黑龍江省哈爾濱市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)8月模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

兆麟中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期

遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考模擬考——數(shù)學(xué)

總分：150分時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求。

1.設(shè)全集。="€可》410},集合2={3,4,6,8},8={xeU|x=3左—2,左eN},則集合

Qz）n5中的元素個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.已知命題力：eR,a11-Tta>0,貝U（）

A.p：三。任R,a11-7ia>0B.p：VQER,a11-7ia<0

C.p：GR,a11-7ia<0D.p：VaeR,a71-7ia<0

3.設(shè)x、jeR,貝ij“孫〉1”是“一+了2〉1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.2023年7月12日9時(shí)0分，由“中國(guó)藍(lán)箭航天”自主研制的朱雀二號(hào)遙二運(yùn)載火箭的發(fā)射任務(wù)取得圓

滿成功，該火箭由此成為全球首款成功入軌的液氧甲烷火箭，標(biāo)志著我國(guó)運(yùn)載火箭在新型低成本液體推進(jìn)

劑應(yīng)用方面取得重大突破.在火箭研發(fā)的有關(guān)理論中，齊奧爾科夫斯基單級(jí)火箭的最大理想速度公式至關(guān)重

M

要.其公式為v=qlno其中v為單級(jí)火箭的最大理想速度（單位：nrs-）,?為發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度

Mk

（單位：m-s1）,M°,4分別為火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量（單位：kg）,

3稱為火箭的初末質(zhì)量比.要使火箭達(dá)到某個(gè)速度，應(yīng)當(dāng)提升火箭的初末質(zhì)量比以及噴射速度，但由于火

Mk

箭可能的結(jié)構(gòu)（各類(lèi)動(dòng)力、連接裝置等）所制約，初末質(zhì)量比不可能大于10.現(xiàn)有某型號(hào)單級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)

機(jī)能獲得的最大噴射速度約為400sx9.8m§274km那么它能獲得的最大理想速度約為（）

（參考數(shù)據(jù):In2ao數(shù)9,In5dl.61）

A.4.44km-s1B.7.2km-s1C.9.2km-s1D.8.8km-s1

5.設(shè)為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，已知為=3,Vm,〃eN*,Sm+n=SmSn,則（）

A.{a,J是等比數(shù)列B.%=54

C.+&+%+%+。9=3?

a$D.Sn=3n

i7

6.設(shè)2a=3°=￡,若士+=2,貝卜=)

ab

A.2GB.6D.V6

33

+6-4

7.已知a〉l,/(x)=—?jiǎng)t不等式/（2x—l）+/（x—1）+4〉0的解集為（)

ax+l

A.—+C0B.-若D.g+oo

8.已知a=e°m,Z)=ln(1.03e),C=VL06,貝U()

K.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.若a〉6〉0,貝1J（）

b6+1B.3“一，T〉J

A.—<----

aQ+13

171

C.QH--〉Z7H--D.a+b>2y[ab

ab

10.定義在R上的連續(xù)函數(shù)/（x）滿足Vx,JGR,/（盯）=/（%）/&），/（1）=1，貝I（)

A./(0)=0B.當(dāng)x,ye(0,+oo)時(shí)，f~—

y)/")

i

C.若/（—1）=1，則/（X）為偶函數(shù)D.當(dāng)xwO時(shí)，f(x)+f>2

x

1

11.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足。,+1-3a“+4,為3,記數(shù)歹以，的前〃項(xiàng)和為S“，則（)

4一1

3-

A.a“+i〉a〃B-fl2023?5+20232

332023

c.s?<iD.。2023>5+

三、填空題（共3個(gè)小題，每題5分,滿分15分）

12.若數(shù)列a,27,-9,b,-1為等比數(shù)列,則不（b-n了~（3a）5=

1

13.函數(shù)y=28的值域?yàn)?

14.已知Q,b滿足logg(2。-1)=5-2。，2?31+6=9,則6+4。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.函數(shù)N=[xy=lg三>8=刎x?+2日—3左2wo｝,若“xe4”是“xe8”的充分不必要

條件，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

16.已知等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S,,%=1,S7-S4=33.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)判斷---1-----1-----1-----1----與2的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論.

Es?s.sn

17.已知函數(shù)f(x)=X3-X2-6ZX+1,Q￡R.

(1)若m%>0,f(x)<0,求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(、)+辦一1,//(%)=x2+bx,若斜率為1的直線與曲線y=g(x),y=都

相切，求6的值.

02X4-2

18.已知函數(shù)y=/(x),其中/(》)=———是奇函數(shù).

(1)求a的值；

(2)求解不等式/(x)>4；

(3)當(dāng)xc(l,3)時(shí)，/Qc2)+/(x—1)>0恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)定義在區(qū)間(—1,1)內(nèi)，/[—[]=2,且當(dāng)Vx,ye(—1,1)時(shí)，恒有

〃x)+/a)=/1.

(1)證明：/(X)為奇函數(shù)；

2Q“723〃+1

(2)若數(shù)列｛%｝,也｝滿足0<%<1,ai=~>%+i-0----，6=----z--\"I----7--X+…H----7---\'

%+1fM/(%)/(%)

且對(duì)V〃eN*,(―1)"(4+6)X<4,求;I的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.【答案】B【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算求得6。/,求出集合8,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.

解：由題意得。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10卜%/={0,1,2,5,7,9,10},5={1,4,7,10),所以

(6^)05={1,7,10}.

2.【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可.

解：根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以「夕：3aGR,a"-兀"〉O的否定是P：VaeR,

兀"WO.

3.【答案】A【分析】利用重要不等式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

解：由孫〉1,Wx2+j2>2xy>2>1,貝廣9〉1"=>"x?+/〉1"；但當(dāng)/+必〉1時(shí)，取

x=l,y=—,則即“孫〉1”中“/+2〉i”所以“J,是“/+2〉i”

?100?100??

的充分不必要條件.選：A.

4.【答】C解:由題意得qy4000m6一,初末質(zhì)量比最大為10,則該型號(hào)單級(jí)火箭能獲得的最大理想

速度v=40001nl0=4000(ln2+ln5)?4000x(0.69+1.61)=9200m-s].故選：C.

5.【答案】B

【析】根據(jù)題意，令令機(jī)=1,得到S"+i=3S?,得出{S“}為等比數(shù)列，求得工=3",結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判

定，可求解.

解：因?yàn)?=3,且V加，〃eN*,Sm+n=SmSn,令掰=1,可得S〃+i=531=5/1=35,,又因?yàn)?/p>

EwO,所以{S“}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，所以5=3",所以。4=54—5=34-33=54,

所以B正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；由%=S2—S]=6,a3=S3-S2=18,可得蟾7%?%，所以數(shù)列{4}不是等

比數(shù)列，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；

由生+&+“7+“8+。9=S9—S4=3?！?，〉3*,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.

A.6【答案】C

12

【分析】由題，將指數(shù)式2“=3^=/化成對(duì)數(shù)式，求出a,b,代入一+7=2,根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可計(jì)算

ab

得答案.

解：由2"=3'=，，知/〉0,且。=log2Z,b=log3Z,

1212

L廠兩+由T°g"gf8=2'

所以/=18,7=3也.故選：C.

7.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式變形判斷其單調(diào)性，并推出/(x)+4=-/(-X),則可將

/(2x—l)+/(x—1)+4〉0變?yōu)?(2x—l)〉/(l—x),利用函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

33

Iy5_A—A

解：由題意得/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)==爐-^p又a>l,則>為增函數(shù),

3

而>=爐為R上的增函數(shù)，所以/(X)為增函數(shù)，又

-4_4(44優(yōu))

-----------1-----------二一4,

心/f—+"Ea+1ci+1,

所以/(x)+4=-/(—x),即/(2x——l)+4=/(2x—1)—/(I—x)〉0,即

2

f(2x-l)>f(l-x),所以2x—l〉l—x,所以x〉§,即不等式/(2%一1)+/。;一1)+4〉0的解集

故選：D.

8.【答案】B解：由題意a=e°m,Z)=ta(1.03e)=In(1+0.03)+1,c=VL06=Vl+2x0.03,

下面先證明e'2x+l,設(shè)函數(shù)0(x)=e*-x-l,則。當(dāng)x〉0時(shí)，0'(x)〉0,0(x)在

(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<0時(shí)，(p'(x^<0,0(x)在(-叫0)內(nèi)單調(diào)遞減，所以0(0)=0,所以當(dāng)x〉0時(shí),

eT>x+1,

I----------產(chǎn)―1

設(shè)/(x)=x+1-Jl+2x,x>0,t=Vl+2x>1,則、=--—‘所以

f(「)=〃,)=,21+]—="2"〉0(%>1)，所以x+1〉Jl+2x①,

所以>0.03+1〉J1+2x0.03=,

11Jl+2x-(x+1)

即a〉c.再設(shè)g(x)=In(1+x)+1-Jl+2x(x>0),g'(x)=

1+xV1+2x(x+1)V1+2x

又由①知g'(x)<0,所以g(x)在(O,+s)內(nèi)單調(diào)遞減，所以g(x)<g(O)=O,

所以ln(l+x)+l<Jl+2x,所以In(1+0.03)+1<J1+2義0.03,即ln(L03e)<JH記，所以b<c.

綜上，a>c>b.

二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】ABD

【分析】利用作差法即可判斷A,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷B,舉反例即可判斷C,根據(jù)均值不等式即可

判斷D.

bb+1_ab+b-Qib+a)_b-a

解：對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?。?〉0,則b-a<0,<0,所以

aa+1a(a+l)Q(Q+1)

,A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閍〉b〉0,所以a—b〉0,所以a—b—1〉—1,所以

aa+1

3所乒1〉3-1二」，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，令。=2,b=~,則口+4=6+工，C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由均

32ab

值定理即可得到a+6〉2而，D項(xiàng)正確.

10.【答案】BC

【析】舉反例即可判斷A,D；利用賦值法推出/從而可判斷B；利用賦值法結(jié)合偶函數(shù)

定義判斷C.

解：對(duì)于A項(xiàng)，令/(x)=l,則/(x)滿足題中所給條件，但此時(shí)有了(0)=lw0,A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng),

當(dāng)x,ye(0,+oo)時(shí)，取、=工，則/(%)/1

=/(1)=1，所以/所以

xx

(\

X

B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由題意得/(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)中心

y)y)\yJ

對(duì)稱，且/(一1)=1,則y(—x)=/(-l)/(x)=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng),

令/(x)=x,則/(x)滿足題中所給條件，但當(dāng)x<0時(shí)，/(x)+fx+—<-2,故

x

1

/(》)+/22不成立，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.

X

11.【答案】ACD

【分析】選項(xiàng)A,利用數(shù)列單調(diào)性定義，可判斷；選項(xiàng)B,D,

3_,.3(3?1(3丫

-----&2-+4-dH—>|a,

n+12""2("2J4("2J

兩邊取對(duì)數(shù)，|]〉21n]a.—迭代可得，??-|>^，取值放縮可判斷；選項(xiàng)C,

an+l=a；「3an+4=(%—1)(4-2)+2,可得=—------------,利用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果.

'%一14-2a“+「2

解：因?yàn)?=3〉2,由%+]=端—3%+4=1%—4+｝所以當(dāng)4〉2時(shí)，由二次函數(shù)單調(diào)性知

2

所以外,〉2,an+x-an=crn-Aan+4=(an-2)>0,所以a“+i〉a”，A項(xiàng)正

%+1—1'="_3%+4_1'=端_3。"+|"=|。"_|_]'因?yàn)?〉2,所以

2-1

〉〉2lnfa?_2-|-j>--->2"InftZj-1-

3(3V"13(3V022

所以，所以的。23〉：+：，顯然

3(3V°23―9,3、2

22。22〉2】1=2048>2023,所以。2023〉]+].又202323<2023"<2<j=己，所以

2023逅<1)，所以20235,B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；

1111

%+i=-3%+4=@-!)(??-2)+2,

a

n+\~2Q-1)(。"-2)an-24-1

111

a“-1%—2an+l-2

111111111

----------1------------F…-I----------二---------------1--------------------------F…H---------------------------

/-1a?-1Q“-1%—2a2—2?-2-2Q“—2?！?1—2

----------------=1------------<1,C項(xiàng)正確.故選：ACD.

a「2an+i-2an+l-2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

12.【答案】71【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得a,b,根據(jù)根式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算，即可得答案.

解：由題意得272=—9a,a=-81,從而等比數(shù)列公比為——，所以6=3,所以

3

不(b-冗)~—(3a>=J(3—兀)~—[3x(—81)了=兀-3—(^35)=兀_3+3=兀，故答案為：n.

13.【答案】[(),<U(l,+oo)【析】根據(jù)反比例函數(shù)求出指數(shù)的取值范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求

出函數(shù)的值域.

解：設(shè)/=——1,貝lJ/2—1且次(),根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，從而;e(—oo,—l]U(O,+s)，所以

21同U(l,+?).

14.【答案】11【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到logs(2a-1)=10-4a,設(shè)/=log3(2a-l),得

到2?3'+/=8,又由2?31+6=9,得到2?32+6—1=8,結(jié)合/(x)=23+x的單調(diào)性，得到

t=b-1,進(jìn)而求得b+4a的值.

解：由loggia—1)=5—2a,可得2a—1〉0,即a〉；，且

log9(2.-l)=%,)=-『)=5-2a>

可得logs。。-1)=10-4口，設(shè)/=logs(2a—1),則2a=3'+1,原式化為/=10-2(3'+1),即

2?3'+/=8,又由2?32+6=9,可得2?35+6—1=8,令函數(shù)/(x)=2-3*+x,顯然/(x)為增函

Q-A

數(shù)，所以/=b—1,則2a=3'+1=35+1=_——+1,所以b+4a=11.故答案為：11.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

6【答案】(-*-2]U(3,+s]【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，求得幺=*卜2<%<3},利用不等式的解法,

分類(lèi)討論的不等式的解集，解“xeZ”是“xeB”的充分不必要條件，分類(lèi)討論列出不等式組，即可

求解.

解：由^——>0,可得(x+2)(x—3)<0,解得一2<x<3,即Z=(r卜2<x<3},又由

x2+2kx-3k~<0,得(x+3左)(x-左)W0,當(dāng)左〉0時(shí)，xe[-3左,左];當(dāng)左=0時(shí)，x=0；當(dāng)

左<0時(shí)，xeR,-3左].因?yàn)椤皒eN”是“xeB”的充分不必要條件，所以當(dāng)左〉0時(shí)，滿足

一一3k<-2[k<-2

1一，解得左23；當(dāng)左=0時(shí)，不符合題意；當(dāng)左<0時(shí)，滿足一，解得左V—2.綜上可得,

k>3[-3k>3

實(shí)數(shù)人的取值范圍為（7,-2]u（3,+句.

16.【答案】（1）an=2n-l

（2）—+—+—+—<2,證明見(jiàn)解析

Es?S,sn

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為力根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)可求得&的值，由此可求得d的值，

再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）判斷出工+,+工+…+」-<2,求得S,,=〃2,當(dāng)〃=1時(shí)，可得出工=1<2；當(dāng)時(shí)，利

S]S2S3SnS]

用放縮法可得3<一一-可證得結(jié)論成立，綜合可證得結(jié)論成立.

nn—\n

【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列,〃｝的公差為d,由S7—54=牝+。6+。7=3。6=33,可得6=11.

又%=1,所以公差=1；1=2,所以%=%+（〃—l）d=1+2（〃—1）=2〃—1.

【小問(wèn)2詳解】解：」■+」-+工■+…+」-<2.證明如下：由（1）可求得

S]S2S3Sn

S=-^~~立=△-------2=",當(dāng)〃=1時(shí)，—=1<2；當(dāng)〃22時(shí)，

"22E

111

所以

-n2<7[n-\\)n-n-1n

=2--<2.

n

*1111

綜上所述，對(duì)任意的〃wN，--1---1---1---1---<2.

S]S?s.sn

17.【答案】(1)a>\(2)6=3或6=-1.

尸21

【小問(wèn)1詳解】解：由題意三、〉0,/(x)<0,得QX+I<O,即?！?--------在工〉0時(shí)有

X

解.

丫3_2111

設(shè)0(x)=--------,則。'(x)=2x——--1,易知/'(1)=0.令加(%)=2%——f—l，則

2

mr(x)=2+—>0,

所以9'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)xe(O,l)時(shí),夕'(人)<0,0(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),0'(x)>0,

0(X)單調(diào)遞增.所以=0(1)=1，所以O(shè)〉L

⑵解：由題意得g(x)=/—/,所以g〈x)=3/—2x,令g，(x)=l,解得芭=1,x2=,所

以直線與y=g(x)的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),所以切線方程分別為>=X-1和

59

y=x+—x-\=x1+bx,得x?+0-l)x+l=0,令A(yù)[=0-1)~-4=0,解得6=3或b=-1.

^x+—=x2+bx,得x?+。-l)x-』=0,令△)=+竺=0,無(wú)解.檢驗(yàn)，直線與

27v7272v727

_^=〃&)的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(—1,—2),(1,0),綜上，6=3或6=-1.

18.【答案】(1)a=2(2)^0,log23](3)/=1—oo,—a]u(0,+°0)

解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?—叫0)U(0,+8),因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(X)，

，/、a-2-x+2a+2-2x,a+2-2xa-2x+2.、

f(-x)=--------=---------,則n---------=---------,則na=2；

、72-x-l1-2，1-2工1-2X

⑵/(%)=———>4,即七一>2,整理得1<2工43,則0<xVlog23,所以xe(OJog??].

2'—12'—1

7-L94

(3)十/-2+與一,所以/(x)在(—oo,0)和(0,+8)上是嚴(yán)格減函數(shù)，且當(dāng)

2—12—1

%￡(-00,0)時(shí)，f(x)<2;當(dāng)X￡(0,+8)時(shí)，f(x)>2;由/(笈2)+/(%一1)〉0可得：

當(dāng)xe(l,3)時(shí)，1—x<0,當(dāng)/<0時(shí)，tx2<0,所以//〈I—%,即/<J—J_=__1,又

xxIx2J4

xG(1,3)，所以，<一；；當(dāng)/〉0時(shí)，tx2>0,則而工￡。,3),1-x<0,貝！J

/(I—x)<2滿足題意；

函數(shù)的定義域Q={x|XW。},則才=0時(shí)/=0e。不符，舍去.綜上，=1—co,_；1u(0,+8)

19.(1)/(%)為奇函數(shù).(2)(―1,|)

【小問(wèn)1】詳解