形的周長為；（3）重復上述的作法，圖（1）經過第2次分形后得到圖（3）的圖形；（4）觀察探究：上述分形過程中，對正方形每進行1次分形，周長增加1倍；每增加一個小正方形同時又減少一個相同的小正方形，即面積不變．∴經過n次分形得到的圖形周長是4a×2n=，面積是．故答案為；；2；；．【點睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和概括能力，觀察出后一個圖形的周長比它的前一個增加1倍是解題的關鍵，本題有一定難度．【變式3】（2023春·七年級單元測試）閱讀下列材料：小明為了計算的值，采用以下方法：設①則②②①得，．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請寫出計算過程）（4）求的和（其中且）．（請寫出計算過程）【答案】（1）221?2；（2）2-；（3）；（4）+【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設s＝①，則2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①即可得結果；（2）設s＝①，s＝②，②?①即可得結果；（3）設s＝①，-2s＝②，②?①即可得結果；（4）設s＝①，as＝②，②?①得as-s=-a-，同理：求得-，進而即可求解．【詳解】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設s＝①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設s＝①，s＝②，②?①得，s?s＝-s＝-1，∴s＝2-，故答案為：2-；（3）設s＝①-2s＝②②?①得，-2s?s＝-3s＝+2∴s＝；（4）設s＝①，as＝②，②-①得：as-s=-a-，設m=-a-③，am=-④，④-③得：am-m=a-，∴m=，∴as-s=+，∴s=+．【點睛】本題考查了規(guī)律型?實數(shù)的運算，解決本題的關鍵是理解閱讀材料進行計算．【培優(yōu)檢測】1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考階段練習）計算的結果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進行求解即可．【詳解】解：＝＝＝＝＝．故選：C．【點睛】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．2．（2021秋·吉林長春·八年級長春市實驗中學?？计谥校┍容^，，的大小正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將這三個數(shù)化成相同指數(shù)的形式，然后比較底數(shù)的大小即可；【詳解】解：因為所以故選：B．【點睛】本題考查了冪的乘方的逆運算；熟練掌握冪的乘方的運算技巧是解題的關鍵．3．（2023春·七年級單元測試）新型冠狀病毒體積很小，這種病毒外直徑大概在0.00000011米，則0.00000011這個數(shù)字可用科學記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)即可解答．【詳解】解：0.00000011=．故選B．【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，將一個數(shù)表示成的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．確定a和n的是解答本題的關鍵．4．（2021春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）已知xa=3，xb=4，則x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．19【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆運算即可得出結果．【詳解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整體代入即可得原式=33÷42=．故選:B．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法和冪的乘方，解題關鍵是明確同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的法則，然后逆用代入計算即可．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．5．（2022春·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）一點P從距原點右側8個單位的M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點處，第二次從跳到的中點處，第三次從點跳到的中點處，如此不斷跳動下去，則第2022次跳動后，該點到原點O的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意計算出來第一次、第二次及第三次的距離，然后找出規(guī)律求解即可．【詳解】解：由題意可得：OM=8，點P從M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點M1處，此時點到原點O的距離為8×，第二次從M1跳到OM1的中點M2處，此時點到原點O的距離為8×，第三次從點M2跳到OM2的中點M3處，此時點到原點O的距離為8×，…第n次從點Mn-1跳到OMn-2的中點Mn處，此時點到原點O的距離為8×，當n=2022時，點到原點的距離為：8×，故選：D．【點睛】題目主要考查負整數(shù)指數(shù)冪及規(guī)律的探索，理解題意，找出題中相應的規(guī)律是解題關鍵．6．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）下列有四個結論，其中正確的是（

）①若，則x只能是2；②若的運算結果中不含項，則③若，則；④若，，則可表示為．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)零次冪、多項式乘多項式、完全平方公式及同底數(shù)冪的除法法則分別對每一項進行分析，即可得出答案．【詳解】解：①、若（x-1）x+1=1，則x是2或-1．故①錯誤；②、若（x-1）（x2+ax+1）的運算結果中不含x2項，∵（x-1）（x2+ax+1）=x3+（a-1）x2+（1-a）x-1，∴a-1=0，解得a=1，故②正確；③、由，可得，即可得：，兩邊開方得：，故③正確；④、∵4x=a，∴22x=a，∵8y=b，∴23y=b，∴22x-3y=22x÷23y=，故④正確；故選：B．【點睛】本題考查了零次冪、多項式乘多項式、完全平方公式以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．7．（2021春·遼寧沈陽·七年級?？计谥校┮阎?，則______．【答案】或##4或2【分析】根據(jù)，，（為整數(shù)），進行分類討論求解即可．【詳解】解：當時：，此時，滿足題意；當時，即時：，滿足題意；當時：即時，滿足題意；綜上：當或時，；故答案為：或．【點睛】本題考查零指數(shù)冪以及有理數(shù)的乘方運算．熟練掌握，，（為整數(shù)），是解題的關鍵．8．（2022秋·河北廊坊·八年級校聯(lián)考期末）已知，滿足，則______；______．【答案】

1

【分析】先利用絕對值和平方數(shù)的非負性得到，，從而得到，，再代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，，故答案為：1；．【點睛】本題考查零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的計算，解題的關鍵是根據(jù)絕對值和平方數(shù)的非負性求出，．9．（2022秋·全國·八年級專題練習）若x，y均為實數(shù)，，則：（1）＝______x+y；（2）_______．【答案】

2022

1【分析】（1）將化成代入數(shù)值即可計算；（2），再由（1）知，得出即可求．【詳解】（1）解：∵∴故答案為：2022；（2）解：∵∴∴故答案為：1．【點睛】本題主要考查冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的運算，根據(jù)運算法則將式子進行相應的換算是解題的關鍵．10．（2021春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）觀察以下一系列等式：①；

②；③；

④；……利用上述規(guī)律計算：=___________．【答案】【分析】觀察等式，將所有等式左右邊分別相加，即可求解．【詳解】解：∵①；

②；③；

④；……；∴+++……++++……+整理得：故答案為：【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，零次冪，找到規(guī)律是解題的關鍵．11．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強國有我）的理解是正確的．【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠的神）的理解是正確的；，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；，2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，，的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；，，且，故QGYW（強國有我）的理解是正確的；故答案為：DDDD．【點睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運算法則是解題的關鍵．12．（2022春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）如圖①是一塊正方形紙板，邊長為1，面積記為S1，沿圖①的底邊剪去一個邊長為的小正方形紙板后得到圖②，圖②的面積記為S2，然后再沿同一底邊依次剪去一塊更小的正方形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正方形紙板邊長的）后得到圖③，④，…，記第n塊紙板的面積為Sn，則Sn+1﹣Sn＝__．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)圖形的變化分別求出，，，再歸納類推出一般規(guī)律即可．【詳解】解：由題意可知，，，，歸納類推得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題的關鍵．13．（2022春·江西九江·七年級統(tǒng)考期中）已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式是____（填序號）．【答案】①②③【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關系，代入各式驗證即可．【詳解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正確；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；④b＝a+1，因此④不正確；綜上所述，正確的結論有：①②③三個，故選：C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是熟練運用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關系．14．（2022秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）觀察等式：；；按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，則用含a的代數(shù)式表示下列這組數(shù)的和_________．【答案】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律完成問題．【詳解】觀察、發(fā)現(xiàn)∴===（把代入）==．故答案為：．【點睛】此題考查乘方運算，其關鍵是要歸納出規(guī)律并運用之．15．（2023春·七年級課時練習）閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結論可知的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將化成，再利用的末尾數(shù)字是6，從而得出結論；（3）分別證明的末尾數(shù)字為6和的末尾數(shù)字9，則命題即可得證．【詳解】（1）解：，的末尾數(shù)字為3；的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是4，…的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；故答案為：3，6；（2）解：，∵的末尾數(shù)字是6，∴的末尾數(shù)字是4；（3）證明：∵的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字為6；同理可得：的末尾數(shù)字7，的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字3，的末尾數(shù)字1；的末尾數(shù)字9，∴的末尾數(shù)字是5，∴能被5整除．【點睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關鍵．16．（2022秋·全國·八年級專題練習）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運算性質：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運算性質，填空：=________．（a為正數(shù)）(3)若d（2）=0.3010，分別計算d（4）；d（5）．【答案】(1)1，﹣2(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】（1）由“勞格數(shù)”的定義運算轉化為同底數(shù)冪解答即可；（2）根據(jù)冪的乘方公式轉化求解即可；（3）根據(jù)積的乘方公式、冪的乘方轉化求解即可.【詳解】（1）解：∵10b＝10，∴b＝1，∴d（10）＝1；10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，∴d（10﹣2）＝﹣2；故答案為1，﹣2；（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）∴故答案為3；（3）解：∵d（2）＝0.3010，∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．【點睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運算；理解題意，將新定義轉化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運算是解題的關鍵.17．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：設（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．試解決下列問題：①計算（8，1000）﹣（32，100000）；②請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．【答案】(1)2，0，-2(2)①0；②見解析【分析】（1）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運算進行計算即可；（2）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運算進行計算即可．（1）解：∵52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案為：2，0，-2；（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②設3x=2，3y=5，則3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．【點睛】本題考查了冪的乘方，熟練掌握冪的乘方是解題的關鍵．18．（2021·四川內江·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料：按照一定順序