北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章測(cè)試題及答案解析（一）

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章測(cè)試題（一）

（直角三角形的邊角關(guān)系）

一、選擇題

1.在4ABC中，若|sinA-返|+（返-cosB）2=0,ZA,ZB都是銳角，則/

22

C的度數(shù)是（）

A.75°B.90°C.105°D.120°

2.如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直，ZCAB=a,則

拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（）

sinClcosCltanCl

3.如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=ll,則小

13

4.如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處

安置測(cè)傾器測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45。，向前走20米到達(dá)/V處，測(cè)得

點(diǎn)D的仰角為67.5。，已知測(cè)傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為

（結(jié)果精確到0.1米，血心1.414）（）

A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米

5.如圖，小王在長江邊某瞭望臺(tái)D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40。，若

DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡長

BC=10米，則此時(shí)AB的長約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin40°^0.64,cos40°^

0.77,tan40°^0.84）.

A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米

6.計(jì)算：cos245°+sin245°=（）

A.iB.1C.工D.返

242

7.在RtAABC中，各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值

（）

A.都擴(kuò)大兩倍B.都縮小兩倍C.不變D.都擴(kuò)大四倍

8.如圖，在RtAABC中，ZC=RtZ,a、b、c分別是NA,ZB,ZC的對(duì)邊，

下列結(jié)論正確的是（）

B

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

9.如圖，在4ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE1BC于

點(diǎn)E,連接BD,貝I」tanNDBC的值為（）

10.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則N

二、填空題

11.若尸（m-l）xM+2kl+2mx-l是二次函數(shù)，則m的值是.

12.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=2,BC=V3?則sin區(qū)__.

2

13.如圖，BC是一條河的直線河岸，點(diǎn)A是河岸BC對(duì)岸上的一點(diǎn)，ABLBC于

B,站在河岸C的C處測(cè)得NBCA=50。，BC=10m,則橋長AB二m（用計(jì)算

14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為1,則它的底角等于.

15.如圖，已知RtZXABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=-l,MAC二

A

17.如圖1是小志同學(xué)書桌二的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的

幾何圖形，已知BC=BD=15cir,ZCBD=40°,則點(diǎn)B到CD的距離為cm

（參考數(shù)據(jù)sin20°^0.342,cos200^0.940,sin400^0.643,cos400^0.766,結(jié)

果精確到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器）.

圖1圖2

18.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,則

AB=

三、解答題

19.計(jì)算：tan2600-2sin30°-V2cos45°.

20.16（2017?寶應(yīng)縣一模）計(jì)算：而（1）1-4cos450-兀）°.

2

21.如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31。，AB的長為12米，求

大廳的距離AC的長.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin3r=0.515,

cos31o=0.857,tan31°=0.60）

22.如圖，為了測(cè)量某建筑物CD的高度，先在地面上用測(cè)角儀自A處測(cè)得建

筑物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m,此時(shí)自B處

測(cè)得建筑物頂部的仰角是45。.已知測(cè)角儀的高度是1.5m,請(qǐng)你計(jì)算出該建筑

物的高度.（取后1.732,結(jié)果精確到1m）

23.已知：如圖，在山腳的A處測(cè)得山頂D的仰角為45°,沿著坡度為30。的斜

角前進(jìn)400米處到B處(即NBAC=30。，AB=400米)，測(cè)得D的仰角為60。，求

山的高度CD.

D

24.一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正弦值

為06現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，

達(dá)到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

圖1圖2

25.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作

AE±CD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

(2)如果CD:或，求BE的值.

D

H

26.如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障

船c的求救信號(hào).已知A、B兩船相距100（V^3）海里，船C在船A的北偏

東60。方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D,測(cè)得船C正好

在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75。方向上.

⑴分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保

留根號(hào)）.

⑵已知距觀測(cè)點(diǎn)D處200海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船

C,在去營救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1.73）

N

參考答案與試題解析

1.在4ABC中，若|sinA-返|+（返-cosB）2=0,NA,NB都是銳角，則N

22

C的度數(shù)是（）

A.75°B.90℃.105°D.120°

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值；16：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；1F：非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)：偶次方.

【專題】選擇題

【分析】本題可根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)〃兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0,這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值

都為0.〃分別求出NA、ZB的值.然后用三角形內(nèi)角和定理即可求出NC的

值.

【解答】解：???|sinA-返|二0,（返-cosB），=0,

22

.,.sinA--cosB=0,

22

/.sinA=^^,^H^COSB,

22

/.ZA=45°,ZB=30°,

:.ZC=180°-ZA-ZB=105°.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解

決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握二次根式、絕對(duì)值、

非負(fù)數(shù)等考點(diǎn)的運(yùn)算.

2.如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直，ZCAB=a,則

拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（）

sinCtcosCltanCl

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)同角的余角相等得NCAD=ZBCD,由osZBCD二世知

BC

BC=___—_=_h

cosZBCDcosa

【解答】解：VZCAD+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°,

AZCAD=ZBCD,

在RtABCD中，cosZBCD二型，

BC

BC=CD-hj

CQS/BCDcosa

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=H,則小

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】選擇題

【分析】在RtZXABC中，先求出AB,再利用勾股定理求出BC即可.

【解答】解:如圖AC=13,作CB_LAB,

?*12AB

13AC

AAB=12,

???BCWAC2-AB*132-122=5,

???小車上升的高度是5m.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處

安置測(cè)傾器測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45。，向前走20米到達(dá)/V處，測(cè)得

點(diǎn)D的仰角為67.5°,已知測(cè)傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為

(結(jié)果精確到0.1米，72^1.414)()

A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題.

【專題】選擇題

【分析】過B作BF±CD于F.于是得到AB=A/B,=CF=1.6米,解直角三角形即可

得到結(jié)論.

【解答】解：過B作BF_LCD于F,

AAB=A/B/=CF=1.6米，

在Rt4DFB'中，BT=-----更——，

tan67.5

在Rtz^DFB中，BF=DF,

VBB/=AA=20,

，BF-BZF=DF--------更---=20,

tan67.5

???DF=34.1米，

ACD=DF+CF=35.7米，

答：樓房CD的高度約為35.7米，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,要求學(xué)生借助俯角

構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

5.如圖，小王在長江邊某瞭望臺(tái)D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40。，若

DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡長

BC=1O米，則此時(shí)AB的長約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin40°^0.64,cos40°^

0.77,tan400弋0.84）.

A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；T9：解直角三角形的應(yīng)用

-坡度坡角問題.

【專題】選擇題

【分析】延長DE交AB延長線于點(diǎn)P,作CQJ_AP,可得CE=PQ=2、CQ=PE,由

i=CQ=1二且可設(shè)CQ=4x>BQ=3x,根據(jù)BCV+CQ?=BC?求得x的值，即可知

BQ0.753

DP=11,由AP=—近~:—工—結(jié)合AB=AP-BQ-PQ可得答案.

tanZAtan40

【解答】解：如圖，延長DE交AB延長線于點(diǎn)P,作CCLLAP于點(diǎn)Q,

VCE#AP,

/.DP±AP,

???四邊形CEPQ為矩形，

ACE=PQ=2,CQ=PE,

??i<Q=1一4

?BQ~0.75-T

工設(shè)CQ=4x、BQ=3x,

由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102,

解得：x=2或x=-2（舍），

貝ljCQ=PE=8,BQ=6,

ADP=DE+PE=11,

在RtZXADP中，VAP=_5E_=_

tan/Atan40

AAB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了俯角與坡度的知識(shí).注意構(gòu)造所給坡度和所給銳角所在的

直角三角形是解決問題的難點(diǎn)，利用坡度和三角函數(shù)求值得到相應(yīng)線段的長度

是解決問題的關(guān)鍵.

6.計(jì)算：cos245°+sin245°=（）

A.iB.1C.1D.返

242

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】選擇題

【分析】首先根據(jù)cos450=sin45o=返，分別求出cos245\siM45。的值是多少；

2

然后把它們求和，求出85245。+5而45。的值是多少即可.

【解答】解：???cos45°=sin45°=返，

2

cos2450+sin2450

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此類問題的

關(guān)鍵是要明確：（1）30。、45。、60。角的各種三角函數(shù)值；（2）一個(gè)角正弦的平

方加余弦的平方等于1.

7.在RtAABC中，各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值

（）

A.都擴(kuò)大兩倍B,都縮小兩倍C.不變D.都擴(kuò)大四倍

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴(kuò)大后的三角形與原三角

形相似，再根據(jù)相似三角形充應(yīng)角相等解答.

【解答】解：???各邊的長度都擴(kuò)大兩倍,

J擴(kuò)大后的三角形與RtZ\ABC相似，

，銳角A的各三角函數(shù)值都不變.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有

關(guān)，與三角形中所對(duì)應(yīng)的邊的長度無關(guān)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在RtAABC中，ZC=RtZ,a、b、c分別是NA,ZB,ZC的對(duì)邊,

下列結(jié)論正確的是（）

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB;且

b

【考點(diǎn)】Tl：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：A、在RtZXABC中，ZC=90°,

sinA=—csinA=a,正確;

B、在RtaABC中，ZC=90°,

cosB=—,本項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、在Rt^ABC中，ZC=90°,

tanA=—,btanA=a,本項(xiàng)錯(cuò)誤;

b

D、在RtZ\ABC中，ZC=90°,

tanB=旦，本項(xiàng)錯(cuò)誤，

a

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.解答此題關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用銳

角三角函數(shù)的定義.

9.如圖，在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE_LBC于

點(diǎn)E,連接BD,貝iJtanNDBC的值為（）

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【專題】選擇題

【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=V2AC,DE=EC二返DC,然

2

后通過解直角4DBE來求tanZDBC的值.

【解答】解：???在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

.".ZABC=ZC=45°,BC=V2AC.

又..?點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，

AAD=DC=1AC.

2

???DE_LBC于點(diǎn)E,

AZCDE=ZC=45O,

，DE=EC=返DC=返A(chǔ)C.

24

V2

-pAACC

tanZDBC=-55^----------『—=—.

BEV^AC^AC3

故選A.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì).通過解直

角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值.

10.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則N

ABC的正切值是（)

.逅D.-L

52

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答

案.

【解答】解：如圖:

由勾股定理，得

AC=?,AB=2V2?BC=V10，

/.△ABC為直角三角形，

AtanZB=-^=X

AB2

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函

數(shù).

11.若y=(mT)xm2+2nH+2mx-l是二次函數(shù)，則m的值是-3.

【考點(diǎn)】H1：二次函數(shù)的定義.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出有關(guān)m的方程，然后求解即可.

【解答】解：由二次函數(shù)的定義可知：m2+2m-1=2,

解得：m=-3或1,

又m-1#0,mWl,

m=-3.

故答案為：?3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，注意掌握二次

函數(shù)的定義.

12.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=2,BC=?,貝Usind-1.

2-2一

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)NA的正弦求出NA=60。，再根據(jù)30。的正弦值求解即可.

【解答】解：,?加儲(chǔ)=也返，

AB2

/.ZA=60°,

/.sin-sin30°=—.

22

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30。、45。、60。角的三角函數(shù)值

是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，BC是一條河的直線河岸，點(diǎn)A是河岸BC對(duì)岸上的一點(diǎn)，ABLBC于

B,站在河岸C的C處測(cè)得/BCA=50。，BC=10m,則橋長AB=11.9m(用計(jì)

算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1米)

A

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】填空題

【分析】在RtAABC中，tanNBCA二膽，由此可以求出AB之長.

BC

【解答】解：在4ABC中，

VBC±BA,???tanNBCA=膽.

BC

XVBC=10m,ZBCA=50°,

AB=BC?tan50°=10Xtan50°^11.9m.

故答案為11.9.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正切的概念和運(yùn)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，

把它抽象到直角三角形中來.

14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為1,則它的底角等于15°或75°..

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【專題】填空題

【分析】此題分兩種情況，當(dāng)頂角為銳角時(shí)，利用勾股定理，AD的長，然后即

可得出NABD=60。，可得頂角度數(shù).同理即可求出頂角為鈍角時(shí)，底角的度數(shù).

【解答】解；如圖1,Z\ABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為銳角，

VAD2=AB2-BD2,

AAD2=4-1=3,

AAD=V3?

AZABD=60°,

???頂角為30。,底角為75。;

如圖2,Z^ABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為鈍角

同理可得，底角為15。.

故答案為:15°或75°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵

是利用分類討論的思想進(jìn)行分析，對(duì)頂角為銳角和頂角為鈍角時(shí)分別進(jìn)行分

析.

15.如圖，已知RtAABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=A,則AC=5

5

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題.根據(jù)角的正弦值與三角

形邊的關(guān)系，可求出AC.

【解答】解：???在RtZ\ABC中，cosB;且，

5

...sinB二tanB=sinB=-^-.

5cosB4

???在RtAABD中AD=4,

5

在RtAABC中,

VtanB=-^.,

AB

???AC=WX延5.

43

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間

的關(guān)系.

16.如圖，^ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA二縣.

__5__

【考點(diǎn)】Tlr銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】填空題

【分析】在直角4ABD中利用勾股定理求得AD的長，然后利用正弦的定義求

解.

【解答】解：在直角4ABD中,BD=1,AB=2,

貝UAD=7AB2+BD2=722+1

則sinA二BD=.

AD遍5

故答案是：逅.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦

為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

17.如圖1是小志同學(xué)書桌二的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的

幾何圖形，已知BC=BD=15cm,ZCBD=40°,則點(diǎn)B到CD的距離為14.1cm

（參考數(shù)據(jù)sin200^0.342,cos20°^0.940,sin400^0.643,cos40°^0.766,結(jié)

果精確到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器）.

圖1圖2

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】填空題

【分析】作BE1CD于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和NCBD=40。，求出NCBE的

度數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出BE的長.

【解答】解：如圖2,作BE_LCD于E,

VBC=BD,ZCBD=40°,

AZCBE=20°,

在RtACBE中，cosZCBE=^,

BC

/.BE=BC*cosZCBE

=15X0.940

=14.1cm.

故答案為：14.1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題

的關(guān)鍵，作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).

18.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60",ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,貝ljAB=

A

D

Ba

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形.

【專題】填空題

【分析】過點(diǎn)D作DEJ_AB于點(diǎn)E,CFJ_DE于F,可得四邊形BCFE為矩形，根

據(jù)NA=60°,可得出NADE=30°,根據(jù)ND=90°,可求得NCDE=60°,ZDCF=30°,

在4CDF中，根據(jù)CD=9,分別求出CF,DF的長度，然后在AADE中，求出AE

的長度，繼而可求出AB的長度.

【解答】解：過點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,CF_LDE于F,

則有四邊形BCFE為矩形，BC=EF,BE=CF,

VZA=60°,

/.ZADE=30%

VZD=90°,

.?.ZCDE=60°,ZDCF=30°,

在aCDF中，

VCD=9,

.\CF=A￡D=-i,CF=亞

2222

VEF=BC=6,

，DE=EF+DF=6+2^21,

22

則AE二辱曳

V32

?.AB=AE+BE=

22

故答案為：8^3-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，注意

掌握在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，難度一般.

19.計(jì)算：taM60°-2sin30°-缶0$45°.

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解答題

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【解答】解：原式=（V3）2-2乂!-血乂返

22

=3-1-1

=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角

的三角函數(shù)值.

20.計(jì)算：質(zhì)（1）1-4cos45°-（畬-兀）0.

2

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值；6E：零指數(shù)累；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)累.

【專題】解答題

【分析】先根據(jù)二次根式的化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)募、特殊角的三角函數(shù)值及0指

數(shù)幕把原式化簡，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=2揚(yáng)2-4X返-1,

2

=2寸%2-2V2-1，

=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解

決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)鼎、零指

數(shù)基及二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算.

21.如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31°,AB的長為12米，求

大廳的距離AC的長.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin31°=0.515,

cos310=0.857,tan31°=0.60)

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】利用余弦函數(shù)的定義即可求出AC的長.

【解答】解：過B作地平面的垂線段BC,垂足為C.

在RtAABC中，：ZACB=90°.

AC=AB?cosZBAC=12X0.857^10.3（米）.

即大廳的距離AC的長約為10.3米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，把坡面與水平面的

夾角a叫做坡角.在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，

坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直

角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題.

22.如圖，為了測(cè)量某建筑物CD的高度，先在地面上用測(cè)角儀自A處測(cè)得建

筑物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m,此時(shí)自B處

測(cè)得建筑物頂部的仰角是45、已知測(cè)角儀的高度是1.5m,請(qǐng)你計(jì)算出該建筑

物的高度.（取仔1.732,結(jié)果精確到1m）

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】根據(jù)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=（x+100）m,再利用解直角

得出x的值，即可得出CD的長.

【解答】解：設(shè)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=（x+100）m.

在RtZ\AEC中，tan/CAE=%，

AE

即tan30°=——,

x+100

?x

??x+100=3'

3x=V3（x+100）,

解得x=50+50仔136.6,

.*.CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1^138（m）.

答：該建筑物的高度約為138m.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)tan/CAE：生得出x的值

AE

是解決問題的關(guān)鍵.

23.已知：如圖，在山腳的A處測(cè)得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為30。的斜

角前進(jìn)400米處到B處（即NBAC=30。，AB=400米），測(cè)得D的仰角為60。，求

山的高度CD.

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】在RtZ\AFB中，根據(jù)AB=400米，ZBAF=30°,求出BF、AF的長度，然

后證明四邊形BFCE是矩形，設(shè)BE=x米，在RtABDE中，用x表示出DE的長

度，然后根據(jù)AC二DC,代入求出X的值，繼而可求得山高.

【解答】解：過B作BF1AC于F,

在RtAAFB中,

??,AB=400米，ZBAF=30°,

???BF&B」X400=200（米），

22

AF=AB*cos300=200V3（米），

VBF±AC,BE±DC,

???四邊形BFCE是矩形，

?'?EC=BF=200米,

設(shè)BE=x米，則FC=x米，

在RtADBE中，

VZDBE=60°,

.*.DE=tan600*BE=V3x（米），

VZDAC=45°,ZC=90°,

/.ZADC=45°,

.?.AC=DC,

VAC=AF+FC=（200V^X）米，

DC=DE+EC=（75（+200）米，

解得：x=200,

ADC=DE+EC=200V^-200（米）.

答：山的高度BC約為（200存200）米.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直

角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形，難度一般.

24.一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正弦值

為0.6,現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，

達(dá)到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

圖1圖2

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】由已知可求EC=40m.在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的

前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD面積二梯形AiBiCiD面積，可

再求出ECi=80(m),即可求出改建后的坡度i=BiE：ECi=20：80=1：4.

【解答】解：由圖可知：BE1DC,BE=30m,sina=0.6,

在RtABEC中，

??BE

?sina=—,

BC

.??BC;BE=30=50g,

sinO.0.6

在RTABEC中EC2=BC2-BE2,BE=30m,

由勾股定理得，EC=40m.

在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度

變小，

則梯形ABCD面積二梯形AiBiCiD面積，

.\lx(20+60)X30=1X20(20+20+ECi)

22

解得EG=80(m),

工改建后的坡度i=BiE：ECi=20：80=1：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問

題.分析梯形ABCD面積二梯形AiBiCiD面積，是解題的關(guān)鍵；還要熟悉坡度公

式.

25.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作

AE±CD,AE分另lj與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

(1)求sinB的值；

⑵如果CD=泥，求BE的值.

CER

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜邊上的中線.

【專題】解答題

【分析】⑴根據(jù)NACB=90。，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD,則NB二

ZBCD,再由AE1CD,可證明NB=NCAH,由AH=2CH,可得出CH：AC=1：

泥，即可得出sinB的值；

(2)根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：后再由AB=2泥，得AC=2,則CE=1,

從而得出BE.

【解答】解：⑴???NACB=90。,