專題05等腰三角形的判定與性質(zhì)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題05等腰三角形的判定與性質(zhì)考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·隴縣期末）如圖，在中，，，，，，則（）A．10 B．11 C．13 D．152．（2分）（2021八上·臨沭月考）如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P為射線OC上一點(diǎn)，如果射線OA上的點(diǎn)D，滿足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度數(shù)為（）A．30° B．120°C．30°或120° D．30°或75°或120°3．（2分）（2021八上·東莞期中）如圖，中，點(diǎn)在上，連接BD，∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，則圖中共有等腰三角形（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．（2分）（2021八上·江津期末）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)和，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn).則下列說法中正確的個數(shù)是（）①是的平分線；②；③點(diǎn)在的中垂線上；④A．1 B．2 C．3 D．45．（2分）（2020八上·濮陽期末）如圖，在中，、分別平分、，過點(diǎn)D作直線平行于，分別交、于點(diǎn)E、F，當(dāng)大小變化時，線段和的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定6．（2分）（2021八上·滑縣期末）如圖，點(diǎn)是的，的平分線的交點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長為，那么的長為（）A． B． C． D．7．（2分）（2021八上·柯橋月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．6 D．78．（2分）（2018八上·天臺期中）如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n,則=mn.其中正確的結(jié)論有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2分）（2018八上·江蘇月考）已知：如圖△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足.下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④10．（2分）（2018八上·新鄉(xiāng)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正確的有（）A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤評卷人得分二．填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·云夢期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與，重合），連接，作，與交于.在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的度數(shù)為時，的形狀是等腰三角形.12．（2分）（2021八上·武漢月考）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，ME∥AD交AC于F，交BA的延長線于E.則BE＝.13．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點(diǎn)，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)F，若AF＝8，BF＝7，則CD的長度為.14．（2分）（2021八上·長沙月考）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的長為cm.15．（2分）（2020八上·興城期末）如圖，中，，M、N分別是、邊上的點(diǎn)，連接、，若，，則的度數(shù)是．16．（2分）（2020八上·天津月考）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．若的周長為7，的周長是12，則的長度為．17．（2分）（2020八上·濉溪期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC，∠ACF，直線DE過點(diǎn)I，且DE∥BC，BD＝8cm，CE＝5cm，則DE＝．18．（2分）（2021八上·咸安期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F，過點(diǎn)O作于D，有下列結(jié)論：①；②點(diǎn)O到各邊的距離相等；③；④.其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）.19．（2分）（2020八上·漢陽期中）如圖，為的角平分線，且，為延長線上一點(diǎn)，，過作于，下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的序號是.20．（2分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn．其中正確的結(jié)論是．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（5分）（22021八上·東莞期末）已知：如圖，AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．求證：△AED是等腰三角形．22．（5分）（2021八上·沿河期末）已知在中，，在上，在的延長線上，交于，且，求證：．23．（5分）（2020八上·安丘月考）如圖，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，若，，求的長24．（6分）（2021八上·漢陰期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，交的延長線于點(diǎn)F.（1）（3分）若，求的度數(shù)；（2）（3分）求證：.25．（9分）（2018八上·長春期末）（1）（3分）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）（3分）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要證明．（3）（3分）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明．26．（10分）（2021八上·崇陽期中）（1）（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC.①如圖1，若α=90°，請直接寫出AD與CD之間的數(shù)量關(guān)系_▲_；②在圖2中，①中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）（5分）根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD=BC.27．（10分）（2020八上·石阡月考）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD.（1）（5分）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（2）（5分）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.28．（10分）（2021八上·長沙期末）（概念學(xué)習(xí)）①我們規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”；②從三角形的一個頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中：一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這線段叫做這個三角形的“等角分割線”.（概念理解）（1）如圖1，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”.（1）（5分）如圖2，在ABC中，CD為角平分線，∠A=30°，∠B=50°.求證：CD為ABC的“等角分割線”.（2）（5分）若在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的“等角分割線”，請直接寫出所有符合題意的∠ACB的度數(shù).2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題05等腰三角形的判定與性質(zhì)考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·隴縣期末）如圖，在中，，，，，，則（）A．10 B．11 C．13 D．15【答案】B【完整解答】解：延長BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM=5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE=6，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM=6，∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】延長BE交AC于M，對圖形進(jìn)行角標(biāo)注，根據(jù)等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性質(zhì)可得BM＝2BE=6，由外角的性質(zhì)可得∠4＝∠5+∠C，則∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，則CM＝BM=6，然后根據(jù)AC=AM+CM進(jìn)行計算.2．（2分）（2021八上·臨沭月考）如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P為射線OC上一點(diǎn)，如果射線OA上的點(diǎn)D，滿足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度數(shù)為（）A．30° B．120°C．30°或120° D．30°或75°或120°【答案】D【完整解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①當(dāng)D在D1時，OD＝PD，∵∠AOP＝∠OPD＝30°，∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②當(dāng)D在D2點(diǎn)時，OP＝OD，則∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；③當(dāng)D在D3時，OP＝DP，則∠ODP＝∠AOP＝30°；綜上所述：120°或75°或30°，故答案為：D．【思路引導(dǎo)】先求出∠AOC＝30°，再分類討論，結(jié)合圖形求解即可。3．（2分）（2021八上·東莞期中）如圖，中，點(diǎn)在上，連接BD，∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，則圖中共有等腰三角形（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【完整解答】解：圖中共有等腰三角形3個，理由如下：∵∠ADB＝∠C＋∠DBC，∠ADB＝2∠C，∴∠DBC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，∵∠ABD＝2∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，∵∠DBC＝∠A，∴∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，故答案為：D．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定定理分別求出DB=DC，AB=AD，AB=CB即可。4．（2分）（2021八上·江津期末）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)和，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn).則下列說法中正確的個數(shù)是（）①是的平分線；②；③點(diǎn)在的中垂線上；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【完整解答】解：由題意得：是的平分線，故①正確；∵，，∴∠BAC=，∵是的平分線，∴∠CAD=∠BAD=，∴，故②正確；過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠BAD=，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∴AE=BE，∴點(diǎn)在的中垂線上，故③正確；∵是的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD=DE，∠C=∠AED=，又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴S△ACD=S△AED，∵AE=BE，DE⊥AB，∴S△AED=S△BED，∴，故④錯誤.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意作圖可知：是的平分線，由此判斷①正確；先求得∠BAC=，由是的平分線，求得∠CAD=∠BAD=，即可得到，判斷②正確；過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)∠BAD=，證得△ABD是等腰三角形，得到AE=BE，即可判斷③正確；證明Rt△ACD≌Rt△AED，得到S△ACD=S△AED，根據(jù)等底同高得到S△AED=S△BED，即可得到，判斷④錯誤.5．（2分）（2020八上·濮陽期末）如圖，在中，、分別平分、，過點(diǎn)D作直線平行于，分別交、于點(diǎn)E、F，當(dāng)大小變化時，線段和的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定【答案】C【完整解答】解：，，平分，，，，同理，，即.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)得∠EDB=∠DBC，由角平分線的定義得∠EBD=∠DBC，從而得∠EDB=∠EBD，利用等角對等邊可得ED=BE，同理可證DF=FC，利用線段的和差即可求解.6．（2分）（2021八上·滑縣期末）如圖，點(diǎn)是的，的平分線的交點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長為，那么的長為（）A． B． C． D．【答案】B【完整解答】∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，∵點(diǎn)是的，的平分線的交點(diǎn)，∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD=∠BOD，∠EOC=∠OCE；∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC∵的周長為，∴BC=9cm．故答案為：B．【思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)可得∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，由角平分線的定義可得∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；于是∠OBD=∠BOD，∠EOC=∠OCE；由等角對等邊可得BD=OD，CE=OE；根據(jù)三角形的周長等于三角形的三邊之和可得△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC，把△ODE的周長代入等式計算即可求解.7．（2分）（2021八上·柯橋月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】C【完整解答】解：如圖所示，作AB的垂直平分線，

①作AC的垂直平分線交AB的垂直平分線于一點(diǎn)P，得到△ABC的外心P，為滿足條件的一個點(diǎn)；

②以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫圓，交AB的垂直平分線于兩點(diǎn)，P2，P3為滿足條件的點(diǎn)；

③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，P4為滿足條件的點(diǎn)；

④分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，得到P5、P6為滿足條件的點(diǎn)；

綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個數(shù)有6個.

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB和AC的垂直平分線，得到△ABC的外心滿足條件；再根據(jù)圓的半徑相等，以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于一點(diǎn)；再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與⊙C相交于兩點(diǎn)，即可解答.8．（2分）（2018八上·天臺期中）如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n,則=mn.其中正確的結(jié)論有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小題正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；④連接AG，∵點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE?GD+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故本小題錯誤．故答案為：C．【思路引導(dǎo)】利用角平分線的性質(zhì)可證得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再證明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，從而可證①的結(jié)論；利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，可對②作出判斷；BG、CG是△ABC的兩個角的平分線的交點(diǎn)，可證得點(diǎn)G時內(nèi)心，利用三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可對③作出判斷；由已知條件：點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面積=（AE+AF）?GD，代入計算，可對④作出判斷，綜上所述，可得出正確結(jié)論的個數(shù)。9．（2分）（2018八上·江蘇月考）已知：如圖△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足.下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【完整解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中，BE＝BA∠ABE＝∠CBE∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BE=BC，BD=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC∴∠BCE=∠BDA，∴∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正確；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCE=∠BDA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∴③正確；④過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是∠ABC角平分線上的點(diǎn)，∴EG=EF，在Rt△BEF和Rt△BEG中，BE＝BEEG＝EF∴Rt△BEF≌Rt△BEG（HL），∴BF=BG，在Rt△CEG和Rt△AFE中，EG＝EFAE＝CE∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BG+BF=2BG，∴④正確.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD=∠CBD，從而利用SAS判斷出△ABD≌△EBC；根據(jù)三角形的內(nèi)角和及等邊對等角得出∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠BCE=∠BDA，從而即可根據(jù)等量代換及平角的定義得出∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°；根據(jù)角的和差、三角形外角定理及等式的性質(zhì)得出∠DCE=∠DAE，根據(jù)等角對等邊得出AE=EC，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=EC，故AD=AE=EC；過E作EF⊥BC于F點(diǎn)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出EG=EF，從而利用HL判斷出Rt△BEF≌Rt△BEG，推出BF=BG，再利用HL判斷出Rt△CEF≌Rt△AGE，推出AG=CF，最后根據(jù)線段的和差及等量代換得出BA+BC=BG+GA+BF-CF=BG+BF=2BG，綜上所述即可得出答案。10．（2分）（2018八上·新鄉(xiāng)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正確的有（）A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤【答案】D【完整解答】①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正確；②如圖：延長GD與AC交于點(diǎn)P'，由三線合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正確；③如圖：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，從而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正確；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E為△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均為等腰直角三角形，∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④錯誤；⑤如圖：作ME⊥CE交CF于點(diǎn)M，則△CEM為等腰直角三角形，從而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正確；故答案為：D【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意易求出∠ADC的度數(shù)，可對①作出判斷；延長GD與AC交于點(diǎn)P'，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得出CG=CP'，再證明CG=CP，AP=AF，就可證得AF=AC+CG，可對②作出判斷；證明△CAD≌△EAD，利用全等三角形的性質(zhì)，就可判斷△CDE的形狀，可對③作出判斷；易證E為△CGF垂心，就可證得△CDE、△CHF、△GHE均為等腰直角三角形，可證得HF=GH+CD，可對④作出判斷；作ME⊥CE交CF于點(diǎn)M，可知△CEM為等腰直角三角形，從而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，再證明△EMF≌△CEG，利用全等三角形的性質(zhì)，可證GE=MF，然后就可得出CF=2CD+EG，綜上所述，可得出正確的序號。二．填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·云夢期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與，重合），連接，作，與交于.在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的度數(shù)為時，的形狀是等腰三角形.【答案】或【完整解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①當(dāng)AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此時不符合；②當(dāng)DA=DE時，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③當(dāng)EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是110°或80°，故答案為：110°或80°.【思路引導(dǎo)】利用等邊對等角可求出∠C的度數(shù)，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AD=AE時，可得到∠AED=40°，利用三角形的一個外角大于和它不相鄰的任意一個內(nèi)角，可知此時不符合；當(dāng)DA=DE時，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DAE的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù)；當(dāng)EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，由此可求出∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù).12．（2分）（2021八上·武漢月考）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，ME∥AD交AC于F，交BA的延長線于E.則BE＝.【答案】5【完整解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，

∵M(jìn)F∥AD，

∴∠DAC＝∠AFE，∠BAD＝∠E，

∴∠E＝∠AFE，

∴AE＝AF；

延長FM至點(diǎn)N，使MN＝FM，∠BMN＝∠CMF，MB＝CM，

∴△BMN≌△CMF（SAS），

∴CF＝BN，∠N＝∠MFC，

∵∠EFA＝∠MFC，

∴∠N＝∠EFA，

∴∠N＝∠E，

∴BN＝BE，

∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝BE＋FC，

∵BE＝FC，

∴2BE=10，

∴BE=5.

故答案為：5.【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAC＝∠AFN，∠BAD＝∠E，結(jié)合角平分線的定義證出∠E＝∠AFE，根據(jù)等角對等邊得出AE=AF；延長FM至點(diǎn)N，使MN＝FM，連接AN，證明△BMN≌△CMF，得出CF＝BN，∠N＝∠MFC，得出BN＝BE，證明得出AB＋AC＝2BE，可求出答案．13．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點(diǎn)，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)F，若AF＝8，BF＝7，則CD的長度為.【答案】23【完整解答】解：∵AF＝8，BF＝7，∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，∵AB＝AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°，∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，∴∠D=∠BFE=∠AFD，∴AD=AF=8，∴CD=AC+AD=15+8=23.故答案為：23.【思路引導(dǎo)】由已知條件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，則AD=AF=8，然后根據(jù)CD=AC+AD進(jìn)行計算.14．（2分）（2021八上·長沙月考）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的長為cm.【答案】4【完整解答】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，∴CE=4cm.故答案為：4.【思路引導(dǎo)】由角平分線的定義可得∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，由平行線的性質(zhì)可得∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，從而得出∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根據(jù)等角對等邊可得BD=FD，EF=CE，繼而得出EF=DF-DE=BD-DE=4，即得結(jié)論.15．（2分）（2020八上·興城期末）如圖，中，，M、N分別是、邊上的點(diǎn)，連接、，若，，則的度數(shù)是．【答案】40°【完整解答】解：，，根據(jù)等腰三角形的判定定理得：△AMN，△CNB為等腰三角形，∴∠ANM=∠AMN，∠CNB=∠CBN，，，，故答案是：．【思路引導(dǎo)】先求出△AMN，△CNB為等腰三角形，再求出，最后計算求解即可。16．（2分）（2020八上·天津月考）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．若的周長為7，的周長是12，則的長度為．【答案】5【完整解答】∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC，∴∠DOB=∠DBO，∴OD=DB，同理OE=EC，∴AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC∵的周長為7，的周長是12∴AD+DE+AE=7，AB+BC+AC=12∴AB+AC=7∴BC=5故答案為：5．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線及平行線的性質(zhì)得到DO=DB，OE=EC，再利用三角形的周長計算即可。17．（2分）（2020八上·濉溪期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC，∠ACF，直線DE過點(diǎn)I，且DE∥BC，BD＝8cm，CE＝5cm，則DE＝．【答案】3cm【完整解答】解：∵BI、CI分別平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案為3cm．【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的定義，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代換可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角對等邊可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出結(jié)論.18．（2分）（2021八上·咸安期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F，過點(diǎn)O作于D，有下列結(jié)論：①；②點(diǎn)O到各邊的距離相等；③；④.其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）.【答案】①②③④【完整解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°∠A，∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正確；過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確.

在Rt△AMO與Rt△ADO中，

∵OM=OD，AO=AO，

∴Rt△AMO≌Rt△ADO∴AM=AD，

同理BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+ACBC）故④正確，故答案為：①②③④.【思路引導(dǎo)】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得③正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；根據(jù)HL可以證出△AMO與△ADO全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算（AB+ACBC）即可得出判斷出④.19．（2分）（2020八上·漢陽期中）如圖，為的角平分線，且，為延長線上一點(diǎn)，，過作于，下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的序號是.【答案】①②④【完整解答】解：①為的角平分線，，又，，，，，即①正確；②在中，，，在中，，，，，，，，，為等腰三角形，，，，，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯誤；④如圖，過作于點(diǎn)，是上的點(diǎn)，，在和中，，，，在和中，，，，，即④正確.故答案為：①②④.【思路引導(dǎo)】由角平分線的概念可得∠ABD=∠CBD，證明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，據(jù)此判斷①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE為等腰三角形，則AE=EC，由全等三角形的性質(zhì)可得AD=EC，據(jù)此判斷②；無法得到AB∥CE，過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，證明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，據(jù)此判斷④.20．（2分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn．其中正確的結(jié)論是．【答案】①②③【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，故本小題正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；④連接AG，∵點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE?GD+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故本小題錯誤．故答案為：①②③．【思路引導(dǎo)】①根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出結(jié)論；②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④連接AG，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．三、解答題(共8題；共60分)21．（5分）（22021八上·東莞期末）已知：如圖，AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．求證：△AED是等腰三角形．【答案】證明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠ADE=∠CAD，∴AE=ED，∴△AED是等腰三角形．【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論。22．（5分）（2021八上·沿河期末）已知在中，，在上，在的延長線上，交于，且，求證：．【答案】證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，，，，，，，在和中，，，，．【思路引導(dǎo)】（1）過D點(diǎn)作DG∥AE交BC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)額等腰三角形的性質(zhì)得出∠4=∠3，∠B=∠1，從而得出BD=DG，再利用AAS證出△DFG≌△EFC，得出DG=CE，即可得出BD=CE.23．（5分）（2020八上·安丘月考）如圖，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，若，，求的長【答案】解：BE平分ABC，DBE=EBC，DEBC，EBC=DEB，DEB=DBE，DE=BD，同理可證：EF=CF，BD=8，DE=8，DF=3，EF=5，CF=5．【思路引導(dǎo)】由BE平分ABC可得DBE=EBC，由DE∥BC可得EBC=DEB，所以DEB=DBE，所以DE=BD，同理可證EF=CF，由已知線段的長度求解即可．24．（6分）（2021八上·漢陰期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，交的延長線于點(diǎn)F.（1）（3分）若，求的度數(shù)；（2）（3分）求證：.【答案】（1）解：，.（2）證明：，于點(diǎn).【思路引導(dǎo)】（1）利用等邊對等角可求出∠B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)可求出∠AEF的度數(shù)；

（2）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得∠BAD=∠CAD，再利用平行線的性質(zhì)得∠F=∠CAD，由此可推出∠BAD=∠F，利用等角對等邊，可證得結(jié)論.25．（9分）（2018八上·長春期末）（1）（3分）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）（3分）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要證明．（3）（3分）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC∵AD為∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，∴CD=BE．∵AB=AE＋BE，∴AB=AC＋CD．（2）證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，CD=DE，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB=∠B，∴ED=EB，∴CD=EB，∴AB=AC+CD；（3）解：猜想：AB=CD﹣AC證明：在BA的延長線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD=∠AED，CD=DE，∴∠ACB=∠FED，又∵∠ACB=2∠B∴∠FED=2∠B，又∵∠FED=∠B＋∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，∴BE=CD，∵AB=BE-AE∴AB=CD﹣AC．【思路引導(dǎo)】（1）證明線段和差可轉(zhuǎn)化為證線段相等，本題采取截長法，利用全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)即可獲得證明；（2）盡管弱化了條件∠ACB≠90°，類比（1）的轉(zhuǎn)化方法不難得到同樣的結(jié)論；（3）盡管與（1）相比弱化了條件，同時改變了AD由內(nèi)角平分線變?yōu)橥饨瞧椒志€，但受（1）的思路啟發(fā)，同樣可采用截長法，利用全等三角形判定和性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，即可找到三條線段的數(shù)量關(guān)系。本題充分利用角平分線構(gòu)造全等三角形從而把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，同時要善于把問題前后聯(lián)系起來，學(xué)會類比思考分析。26．（10分）（2021八上·崇陽期中）（1）（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC.①如圖1，若α=90°，請直接寫出AD與CD之間的數(shù)量關(guān)系_▲_；②在圖2中，①中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）（5分）根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD=BC.【答案】（1）解：①AD=CD②成立，理由如下：在BC截取BE=BA，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，又BE=BA，BD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴AD=ED，∠BAD=∠BED，∵∠BCD=180°?∠BAD，∴∠BCD=180°?∠BED=∠DEC，∴CD=ED，∴AD=CD；（2）證明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，連接DE、DF，∴∠BDF=∠BFD=80°，∵∠C=40°，∴∠CDF=80°-40°=40°，∴DF=FC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，又BE=BA，BD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，∵∠DEF=180°?∠BED=180°?100°=80°，∴∠DEF=∠DFE=80°，∴DE=DF，∴AD=DE=DF=CF；∴BD+AD=BF+FC=BC.【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°?90°=90°，BD平分∠ABC，∴AD=CD；

故答案為：AD=CD；【思路引導(dǎo)】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得結(jié)論；

②在BC截取BE=BA，連接DE，由角平分線的概念可得∠ABD=∠EBD，利用SAS證△ABD≌△EBD，得AD=ED，∠BAD=∠BED，結(jié)合∠BCD=180°-∠BAD可得∠BCD=∠DEC，推出CD=ED，據(jù)此解答；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分線的概念可得∠ABD=∠CBD=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，連接DE、DF，由等腰三角形