專題26相似三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題(原卷版+解析)

專題26相似三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，，于點(diǎn)D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）個(gè)①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)2．在中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，以為一邊構(gòu)造，，，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①圖中和相等的角有2個(gè)（不含）；②若不添加線段，圖中共有5對相似三角形；③；④．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若PAE與PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的數(shù)量為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．57．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB=8，AE=3，BC=4，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有____個(gè)．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝7，點(diǎn)P是線段BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有______個(gè)．10．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB=8，AE=3，BC=4，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有________個(gè)．11．如圖，△ABC的兩條高AD、BE交于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有___對．三、解答題12．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，連接PQ，DQ，過點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E．（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；（2）若AB＝4，以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長．13．由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似；由教科書中實(shí)踐操作可得基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實(shí)，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點(diǎn)、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：________________的兩個(gè)三角形相似．14．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊DA延長線上一點(diǎn)，連結(jié)EC交AD于P．(1)寫出圖中的三對相似三角形（不添加輔助線）；(2)請?jiān)谀闼鶎懙南嗨迫切沃羞x一對，說明相似的理由．15．某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如圖Ⅰ，進(jìn)行了如下操作．第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點(diǎn)E、F，如圖Ⅱ；第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點(diǎn)G；(1)填空：寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為；AD與BC的位置關(guān)系為；(2)當(dāng)AB=AC=6，BC=2時(shí)，連接DG，求出的值；(3)如圖Ⅲ，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC當(dāng)∠CPM=∠B時(shí)，求AM的長．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動(dòng)點(diǎn)，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點(diǎn)E，（1）不添加其它字母，寫出圖中所有的相似三角形，并選擇一對進(jìn)行證明；（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求出線段AE長度的取值范圍；（3）當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD的長為．17．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向右D運(yùn)動(dòng)，問當(dāng)點(diǎn)P離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形？18．如圖①，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠A＝∠EDF，射線DE與邊AC交于點(diǎn)M，射線DE與邊BC交于點(diǎn)N，連接MN．（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結(jié)論；（2）如圖②，在上述條件下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值．19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點(diǎn)F．1）找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AE的長；（3）求動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線長．20．問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．21．習(xí)過相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，若點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，當(dāng)，時(shí)，求EN的最小值．小明在分析這道題時(shí)，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進(jìn)行探究，以下是他的探究過程，請仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù)．原題中動(dòng)點(diǎn)較多，小明準(zhǔn)備先從動(dòng)點(diǎn)的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，探究EN是否存在最小值；過程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)時(shí)有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，EN，求證：．任務(wù)：(1)小明在分析一中判斷EN的最小值時(shí)運(yùn)用了______原理；（填序號）①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間的距離；④點(diǎn)到圓的距離．(2)請完成分析二的證明；(3)請直接寫出問題情境中EN的最小值．22．如圖，在邊長為6的等邊中，D是邊上一點(diǎn)，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，交邊于F．（1）找出圖中一對相似三角形，并說明理由；（2）在點(diǎn)E從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中：①求長的最小值；②線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為________；線段的中點(diǎn)到的最大距離為________．23．定義：先將△ABC以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，接著將所得三角形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后，得到△ADE，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．理解：（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．若α＝20°，∠D＝100°，∠C＝30°，則∠BAE的度數(shù)為；（2）如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD是高，點(diǎn)E為DC上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AE為斜邊在右側(cè)作Rt△AEF，使∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，連接DF，求證：△ABE與△ADF互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”；運(yùn)用：（3）如圖3，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”，連接BD、CE，若∠ABC+∠ADC=90°，AB＝2AC，DE=3，CD=4，求BD的長24．“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個(gè)基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．25．如圖，已知△ABC是邊長為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠APQ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點(diǎn)N，Q．（1）求證：△ABP∽△PCN；（2）不管點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對相似三角形外，請寫出圖中其它的所有相似三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P從BD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N都隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)．在此過程中，試探究：能否求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長？若能，請求出這個(gè)長度；若不能，請說明理由．26．如圖，在中，，，．在它的內(nèi)部作一個(gè)矩形，使得在邊上，、分別在邊、上．設(shè)，矩形的面積為．(1)寫出圖中的一對相似三角形；(2)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)若、是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，判斷線段與（2）中函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，并求出對應(yīng)的取值范圍．27．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．作，與邊相交于點(diǎn)．找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長；求動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線長．專題26相似三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，，于點(diǎn)D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）個(gè)①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】①根據(jù)相似三角形判定判斷；②利用面積法證明即可；③利用相似三角形的性質(zhì)求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴，∵，∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①錯(cuò)誤，∵S△ACB=AC?BC=AB?CD，∴BC?AC=AB?CD，故②正確，∵△CBD∽△ABC，∴，∴，∴BD=2或-10（舍棄），在Rt△CDB中，CD=，故③正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．在中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，以為一邊構(gòu)造，，，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①圖中和相等的角有2個(gè)（不含）；②若不添加線段，圖中共有5對相似三角形；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行證明即可得出答案．【詳解】在中，，，在，，，，，，即，，在和中，，，，故圖中和相等的角有2個(gè)（不含），①正確；，，，，故若不添加線段，圖中共有5對相似三角形，②正確；，即，故③正確；連接CD，，，，，，，，故④正確；綜上，說法正確的由①②③④；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°，設(shè)AP的長為x，則BP長為7﹣x；若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△APD∽△BPC，則AP：BP＝AD：BC，即x：（7﹣x）＝3：4，解得：x＝3②若△APD∽△BCP，則AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（7﹣x），解得：x＝4或3．∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】試題分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，設(shè)AP的長為x，則BP長為8﹣x．若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△APD∽△BPC，則AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，則AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定；直角梯形．5．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若PAE與PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的數(shù)量為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】設(shè)，則，分和兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得或6，∴或2或6，∴滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．6．如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)AP=x，則BP=8-x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AP=x，則BP=8-x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)，，即，解得，x=，當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)，，即，解得，x=2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．7．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)，，即，解得，，當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)，，即，解得，x＝2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．二、填空題8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB=8，AE=3，BC=4，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有____個(gè)．【答案】3【分析】設(shè)AP=x，則BP=8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AP=x，則BP=8﹣x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)，，即，解得，x=，當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)，，即，解得，x=2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝7，點(diǎn)P是線段BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有______個(gè)．【答案】3【分析】設(shè)AP=x，則BP=，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；分別得出x的方程，解方程得出AP的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠PAD+∠ABC＝180°，∴∠PAD＝90°，設(shè)AP＝x，則BP＝7﹣x，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，即，解得：x＝；②當(dāng)時(shí)，即，解得：x＝3，或x＝4，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、解方程；熟練掌握相似三角形的判定定理，通過分類討論得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB=8，AE=3，BC=4，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有________個(gè)．【答案】3【分析】設(shè)AP的長為x，則BP長為8-x，分△APE∽△BPC與△APE∽△BCP兩種情況討論即可得解．【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵ADBC，∴∠A=180°-∠B=90°，∴∠PAE=∠PBC=90°．AB=8，AE=3，BC=4，設(shè)AP的長為x，則BP長為8-x．若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAE與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△APE∽△BPC，則AP：BP=AE：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；②若△APE∽△BCP，則AP：BC=AE：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故答案是：3．【點(diǎn)睛】由于∠PAE=∠PBC=90°，故要使△PAE與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APE∽△BPC，②△APE∽△BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．11．如圖，△ABC的兩條高AD、BE交于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有___對．【答案】6【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；∵，，∴；∴；∵，，∴；∴；∵，∴；綜上所述：有6對相似三角形．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形．三、解答題12．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，連接PQ，DQ，過點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E．（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；（2）若AB＝4，以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長．【答案】（1）△DPE∽△QDA，證明見解析；（2）DP=2或5【分析】（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可證明△ADQ∽△EPD；（2）若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2?x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，則DP可求出；同理當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，可得，可求出a的值，則DP可求．【詳解】（1）△ADQ∽△EPD，證明如下：∵PE⊥DQ，∴∠DEP＝∠A＝90，∵∠ADC＝90，∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，∴∠ADQ＝∠DPE，∴△ADQ∽△EPD；（2）∵AB＝4，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，∴AQ＝BQ＝2，∴DQ＝，∵∠PEQ＝∠A＝90，∴若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，①當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，，設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2?x，由（1）知△ADQ∽△EPD，∴，∴，∴x＝∴DP＝＝5；②當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，同理可得，∴a＝，DP＝．綜合以上可得DP長為2或5，使得以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似；由教科書中實(shí)踐操作可得基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實(shí)，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點(diǎn)、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：________________的兩個(gè)三角形相似．【答案】(1)①相似；證明見解析；②相似(2)①相似；證明見解析；②兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等【分析】（1）①過點(diǎn)D作DF∥AC，利用三角形相似的定義證明即可；②由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似；（2）①根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；②由①中可知兩邊成比例且夾角相等，可以判定三角形相似進(jìn)而可得答案．(1)①相似．證明如下：如圖，過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)F易得：四邊形DECF是平行四邊形，即DE=FC由已知得，，∵DE∥BC∴又∵DF∥AC∴∴∴由相似三角形定義得：∽．②

解：由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似故答案為：相似．(2)①相似．證明如下：如圖，在AB上取一點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)E∵，，∴∽∴，，，∵，，∴∴在和中，∴≌（SAS）又∵∽∴∽．②解：由題意知，兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似故答案為：兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的定義及事實(shí)的應(yīng)用，全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)．理解題意綜合運(yùn)用知識是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊DA延長線上一點(diǎn)，連結(jié)EC交AD于P．(1)寫出圖中的三對相似三角形（不添加輔助線）；(2)請?jiān)谀闼鶎懙南嗨迫切沃羞x一對，說明相似的理由．【答案】(1)△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC(2)△EAP∽△CBP，理由見解析（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定，可得到△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC；（2）根據(jù)平行線定理可求得，進(jìn)而可以求證△EAP∽△CBP即可解題．（1）△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．（2）選△EAP∽△CBP，理由如下：在?ABCD中AD//BC，∴∠EAP＝∠B．又∵∠APE＝∠BPC，∴△EAP∽△CBP．同理，利用“兩角法”證得△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明，平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．15．某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如圖Ⅰ，進(jìn)行了如下操作．第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點(diǎn)E、F，如圖Ⅱ；第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點(diǎn)G；(1)填空：寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為；AD與BC的位置關(guān)系為；(2)當(dāng)AB=AC=6，BC=2時(shí)，連接DG，求出的值；(3)如圖Ⅲ，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC當(dāng)∠CPM=∠B時(shí)，求AM的長．【答案】(1)，(2)3(3)9【分析】（1）根據(jù)題目的尺規(guī)作圖可得平分，由此即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；（3）以為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，設(shè)，則，，由（2）可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的值，由此即可得出答案．（1）解：由尺規(guī)作圖步驟可知，平分，∴；∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：，．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖，以為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，由（2）可得,，設(shè)，則，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，又，∴，∴，∴，即，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動(dòng)點(diǎn)，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點(diǎn)E，（1）不添加其它字母，寫出圖中所有的相似三角形，并選擇一對進(jìn)行證明；（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求出線段AE長度的取值范圍；（3）當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD的長為．【答案】（1）△BAD∽△CDE，△ADE∽△ACD，證明見解析；（2）；（3）4或【分析】（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，再由∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，可得∠BAD=∠CDE，即可證明△BAD∽△CDE；由∠B=∠ADE=∠C，可推出∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，即可證明△ADE∽△ACD；（2）由△BAD∽△CDE，可得，再由BD＝x，CE＝y(tǒng)，BC=8，得到，即，則，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分當(dāng)∠DEC=90°，當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，∴△BAD∽△CDE；∵∠B=∠ADE=∠C，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，∴△ADE∽△ACD；（2）∵△BAD∽△CDE，∴，∴，∵BD＝x，CE＝y(tǒng)，BC=8，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，AE有最小值，最小值為，∴；（3）如圖所示，當(dāng)∠DEC=90°，∵△BAD∽△CDE，∴∠BDA=∠CED=90°，即AD⊥BC，又∵AB=AC，∴；如圖示，當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∴∠AHC=∠EDC=90°，，∴，∵∠ADE=∠C=∠B，∠C+∠CAH=90°，∠ADE+∠ADH=90°，∴∠ADH=∠CAH，∴△AHC∽△DHA，∴，∴，∴，∴綜上所述，當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD的長為4或，故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定條件．17．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向右D運(yùn)動(dòng)，問當(dāng)點(diǎn)P離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形？【答案】6或4或【分析】求出∠B=∠D=90°，根據(jù)相似三角形的判定得出當(dāng)或時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形，代入求出即可．【詳解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴當(dāng)時(shí)，△PAB△CPD，或時(shí)，△PAB△PCD，∵AB=3，CD=8，BD=10，∴或，∴BP=6或4或，即PB=6或4或時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意有兩種情況，用的知識點(diǎn)是：當(dāng)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．18．如圖①，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠A＝∠EDF，射線DE與邊AC交于點(diǎn)M，射線DE與邊BC交于點(diǎn)N，連接MN．（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結(jié)論；（2）如圖②，在上述條件下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值．【答案】（1）△ADM∽△BND，理由見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）作DG⊥MN，DH⊥AM，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）△ADM∽△BND，理由如下：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN，∵∠A=∠EDF，∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND；（2）證明：作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，如圖②，由（1）得，△ADM∽△BND，∴，∵AD=BD，∴=，又∠A=∠EDF，∴△ADM∽△DNM，∴∠AMD=∠NMD，又DG⊥MN，DH⊥AM，∴DG=DH，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴DH為定值，即DG為定值，∴在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點(diǎn)F．1）找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AE的長；（3）求動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線長．【答案】（1）△ADE∽△BEF；理由見解析；（2）或3或3．（3）cm.【詳解】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性質(zhì)和已知條件證出∠ADE=∠BEF，即可得出結(jié)論；（2）分三種情況：①若EF=BF，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE=DE=即可；②若EF=BE，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE即可；③若BF=BE，則∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出y是x的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．試題解析：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，∴∠A=∠B=45°，∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF；（2）分三種情況①如圖1，若EF=BF，則∠B=∠BEF，又∵△ADE∽△BEF，∴∠A=∠ADE=45°，∴∠AED=90°，∴AE=DE=；②如圖2，若EF=BE，則∠B=∠EFB又∵△ADE∽△BEF，∴∠A=∠AED=45°，∴∠ADE=90°，∴AE=3；③如圖3，若BF=BE，則∠FEB=∠EFB又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD=3．綜上所述，當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，AE的長為或3或3．（3）設(shè)AE=xcm，BF長為ycm．∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．∴∠A=∠B=45°，AB=4，由（1）得：△ADE∽△BEF，∴，∴，∴y=-x2+x，∴y=-x2+x=-（x-2）2+，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值=，∵從運(yùn)動(dòng)的過程中可以得出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程正好是2BF，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為2×=（cm）．考點(diǎn)：相似形綜合題．20．問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．【答案】(1)詳見解析(2)①DE=；②【分析】（1）利用AB∥CE，可證得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．(1)解：∵AB∥CE，∴∠BAD=∠DEC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠DEC，∴AC=EC，∵∠BDA=∠CDE，∴，∴，即，∴；(2)①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，由（1）得，，∵AC＝1，AB＝2，∴，∴，解得：CD=，∴DE=CD=；②由折疊可知∠AED＝∠C=，∴，由①可知，∴，∴，即：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．習(xí)過相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，若點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，當(dāng)，時(shí)，求EN的最小值．小明在分析這道題時(shí)，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進(jìn)行探究，以下是他的探究過程，請仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù)．原題中動(dòng)點(diǎn)較多，小明準(zhǔn)備先從動(dòng)點(diǎn)的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，探究EN是否存在最小值；過程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)時(shí)有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，EN，求證：．任務(wù)：(1)小明在分析一中判斷EN的最小值時(shí)運(yùn)用了______原理；（填序號）①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間的距離；④點(diǎn)到圓的距離．(2)請完成分析二的證明；(3)請直接寫出問題情境中EN的最小值．【答案】(1)②(2)見解析(3)【分析】（1）由分析一的證明過程即可求解；（2）連接AE，證明∽，得到，再得到，證明∽，得到，證明，再利用三線合一即可證明；（3）當(dāng)時(shí)EN的長最短，由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，一直等于90°，故點(diǎn)E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)，此時(shí)即為所求EN的最小值，根據(jù)解直角三角形的方法求出的長，故可求解．（1）由分析一知當(dāng)時(shí)有最小值，即垂線段最短，故填②；（2）接AE，∵CD垂直平分AB，，∴．∵，，∴，∴∽，∴，∵D，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴BD=AB，DM=CD∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，∵N是AC的中點(diǎn)，∴．（3）求EN的最小值，即為時(shí)EN的長．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，一直等于90°，∴點(diǎn)E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示．過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)，此時(shí)即為所求EN的最小值．∵，，CD垂直平分AB，∴，，∴，∴，∴，∴，∴EN的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、解直角三角形的方法．22．如圖，在邊長為6的等邊中，D是邊上一點(diǎn)，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，交邊于F．（1）找出圖中一對相似三角形，并說明理由；（2）在點(diǎn)E從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中：①求長的最小值；②線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為________；線段的中點(diǎn)到的最大距離為________．【答案】（1），理由見解析；（2）①；②，【分析】（1）結(jié)論：△ADE～△BEF．兩個(gè)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．（2）①設(shè)的中點(diǎn)為G，作于H，于K，由于D是定點(diǎn)，所以是定值，故是定值，可知它們的增減性，即可求解；②設(shè)的中點(diǎn)為M，作交于N，于P；得出CN、NP、CF之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：（1）∵為等邊三角形，∴

∵，∴，∴，∴（2）①∵，∴設(shè)，則，∴長的最大值為，長的最小值為②如圖，設(shè)的中點(diǎn)為G，作于H，于K則由于D是定點(diǎn)，所以是定值，故是定值∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑是一條平行于的線段當(dāng)點(diǎn)E與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F與C點(diǎn)重合隨后逐漸增大，直至最大，之后逐漸減小當(dāng)點(diǎn)E與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F與C點(diǎn)重合∴線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長即為長的最大值，為如圖，設(shè)的中點(diǎn)為M，作交于N，于P則，∴線段的中點(diǎn)到的最大距離即為N點(diǎn)到的最大距離最大距離為：故答案為：，【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．23．定義：先將△ABC以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，接著將所得三角形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后，得到△ADE，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．理解：（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．若α＝20°，∠D＝100°，∠C＝30°，則∠BAE的度數(shù)為；（2）如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD是高，點(diǎn)E為DC上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AE為斜邊在右側(cè)作Rt△AEF，使∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，連接DF，求證：△ABE與△ADF互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”；運(yùn)用：（3）如圖3，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”，連接BD、CE，若∠ABC+∠ADC=90°，AB＝2AC，DE=3，CD=4，求BD的長【答案】（1）；（2）見解析；（3）BD=10【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)相似三角形”的定義得，再根據(jù)對應(yīng)角相等即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得，可以證明，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”得∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，，證明△ABD∽△ACE，利用勾股定理求出CE的長，再利用相似比即可求出BD的長．【詳解】解：（1）∵△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”，∴，∴，∵，∴，∴，故答案是：；（2）∵，AD是高，∴AD平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，且它們有共同的頂點(diǎn)A，∴△ABE與△ADF互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”；（3）∵△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”，∴△ABC∽△ADE，∴∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，，∴，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ADE+∠ADC=90°，∵DE=3，CD=4，∴CE=5，∴BD=2CE=10．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形．24．“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個(gè)基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；（2）①；②成立，理由見解析；（3）CE＝2或CE＝【分析】（1）先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．（2）方法和（1）一樣，先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．（3）由（2）的結(jié)論得出△ADE∽△CDF，判斷出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三種情形分別求解即可．【詳解】（1）當(dāng)m＝n時(shí)，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案為1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案為．②成立．如圖，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍去）而AC＝＜CE，∴此種情況不存在，②當(dāng)E在AC延長線上時(shí)，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如圖4﹣1，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長線上時(shí)，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．【點(diǎn)睛】此題屬于相似形綜合題綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.25．如圖，已知△ABC是邊長為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠APQ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點(diǎn)N，Q．（1）求證：△ABP∽△PCN；（2）不管點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對相似三角形外，請寫出圖中其它的所有相似三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P從BD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N都隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)．在此過程中，試探究：能否求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長？若能，請求出這個(gè)長度；若不能，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△