專題07動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應用)(原卷版+解析)

2022-2023學年浙教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題07動態(tài)幾何問題（一元二次方程的應用）姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，點E從點B出發(fā)，沿以的速度向點C移動，同時點F從點C出發(fā)，沿以的速度向點D移動，當E，F(xiàn)兩點中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當是以為底邊的等腰三角形時，則點運動時間為(

)A． B． C．6 D．2．(本題2分)（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，cm，cm．現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從頂點出發(fā)，沿線段向點方向運動，如果點的速度是2cm/s，點的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，當，兩點運動秒時，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或53．(本題2分)（2022秋·廣東韶關·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P的速度為1cm/秒，點Q的速度為2cm/秒，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止運動．下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（

）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．3秒鐘或5秒鐘 D．5秒鐘4．(本題2分)（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=8cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動．當P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．(若一點到達終點，另一點也隨之停止運動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s5．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（

）A． B．或 C． D．6．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時另一個點從點開始沿以的速度移動，當?shù)拿娣e等于時，經(jīng)過的時間是（

）A．或 B． C． D．7．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習）在中，，動點P從點A沿線段向點B移動，一動點Q從點B沿線段向點C移動，兩點同時開始移動，點的速度為，點的速度為，當?shù)竭_點時兩點同時停止運動．若使的面積為，則點P運動的時間是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s8．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（

）A． B．或 C． D．9．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像上有一點P，過點P分別向坐標軸作垂線段，若兩垂線段與坐標軸圍成面積為5的矩形，則符合條件的點P個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)個10．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蟬從C點沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蟬開始爬行的同時，一只螳螂由A點沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，當螳螂和蟬爬行x秒后，它們分別到達了M，N的位置，此時，△MNB的面積恰好為24cm2，由題意可列方程()A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2022秋·福建寧德·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，點從A點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，則、分別從A、同時出發(fā)，經(jīng)過________秒鐘，使的面積等于．12．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，cm，OC是一條射線，，一只螞蟻由A點以1cm/s速度向B點爬行，同時另一只螞蟻由O點以2cm/s的速度沿OC方向爬行，則_______秒鐘后，兩只螞蟻所處位置與O點組成的三角形面積為100．13．(本題2分)（2022秋·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，，點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，點到達終點后，、兩點同時停止運動，則__秒時，的面積是．14．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點C以的速度移動，同時另一個點從點C開始沿以的速度移動，當△PCQ的面積等于450m2時，經(jīng)過的時間是____．15．(本題2分)（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在等腰中，，動點P從點A出發(fā)沿折線向點終B以的速度運動，于點Q．設運動時間為，當_______s時，的面積為．16．(本題2分)（2022秋·山東菏澤·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動；點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動點、分別從起點同時出發(fā)，挪動到某一位置時所需時間是為秒，當______時，的面積等于．17．(本題2分)（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，同時出發(fā)，，的運動速度均為．那么運動_____秒時，它們相距．18．(本題2分)（2022春·山東淄博·八年級?？计谥校┤鐖D，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC＝500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA＝300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經(jīng)過______小時它就會進入臺風影響區(qū)．19．(本題2分)（2022春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)，沿射線BC方向以2cm/s的速度移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，問：經(jīng)過_________________秒后△PBQ的面積等于4cm2．20．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，已知AGCF，AB⊥CF，垂足為B，AB=BC=3，點P是射線AG上的動點（點P不與點A重合），點Q是線段CB上的動點，點D是線段AB的中點，連接PD并延長交BF于點E，連接PQ，設AP=2t，CQ=t，當△PQE是以PE為腰的等腰三角形時，t的值為_____．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，厘米，厘米，點從點開始沿邊向點以厘米秒的速度移動，點從點開始沿邊向點以厘米秒的速度移動，如果，分別是從，同時出發(fā)，設時間為秒．(1)經(jīng)過幾秒時，的面積等于平方厘米？(2)經(jīng)過幾秒時，的面積等于直角三角形面積的？22．(本題6分)（2022秋·江西南昌·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，，．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤6）．那么當t為何值時，的面積等于8？23．(本題8分)（2022秋·山東濟南·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點P在上，從點B到點C運動（不包括點C），點P運動的速度為；點Q在上從點C運動到點A（不包括點A），速度為．若點P，Q分別從B，C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．(1)經(jīng)過幾秒，P，Q兩點的距離為？(2)經(jīng)過幾秒，的面積為？24．(本題8分)（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）如圖，已知等腰三角形，，，點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，同時點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，當點運動到點時，兩點均停止運動，運動時間記為秒，請解決下列問題：(1)若點在邊上，當為何值時，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．25．(本題8分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿射線向點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)，運動的時間為秒．當點運動到點時，兩點停止運動．(1)當點在線段上運動時，、兩點之間的距離為______．（用含的代數(shù)式表示）(2)在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得的面積是面積的．若存在，求的值；若不存在，說明理由．26．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，矩形，cm，cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發(fā)沿折線A－B－C向點C運動，同時點Q以lcm/s的速度從頂點C出發(fā)向點D運動，當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動．(1)問兩動點運動幾秒，使四邊形的面積是矩形面積的；(2)問兩動點經(jīng)過多長時間使得點P與點Q之間的距離為？若存在，求出運動所需的時間；若不存在，請說明理由．27．(本題8分)（2022秋·江蘇常州·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，過原點O及點、作矩形OABC，的平分線交AB于點D，點P從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒，求當t為多少秒時，為直角三角形．28．(本題8分)（2022秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達點C后返回點B，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為秒．(1)當時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．2022-2023學年浙教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題07動態(tài)幾何問題（一元二次方程的應用）姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022秋·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，矩形中，，點E從點B出發(fā)，沿以的速度向點C移動，同時點F從點C出發(fā)，沿以的速度向點D移動，當E，F(xiàn)兩點中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當是以為底邊的等腰三角形時，則點運動時間為(

)A． B． C．6 D．【答案】B【思路點撥】設點E運動的時間是．根據(jù)題意可得，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵，∴，設點E運動的時間是．根據(jù)題意可得，解得，，∵，∴兩點運動了后停止運動．∴．故選∶B．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運用．2．(本題2分)（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，cm，cm．現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從頂點出發(fā)，沿線段向點方向運動，如果點的速度是2cm/s，點的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，當，兩點運動秒時，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【思路點撥】由題意可得，，則利用三角形的面積公式即可求解．【規(guī)范解答】解：設運動的時間為，由題意得：，，，解得：，，即當或時，的面積等于．故選：D．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，三角形的面積公式，正確地列出方程是解題的關鍵．3．(本題2分)（2022秋·廣東韶關·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P的速度為1cm/秒，點Q的速度為2cm/秒，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止運動．下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（

）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．3秒鐘或5秒鐘 D．5秒鐘【答案】B【思路點撥】設運動時間為t秒，則PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面積公式結(jié)合△PBQ的面積為15cm2，即可得出關于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設運動時間為t秒，則PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依題意，得：×2t?（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故選：B．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．(本題2分)（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=8cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動．當P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．(若一點到達終點，另一點也隨之停止運動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s【答案】D【思路點撥】設當P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設當P、Q兩點從出發(fā)開始到xs時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根據(jù)題意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：當P、Q兩點從出發(fā)開始到2s或s時，點P和點Q的距離是10cm．故選：D．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用以及勾股定理，利用勾股定理找出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．5．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（

）A． B．或 C． D．【答案】A【思路點撥】設出動點P，Q運動t秒，能使的面積為，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．【規(guī)范解答】解：設動點P，Q運動t秒，能使的面積為，則BP為(8-t)cm，BQ為2tcm，由三角形的面積公式列方程得(8-t)×2t=15，解得t1=3，t2=5（當t2=5，BQ=10，不合題意，舍去）∴動點P，Q運動3秒，能使的面積為．故選A．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用．借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題．6．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時另一個點從點開始沿以的速度移動，當?shù)拿娣e等于時，經(jīng)過的時間是（

）A．或 B． C． D．【答案】B【思路點撥】本題已知了、的速度，設秒后，的面積等于，根據(jù)路程=速度時間，可用時間表示出和的長，然后根據(jù)直角三角形的面積公式，得出方程，求出未知數(shù)，然后看看解是否符合題意，將不合題意的舍去即可得出時間的值．【規(guī)范解答】解：設秒后，的面積等于，依題意得：，∴，∴，，當時，，即不合題意，舍去．所以10秒后，的面積等于．故選B．【考點評析】本題主要考查了列一元二次方程來解決現(xiàn)實生活中的動點運動問題；解題的關鍵是準確表示出AP、PC、BQ、CQ關于時間x的代數(shù)式，再根據(jù)等量關系列出方程來求解．7．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習）在中，，動點P從點A沿線段向點B移動，一動點Q從點B沿線段向點C移動，兩點同時開始移動，點的速度為，點的速度為，當?shù)竭_點時兩點同時停止運動．若使的面積為，則點P運動的時間是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s【答案】A【思路點撥】設點運動的時間為，則，，利用三角形的面積計算公式，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合當?shù)竭_點時兩點同時停止運動，即可得出點運動的時間．【規(guī)范解答】解：設點運動的時間為，則，，依題意得：，整理得：，解得：，，當?shù)竭_點時兩點同時停止運動，，，．故選：A．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（

）A． B．或 C． D．【答案】A【思路點撥】當運動時間為t秒時，cm，cm，根據(jù)的面積為，即可得出關于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：當運動時間為ts時，cm，cm，∴cm．依題意得：，即，整理得：，解得：，．當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．答：當?shù)拿娣e為時，點P運動的時間是2s．故選：A．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像上有一點P，過點P分別向坐標軸作垂線段，若兩垂線段與坐標軸圍成面積為5的矩形，則符合條件的點P個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)個【答案】A【思路點撥】設點P的坐標為（，），根據(jù)題意列出方程組，再根據(jù)的取值不同，分、、三種情況進行討論，即可求解．【規(guī)范解答】解：設點P的坐標為（，），根據(jù)題意得：，∵點P的位置不確定，分三種情況進行討論：①當時，則，則，解得：，（舍去）；②當時，，則，即，此時，此方程無解；③當時，，則，即，解得：（舍去），；故符合條件的P點坐標有2個，分別是（，）、（，）．【考點評析】本題考查一元二次方程在坐標中的運用，難度一般，根據(jù)題意列出方程組，再分情況討論是順利解題的關鍵．10．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蟬從C點沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蟬開始爬行的同時，一只螳螂由A點沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，當螳螂和蟬爬行x秒后，它們分別到達了M，N的位置，此時，△MNB的面積恰好為24cm2，由題意可列方程()A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48【答案】D【規(guī)范解答】設x秒后，螳螂走了2x,蟬走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由題意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,選D.評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2022秋·福建寧德·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點從A點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，則、分別從A、同時出發(fā)，經(jīng)過________秒鐘，使的面積等于．【答案】2或4##4或2【思路點撥】設經(jīng)過秒，的面積等于，得出，，根據(jù)三角形的面積公式，得出關于的一元二次方程，解出即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設經(jīng)過秒，的面積等于，則，，根據(jù)題意，可得：，即，解得：，，∴經(jīng)過或，的面積等于，故答案為：2或4．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在利用數(shù)形結(jié)合思想，找準等量關系，正確列出方程．12．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，cm，OC是一條射線，，一只螞蟻由A點以1cm/s速度向B點爬行，同時另一只螞蟻由O點以2cm/s的速度沿OC方向爬行，則_______秒鐘后，兩只螞蟻所處位置與O點組成的三角形面積為100．【答案】10或【思路點撥】可以分兩種情況進行討論：（1）當螞蟻在上運動；（2）當螞蟻在上運動．根據(jù)三角形的面積公式即可列方程求解．【規(guī)范解答】解：有兩種情況：（1）如圖1，當螞蟻在上運動時，設xs后兩只螞蟻與O點組成的三角形面積為100，由題意，得，整理，得，解得；（2）如圖2，當螞蟻在上運動時，設x秒鐘后，兩只螞蟻與O點組成的三角形面積為100，由題意，得，整理，得，解得，（舍去）．答：10s或s后，兩螞蟻與O點組成的三角形的面積均為100．故答案為：10或．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用．分兩種情況進行討論是難點．13．(本題2分)（2022秋·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，，點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，點到達終點后，、兩點同時停止運動，則__秒時，的面積是．【答案】2或3##3或2【思路點撥】設t秒后的面積是，則，，列方程即可求解．【規(guī)范解答】解：設運動時間為秒，則，，依題意得：，整理得：，解得：，．或3秒時，的面積是．故答案為：2或3．【考點評析】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．14．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點C以的速度移動，同時另一個點從點C開始沿以的速度移動，當△PCQ的面積等于450m2時，經(jīng)過的時間是____．【答案】【思路點撥】設當△PCQ的面積等于450m2時，經(jīng)過的時間是，根據(jù)題意得：，，從而得到，再由，可得到關于的方程，即可求解．【規(guī)范解答】解：設當△PCQ的面積等于450m2時，經(jīng)過的時間是，根據(jù)題意得：，，∵，，∴，∵，∴，∵△PCQ的面積等于450m2，∴，解得：，∵點從點C開始沿以的速度移動，∴，∴，即當△PCQ的面積等于450m2時，經(jīng)過的時間是．故答案為：【考點評析】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，得到關于的方程是解題的關鍵．15．(本題2分)（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在等腰中，，動點P從點A出發(fā)沿折線向點終B以的速度運動，于點Q．設運動時間為，當_______s時，的面積為．【答案】或【思路點撥】利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB，設時間為秒，分和兩種情況結(jié)合三角形面積分別計算．【規(guī)范解答】解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于點．∴設當時間為秒時，的面積為．當時，，，，即，解得：或（舍去）．當時，，，，即，解得：或（舍去）．綜上所述：當或秒時，的面積為．故答案為：或．【考點評析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，解一元二次方程，解題的關鍵是理解點的運動情況，注意分類討論．16．(本題2分)（2022秋·山東菏澤·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動；點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動點、分別從起點同時出發(fā)，挪動到某一位置時所需時間是為秒，當______時，的面積等于．【答案】2【思路點撥】首先用分別表示，的長度，然后利用三角形的面積公式即可列出關于的方程，解方程即可解決問題．【規(guī)范解答】解：，、，，，，當時，，故舍去，當時，的面積等于，故答案為：．【考點評析】此題考查了一元二次方程、三角形的面積公式，也是一個動點問題，用分別表示，的長度是解決問題的關鍵．17．(本題2分)（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，同時出發(fā)，，的運動速度均為．那么運動_____秒時，它們相距．【答案】9或12【思路點撥】設運動秒時，，兩點相距15厘米，利用勾股定理結(jié)合厘米，可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設運動秒時，，兩點相距15厘米，依題意，得：，解得：，，運動9秒或12秒時，，兩點相距15厘米；故答案為：9或12．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用以及勾股定理，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．18．(本題2分)（2022春·山東淄博·八年級?？计谥校┤鐖D，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC＝500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA＝300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經(jīng)過______小時它就會進入臺風影響區(qū)．【答案】7【思路點撥】首先根據(jù)題意結(jié)合題目條件畫出圖形，進而利用勾股定理得出等式計算即可．【規(guī)范解答】解：由題意，作圖如下：設x小時后，就進入臺風影響區(qū)，根據(jù)題意得出：，AB⊥AC，∵在Rt△ABC中，BC=500km，AB=300km，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴解得：，（不符合題意，舍去）．故答案為：7．【考點評析】此題主要考查了一元二次方程的應用以及勾股定理等知識，根據(jù)題意得出關于x的等式是解題關鍵．19．(本題2分)（2022春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)，沿射線BC方向以2cm/s的速度移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，問：經(jīng)過_________________秒后△PBQ的面積等于4cm2．【答案】2或4或【思路點撥】過點作于點，設時間，根據(jù)面積列方程即可求出答案．【規(guī)范解答】解：如圖，過點作于點，則，，，設經(jīng)過秒后的面積等于，則，，，當點在線段上運動時，，根據(jù)題意：，，，當點在的延長線上運動時，，根據(jù)題意：，，（舍，故經(jīng)過2秒或4秒或秒后，的面積等于．故答案為：2秒或4秒或秒．【考點評析】本題考查一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是要對分類討論．20．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，已知AGCF，AB⊥CF，垂足為B，AB=BC=3，點P是射線AG上的動點（點P不與點A重合），點Q是線段CB上的動點，點D是線段AB的中點，連接PD并延長交BF于點E，連接PQ，設AP=2t，CQ=t，當△PQE是以PE為腰的等腰三角形時，t的值為_____．【答案】或【思路點撥】以B為原點、直線CF為x軸，直線AB為y軸，建立直角坐標系，先證明AP=BE，即可得E點坐標為(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P點坐標為(-2t,3)，C點坐標為(-3,0)，A點坐標為(0,3)，Q點坐標為(t-2,0)，根據(jù)Q點在線段BC上，P點不與A點重合，可得0＜t＜3，進而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根據(jù)△PQE是以PE為腰的等腰三角形，分類討論：當PQ=PE時，當QE=PE時兩種情況，即可求解．【規(guī)范解答】以B為原點、直線CF為x軸，直線AB為y軸，建立直角坐標系，如圖，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D點為AB中點，∴AD=BD，∴結(jié)合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E點坐標為(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P點坐標為(-2t,3)，C點坐標為(-3,0)，A點坐標為(0,3)，∴Q點坐標為(t-3,0)，∵Q點在線段BC上，P點不與A點重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根據(jù)△PQE是以為腰的等腰三角形，分類討論：當PQ=PE時，有，整理：，解得（負值舍去），當QE=PE時，有，整理：，解得（0舍去），綜上所述：t的值可以為，．故答案為：，．【考點評析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、構(gòu)建直角坐標系、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應用等知識，構(gòu)建直角坐標系是快速解答此題的關鍵．解答時，需注意分類討論的思想．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，厘米，厘米，點從點開始沿邊向點以厘米秒的速度移動，點從點開始沿邊向點以厘米秒的速度移動，如果，分別是從，同時出發(fā)，設時間為秒．(1)經(jīng)過幾秒時，的面積等于平方厘米？(2)經(jīng)過幾秒時，的面積等于直角三角形面積的？【答案】(1)秒或秒(2)秒或秒【思路點撥】（1）設經(jīng)過秒時，的面積等于8平方厘米，則厘米，厘米，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合的面積等于8平方厘米，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設經(jīng)過秒時，的面積等于矩形面積的，則厘米，，根據(jù)三角形、矩形的面積公式及的面積等于矩形面積的，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）設經(jīng)過秒時，的面積等于8平方厘米，則厘米，厘米，根據(jù)題意，得，整理，得

，解得

，．故經(jīng)過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米．（2）設經(jīng)過秒時，的面積等于矩形面積的，則厘米，厘米，根據(jù)題意，得

，整理，得，解得

，．故經(jīng)過秒或秒時，的面積等于直角三角形面積．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．22．(本題6分)（2022秋·江西南昌·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，，．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤6）．那么當t為何值時，的面積等于8？【答案】2s或4s【思路點撥】當運動時間為ts時，，，利用三角形面積公式結(jié)合的面積等于8，列出關于t的一元二次方程解得即可．【規(guī)范解答】解：當運動時間為ts時，，，依題意得：，整理得：，解得：，，答：當t為2s或4s時，的面積等于8．【考點評析】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．23．(本題8分)（2022秋·山東濟南·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點P在上，從點B到點C運動（不包括點C），點P運動的速度為；點Q在上從點C運動到點A（不包括點A），速度為．若點P，Q分別從B，C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．(1)經(jīng)過幾秒，P，Q兩點的距離為？(2)經(jīng)過幾秒，的面積為？【答案】(1)經(jīng)過1秒，P，Q兩點的距離為(2)經(jīng)過秒或秒，的面積為【思路點撥】（1）設經(jīng)過秒，P，Q兩點的距離為，勾股定理列式求解即可；（2）利用，列式計算即可．【規(guī)范解答】（1）解：設經(jīng)過秒，P，Q兩點的距離為，由題意，得：，∵在中，，，∴，由勾股定理，得：，即：，解得：，（舍去）；∴經(jīng)過1秒，P，Q兩點的距離為；（2）解：設經(jīng)過秒，的面積為，此時：，則：，∴，解得：，∴經(jīng)過秒或秒，的面積為．【考點評析】本題考查一元二次方程的應用，勾股定理．熟練掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解題的關鍵．24．(本題8分)（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）如圖，已知等腰三角形，，，點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，同時點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，當點運動到點時，兩點均停止運動，運動時間記為秒，請解決下列問題：(1)若點在邊上，當為何值時，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，當時(2)存在；當或時，的面積為【思路點撥】（1）先根據(jù)已知條件求出的長度，再設經(jīng)過秒，是直角三角形，此時，，當，，解方程即可；（2）設經(jīng)過秒，的面積為，連接，作于，分類討論點在邊上和點在邊上，，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：過點作，如圖所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，設經(jīng)過秒，是直角三角形，則，，當時，如圖所示：∴，∴，解得：，若點在邊上，當時（2）存在，理由如下：當點在邊上，連接，過點作于，如圖所示：設經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍），當點在邊上，連接，，作于，如圖所示：設經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴當或時，的面積為．【考點評析】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的應用和三角形與動點問題的綜合，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關鍵．25．(本題8分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿射線向點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)，運動的時間為秒．當點運動到點時，兩點停止運動．(1)當點在線段上運動時，、兩點之間的距離為______．（用含的代數(shù)式表示）(2)在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得的面積是面積的．若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)當時，的面積是面積的．【思路點撥】（1）利用勾股定理求出，然后根據(jù)即可得出答案；（2）分兩種情況：①當點在線段上，即時，②當點在線段的延長線上，即時，分別根據(jù)的面積是面積的列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵在中，，，，∴，∵點P從點A開始沿射線向點以的速度移動，∴，∴當點在線段上運動時，、兩點之間的距離為，故答案為：；（2）解：，①當點在線段上，即時，∵，，∴，整理得：，∵，∴該一元二次方程無實數(shù)根，∴此情況不存在；②當點在線段的延長線上，即時，∵，，∴，整理得：，解得：或（舍去），綜上所述，存在，當時，的面積是面積的．【考點評析】本題考查了勾股定理，列代數(shù)式，一元二次方程的應用，解答時利用三角形的面積公式建立一元二次方程是關鍵．26．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，矩形，cm，cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發(fā)沿折線A－B－C向點C運動，同時點Q以lcm/s的速度從頂點C出發(fā)向點D運動，當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動．(1)問兩動點運動幾