2021屆人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1?已知向量4=(x,1),b=(1，—2),且a-LJ,貝1Jla+Z?l=()

A.君B.而C.2^5D.10

【答案】B

【解析】

由題意可得(x,1)-(1,—2)=x—2=0,解得x=2.

則3+苫=(x+1,-1)=(3,-1),可得|々+石|=戊5，故選B.

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，向量的模.

2.等腰直角三角形45c中，AB=AC=2,點O為斜邊5c上的三等分點，且

祝=2而，貝!I研?礪=()

48

A.0B.-C.2D.-

99

【答案】D

【解析】

【分析】

以A為坐標原點，AC,AB為x軸、＞軸，根據(jù)題意寫出各點的坐標，利用向量數(shù)量積

的坐標運算即可求解.

【詳解】

以4為坐標原點，為x軸、y軸建立平面直角坐標系,

由AB=AC=2,且點。為斜邊8C上的三等分點,

（42、

所以C（2,0）、3（0,2）、D\-,~

7

又：AM=2AD>

:.MC.MB=(―耳］x(―§+4>28

—|x—=一

3)39

故選：D

【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標表示，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知直線AB與拋物線y2=4x交于4,3兩點，M為A3的中點，。為拋物線上

一個動點，若C。滿足彳?盤5=min｛左*而｝,則下列一定成立的是（）o

A.C.MYABB.C°M，/，其中/是拋物線過G的切線

C.C0A_LCQBD.COM——AB

【答案】B

【解析】

試題分析：利用平面向量的線性運算，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量模的平方。

C4?CB=(CM-W)*(CM-W)=|a^|2-CM(AM+W)+W*5M

22

=|C^|-|AM|=>min{C4*CB}=|CA7in.nc>CMl/o故選B。

考點：平面向量的線性運算，平面向量的數(shù)量積，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：中檔題，本題綜合性較強，綜合考查平面向量的線性運算，平面向量的數(shù)量積,

直線與拋物線的位置關(guān)系。注意理解冬?用=min{畫?不}的意義。

4.平面向量a=(l,-2),)=(—2,x),若。與方共線，貝廿等于

A.4B.-4C.-1D.2

【答案】A

【解析】

試題分析：由題。二(1,一2),〃=(-2,x),。||坂得：lxx=(-2)x(-2),x=4

考點：向量平行的性質(zhì).

5.已知平面向量￡與石的夾角等于葛，如果同=4,忖=百，那么悔—石卜()

A.455B.9C.回

D.10

【答案】C

【解析】

試題分析：平面向量￡與五的夾角等于K，如果問=4，W=6,

6Z-^=4-V3-cos—=-6,

6

-f[J~-*\2I—*2~f2(—

：.2a-b=個3-可=v4?—4a-b+b=v91,故選：C.

考點：平面向量數(shù)量積的運算.

6.在AABC中，AB=1，AC=3,。是BC的中點，則亞?耳心=()

A.3B.4C.5D.不確定

【答案】B

【解析】

Q。是邊的中點，.?.而=；(而+/),由向量的運算法則可得：

BC=AC-AB>..ADBC=-^(AB+AC)(AC-AB)=-^AC2-Afi2j=

=-^x^32—I2j=4,故選B.

7.已知&=(1,2),5=(九機+3),若則加=()

A.-2B.2C.-7D.7

【答案】A

【解析】

【分析】

由￡_L次可得￡j=lx/n+2x(〃?+3)=0,即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意,向量a=(l,2),b=(加,6+3),

因為￡j_〃，則a?〃=lxm+2xQ%+3)=0,解得m=—2,故選A.

【點睛】

本題主要考查了向量的垂直的坐標運算，其中解答中熟記向量的垂直的條件，準確計算

是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.下列結(jié)論正確的是()

A.a=b^>\a\=\h\B.a-b=a-c=^b=c

C.a/lb>b//c^>a//cD.\a\>\b\=^a>b

【答案】A

【解析】

【分析】

逐一考查所給的說法是否正確即可.

【詳解】

逐一考查所給的說法：

若1=5,則何=|可，選項A說法正確；

若a=6，則由。=不一定能得到5=乙，選項B說法錯誤；

若坂=6,則由1//5,5/分不一定能得到值//機選項c說法錯誤；

兩個向量無法比較大小，故結(jié)論5錯誤，選項。說法錯誤；

故選A.

【點睛】

本題主要考查向量的定義與向量的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計

算求解能力.

9.已知A(2,4),B(4,l),C(9,5)，0(7,8),現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①福J.3C；

②四邊形ABCD為平行四邊形；③衣與麗夾角的余弦值為彳嚕，④

|AB+AC|=V85;則上述正確結(jié)論的序號為()

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)四個點的坐標求出衣，而，麗的坐標，再利用向量的坐標進行運算可知①③錯

誤，②④正確.

【詳解】

麗=(2,-3),*=(7,1),則福.//()，故①錯；

則|通+配|=隔，故④正確；

麗=(2,-3),配=(2,-3),故而=反，且A,B,C,。四點不共線，則四邊形

ABCO為平行四邊形，故②正確;

ACBD14729

衣=(7,1),麗=(3,7),則cos〈優(yōu)麗〉故③錯.

\AC\-\BD\~145

故選B.

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標運算，屬中檔題.

10.若向量萬=(4,2),]=(6陽,若」//石,則「=()

A.-12B.12D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由向量平行的坐標表示方法可得若￡/力，則有4xk=2x6=12,解可得人的

值，即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，向量a=(4,2),h=(6,k),

若Z//B'則有4x%=2x6,

解得％=3；

故選：D.

【點睛】

本題考查向量平行的坐標表示公式，關(guān)鍵是掌握向量平行的坐標表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

11.在AABC中，a,b,c分別為三個內(nèi)角所對的邊，設(shè)向量沅=(0-c,c—a),

n={b,c+ci),若向量比_1_方，則角A大小為()

7T7T兀°2萬

A.-B.—C.—D.—

6323

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個向量比_L萬，得到兩個向量的數(shù)量積等于0,可以求得三角形三邊的關(guān)系，

在利用三邊關(guān)系求得角A.

【詳解】

ml.n>

m-n=O,

(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,

b2+c2-a2=bc,

又因為是在三角形中，

??A=—

3

故選B.

【點睛】

本題是一個解三角形的問題，兼有向量與余弦定理的運算，由于向量兼有代數(shù)和幾何兩

個方面的重要特征，解決這類問題時，首先要重視對向量表達式的理解；其次要善于運

用向量的坐標運算，解決問題.

二、填空題

12.已知向量方=(1,2)石=(—1,機)，若萬_L(G—5),貝!|加=.

【答案】3

【解析】

【分析】

直接由已知條件結(jié)合向量垂直的坐標表示列式求得機的值.

【詳解】

因為所以有￡?(￡一坂)=0,

即-a-B=O，

因為￡=(l,2),B=(_l,m),

所以儼+22—(―1+2/〃)=0,解得〃z=3,

故答案是：3.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)向量垂直的問題，涉及到的知識點有向量垂直的條件是向量數(shù)量積等

于零，向量數(shù)量積坐標運算式，數(shù)量積的運算法則，屬于簡單題目.

13.平面向量”滿足|：|=百，由=應(yīng)，2%=—1，貝!J|Z-2昨.

【答案】V15

【解析】

【分析】

忖—25卜癡-25）2,展開即可.

【詳解】

卜—2同=J（"25）2=7a2+4F-4a-^=,3+8+4=>/15.

故答案為：V15

【點睛】

本題考查向量模的計算，考查學(xué)生基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.

14.與1=（3,-4）垂直的單位向量為

【答案】W，|）,

【解析】略

222

15.有下列命題：（1）雙曲線三一2L=1與橢圓二+、2=1有相同的焦點；（2）

25935?

?-1<x<Ow是“2f—5x—3<0"的必要不充分條件；（3）若向量a與向量方共

線，則向量￡,石所在直線平行；（4）若A、3、C三點不共線，。是平面ABC外一點，

OM=-OA+-OB+^OC,則點"一定在平面ABC上；其中是真命題的是

333

（填上正確命題的序號）

【答案】（1）（4）

【解析】

【分析】

（1）分別求出雙曲線和橢圓的焦點坐標進行判斷即可；

（2）先解一元二次不等式，然后根據(jù)必要不充分條件的定義進行判斷即可；

（3）根據(jù)共線向量的定義進行判斷即可；

（4）根據(jù)共面向量的定義進行判斷即可.

【詳解】

22

（D--一匕=1的焦距為2后再=2庖，因此焦點坐標為：（A,0）,（-取,0）；

259

2

￡+/=1的焦距為2/35—1=2庖，因此焦點坐標為：（后,（））,（—后,0）,所

以該命題是真命題；

°11

（2）2x—5x—3<0n—<x<3,顯然由—<x<0,能推出2x?—5x—3v0，

22

但由2/—5x—3<0不一定能推出-1<x<0，故是

22

“2f—5x—3<0”的充分不必要條件，故該命題是假命題；

（3）因為向量￡與向量坂共線，所以向量￡,B所在直線平行或重合（在一條直線上），

故該命題是假命題；

（4）OM=-OA+-OB+-OC^dA+AM=-OA+-OA+-AB+-OA+-AC,

33333333

1

即戒」福+-

3Ac因此點M一定在平面ABC上，故該命題是真命題.

3

故答案為：（1）（4）

【點睛】

本題考查了雙曲線和橢圓的坐標，考查了共線向量和共面向量的定義，考查了必要不條

件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

16.化簡:

（1）AB+BC+CAt（2）（AB+MB）+BO+OM

⑶OA+OC+BO+COi⑷AB-AC+BD-CDi

（5）OA-OD+ADi（6）AB-AD-DCi

（7）NQ+QP+MN-MP.

【答案】（1）0.（2）AB（3）BA

（4）0（5）0（6）CB.（7）0

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的加法與減法的運算法則，對每一個小題進行化簡計算即可.

【詳解】

解：（1）原式=/一恁=。.

（2）原式=通+麗+兩'+麗=通

（3）原式=礪+工一礪—詼=麗.

（4）原式=A月+Bz5+od+c4=6

（5）原式=況+而+。］=0

(6)原式=而一(而+加)=而—/=麗.

(7)原式=赤+而+/+兩=0

【點睛】

本題考查了平面向量的加法與減法的運算問題，屬于基礎(chǔ)題.

17.已知為不共線的平面向量，AB=a+b>BC=2a+Sb>CD=3(a-S).

(1)求證：A,B,。三點共線；

(2)設(shè)E是線段8c中點，用?出表示荏.

【答案】(1)見解析；(2)20+55.

【解析】

【分析】

(1)通過計算證得麗=5麗，由此證得AB,￡>三點共線.

(2)利用平面向量的線性運算，用￡石表示出無巨.

【詳解】

_______________UUU11_________

(I)BO=3C+CO=5Q+5〃.因為A6=o+。，所以30=5A

所以A月與麗共線，于是A,B,。三點共線.

(2)因為E是線段BC中點，所以

A￡=-(A6+AC)=-(Afi+AB+BC)=-(?+^+a+^+2a+8^)=2a+5^

222

【點睛】

本小題主要考查三點共線的向量證法，考查利用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.

一1一一1一

18.如圖所示，在△48。中，OC^-OA,OD=±OB,與8c相交于

42

點M，設(shè)。X=G，。月=〃.試用。和力表示向量）7?

【答案】OM=3。+$〃.

【解析】

設(shè)次^=機。+/仍,

則一眉=，%a+〃b—a=（〃?-1）。+〃/7,

布=而一芯=弱-或=-“+加

又：A,M,。三點共線，；.而與布共線.

，存在實數(shù)匕使得和=f和,

即（小一1）。+應(yīng)?=（一，饋）

A(m—\)a+nb=-ta+^tb.

%T-F

?1.消去f得/n—1=—2〃,

f

即〃z+2〃=1.①

又a+nh,

唐=濟一座=■二a=-±a+b.

又：C,M,B三點共線，.?.屬與淮共線.

.,.存在實數(shù)力，使得過f=白祥,

?GN。+nb=t\0+4

.'J"4"5^'消去A得4加+”=1.②

由①②得〃?=},〃=},;.秋.

19.在AABC的三個內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,dc,已知向量

tn=^cos(/4——),tz^n=(sinB,b)?且&//E.

(I)求角A的值；

(ED若麗.苑;=-6，求邊a的最小值.

(m)已知"底b=空,求sin(2B—A)的值.

3

【答案】(I)A=-(II)2^.(III)尸，

310

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)平面向量平行的坐標關(guān)系，代入后由正弦定理化簡，結(jié)合輔助角公式即可求

得角A的值.

(II)根據(jù)平面向量數(shù)量積定義，結(jié)合余弦定理及基本不等式，即可求得邊。的最小值.

(III)根據(jù)正弦定理，先求得sinB,由同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cos&結(jié)合二倍角公

式即可求得sin2B,由同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cos28.利用正弦差角公式展開，再代

入即可求得sin(28—A)的值.

【詳解】

(I)因為機//〃，

7T

所以bcos(A---)=asinB,

6

7T

所以由正弦定理和誘導(dǎo)公式可得sinBcos(4一一)=sinAsinB

因為sin8>0,所以^^cosA+』sinA=sinA，

22

所以GcosA=sinA，

所以tanA=G，又OvAc",

71

所以A=一.

3

(H)因為麗?亞=一6,所以福?/=6，

TT

所以m?cos—=6,所以歷=12,

3

22

由余弦定理可得〃=〃+。2-2Z?ccosA=Z?+c-he>2bc-bc=bc=i2f

當(dāng)且僅當(dāng)6=C=2百時等號成立

所以a22百，即。的最小值為2也.

(III)由正弦定理，一=—也可得

sinAsinB

273V3

bsinA3X2下,

sinBD=--------=,「=——

ay/55

b<a9

為銳角

_______2R

cosB->/l-sin2B-

.4

sin2B=2sinBcosB=—

5

、3

cos2B=l-2sin^B=—

5

sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA

4-3A/3

10

【點睛】

本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，平面向量的線性運算，平面向量

數(shù)量積的定義及應(yīng)用，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，正弦和角公式的應(yīng)用，綜合性強,

屬于中檔題.

20.已知長度為4的線段的兩個端點A,8分別在x軸和)，軸上運動，動點P滿足

麗=3⑸，記動點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點H(0,l)的直線y=2x+r與曲線C相交于兩點M,N.若直線HM與

HN的斜率之和為1,求實數(shù)f的值.

2

【答案】(1)—+/=](2)3

9

【解析】

【分析】

(1)設(shè)P,A,B的坐標，由麗=2兩坐標化可得變量間的關(guān)系，再由