專題38二次函數(shù)中的寬高模型(原卷版+解析)

專題38二次函數(shù)中的寬高模型【模型展示】特點(diǎn)面積處理之“寬高模型”如圖，試探究△ABC面積.如圖1，過點(diǎn)C（定點(diǎn)）作CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD+S△BCD圖1圖2如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG說明：其中OG表示A、B兩點(diǎn)之間在水平方向上的距離，可稱為△ABC的水平寬，CD可稱為△ABC的鉛垂高，即S△ABC=×水平寬×鉛垂高，可稱為“寬高公式”結(jié)論S△ABC=×水平寬×鉛垂高【模型證明】解決方案1、如圖3，過點(diǎn) A作AD⊥x軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD-S△ACD圖3圖4如圖4，過點(diǎn)B作BH⊥AD交于點(diǎn)H，則S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC說明：OC是△ABC的水平寬，AD是△ABC的鉛垂高.2、如圖5，過點(diǎn)B作BD⊥y軸交AC于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD+S△BCD圖5圖6如圖6，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG說明：BD是△ABC的水平寬，AG是△ABC的鉛垂高.3、如圖7，過點(diǎn) A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD-S△ABD圖7圖8如圖8，過點(diǎn)C作CF⊥AD交于點(diǎn)F，則S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB說明：AD是△ABC的水平寬，OB是△ABC的鉛垂高.[反思總結(jié)]無論點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的相對(duì)位置如何，“寬高模型”對(duì)圖形面積求解總是適用，其證明方法、證明過程、最終結(jié)論都基本一致，利用大面積-小面積或割補(bǔ)法求解，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中“變中不變”的和諧統(tǒng)一之美.【題型演練】1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：

“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．

例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．

（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直接寫出A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．

（2）已知點(diǎn)E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍；

②直接寫出E，F(xiàn)，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．3、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（-4，0），B（2，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，-2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

①求△ADE面積最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若tan∠AED=，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）連接AC，點(diǎn)P是線段CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，把線段PO繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點(diǎn)Q是點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)等于（直接寫出答案）4．（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．則與的面積之比是（

）．A． B． C． D．5、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．6、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.7、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由.8、如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖圖-2xCOyABD119、如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(-3，0)兩點(diǎn)，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒有，請(qǐng)說明理由.專題38二次函數(shù)中的寬高模型【模型展示】特點(diǎn)面積處理之“寬高模型”如圖，試探究△ABC面積.如圖1，過點(diǎn)C（定點(diǎn)）作CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD+S△BCD圖1圖2如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG說明：其中OG表示A、B兩點(diǎn)之間在水平方向上的距離，可稱為△ABC的水平寬，CD可稱為△ABC的鉛垂高，即S△ABC=×水平寬×鉛垂高，可稱為“寬高公式”結(jié)論S△ABC=×水平寬×鉛垂高【模型證明】解決方案1、如圖3，過點(diǎn) A作AD⊥x軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD-S△ACD圖3圖4如圖4，過點(diǎn)B作BH⊥AD交于點(diǎn)H，則S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC說明：OC是△ABC的水平寬，AD是△ABC的鉛垂高.2、如圖5，過點(diǎn)B作BD⊥y軸交AC于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD+S△BCD圖5圖6如圖6，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG說明：BD是△ABC的水平寬，AG是△ABC的鉛垂高.3、如圖7，過點(diǎn) A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD-S△ABD圖7圖8如圖8，過點(diǎn)C作CF⊥AD交于點(diǎn)F，則S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB說明：AD是△ABC的水平寬，OB是△ABC的鉛垂高.[反思總結(jié)]無論點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的相對(duì)位置如何，“寬高模型”對(duì)圖形面積求解總是適用，其證明方法、證明過程、最終結(jié)論都基本一致，利用大面積-小面積或割補(bǔ)法求解，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中“變中不變”的和諧統(tǒng)一之美.【題型演練】1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

解：（1）y=-x2-2x+3；如圖，過點(diǎn)P作PQ//y軸，交AC于點(diǎn)Q，∵A（-3,0），B（0,3）∴直線AC：y=x+3設(shè)P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x∴S△PAC=PQ·OA∴（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2∴P（-1,4）或（-2,3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：

“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．

例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．

（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直接寫出A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．

（2）已知點(diǎn)E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍；

②直接寫出E，F(xiàn)，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．解：（1）①由題意：a=4．

當(dāng)t＞2時(shí)，h=t-1，

則4（t-1）=12，可得t=4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；

當(dāng)t＜1時(shí)，h=2-t，

則4（2-t）=12，可得t=-1，故點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（0，-1）；

②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，

∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；

故答案為：4；

（2）∵E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，

∴a=4，h=2，∴0≤m≤．

∵m＞0，

∴0＜m≤．3、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（-4，0），B（2，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，-2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

①求△ADE面積最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若tan∠AED=，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）連接AC，點(diǎn)P是線段CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，把線段PO繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點(diǎn)Q是點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)等于（直接寫出答案）解：（1）將A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），可得：a=，b=∴y=x2x+6（2）①如圖所示，由“寬高模型”易證得S△ADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直線AE解析式為：y=x-2設(shè)D（x，x2x+6）則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x2x+6∵點(diǎn)F在直線AE上，∴F的橫坐標(biāo)為x2x-16∴DF=x2x+16又OE=2∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+∵<0，∴拋物線開口向下∴當(dāng)x=-時(shí)，S△ADE取最大值，此時(shí)點(diǎn)D（-，）②如圖，過點(diǎn)A作AH⊥DE交DE于點(diǎn)H，∵tan∠AED=，∴∵OA=4，OE=2∴AE=∴AH=，HE=3易證△AHG∽△EOG∴=設(shè)OG=m，則HG=m∴GE=HE-HG=3-m∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2∴OG=2∴G（-2,0）∴直線GE解析式為：y=-x-2∴聯(lián)立拋物線和直線GE函數(shù)解析式，可得：D（）（3）如圖所示，∵Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)，

∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，

當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，Q（-4，-4），

當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，Q（-6，6），

∴Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為2.4．（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．則與的面積之比是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出C和D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，可知S△ABC：S△ABD=BC邊上的高之比，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，?2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，?)，∵△ABC與△ABD的底相同，高線長(zhǎng)分別為2和，∴S△ABC：S△ABD=2：=．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是解題的關(guān)鍵．5、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．【解析】解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=∴P∵點(diǎn)P在拋物線上∴解得，（不合題意，舍去）

∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時(shí)，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時(shí)有=即解得：（舍去）∴M②點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時(shí)有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時(shí)有=即解得：（舍去）∴M∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，6、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)∴解得：b=-2c=-3（2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)∴直線AB的解析式為：y=x+1∵二次函數(shù)∴設(shè)點(diǎn)E(t，t+1),則F（t，）∴EF==∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）（3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ．可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）S=S+S==②如２６題備用圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)則有：解得:,∴,ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）則有：解得：，（與點(diǎn)F重合，舍去）∴綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（.能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．7、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由.解：（1）B（1，）（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1,），得，因此（3）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=—1，當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)x=－1時(shí)，，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)x=