2021屆高三年級(jí)上冊(cè)理科數(shù)學(xué)周測(cè)試卷11 含答案

高三數(shù)學(xué)(理科)每周一測(cè)(11)

選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

(1)設(shè)集合A={x|2"4},集合6={x|y=lg(x-l)},則ARB等于()

(A)(1,2)(B)(1,2](C)[1,2)(D)[1,2]

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一匚+i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+1

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

22

(3)已知雙曲線二―之=1的一條漸近線為y=2x,則雙曲線的離心率等于()

ab-

(A)百(B)2(C)y[5(D)瓜

(4)已知兩個(gè)非零單位向量冢，區(qū)的夾角為。，則下列結(jié)論不.頌的是()

—一—2一2

(A)4在4方向上的投影為cos。(B)G=e2

(C)(q-弓)(D)%?e2=1

主視圖側(cè)視圖

(5)一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示,

俯視圖

則該三棱錐的外接球表面積()

29萬

(A)29乃(B)30乃(C)----(D)216乃

2

(6)惠州市某機(jī)構(gòu)對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡

進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出loo名司機(jī)，已知抽到:喝

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

20253035404s年總歲

的司機(jī)年齡都在［20,45）歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖

如右圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是

（）

（A）31.6歲（B）32.6歲

（C）33.6歲（D）36.6歲

7T

(7)函數(shù)/(x)=Asin((yx+0)(其中A>0,|同<~）的圖像如圖所示，為了得到

2

g（x）=cos2x-巴的圖像，只需將/（x）的圖像（

、2）

TTTT

（A）向左平移上個(gè)長(zhǎng)度單位（B）向右平移々個(gè)長(zhǎng)度單位

33

7T7T

(C)向左平移2個(gè)長(zhǎng)度單位（D）向右平移二個(gè)長(zhǎng)度單位

66

（8）若函數(shù)/（X）=h優(yōu)一（。>0且。彳1）在（，》,中?）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),

則

g(x)=log*(x+攵)

的圖

像是（）

(A)(B)(C)(D)

(9)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)有()

(A)144個(gè)(B)120個(gè)(C)96個(gè)(D)72個(gè)

x-2y+4>0

(10)己知變量X,＞滿足＜x<2，則的取值范圍是()

x+2

x+y-2>0

5545

(A)2,-(B)(C)(D)-,2

24'25'24

(11)由等式x'+qj+/*+4=(x+l)4+偽(》+1)3+4(％+1)2+a(％+1)+”,

定義映射了(4，%,%,4)一4+"2+々+d，則/(4,3,2,1)一()

(A)0(B)10(C)15(D)16

(12)如圖，正五邊形ABCOE的邊長(zhǎng)為2,甲同學(xué)在A43c中用余弦定

理解得AC=78-8cosl080，乙同學(xué)在Rt^ACH中解得

AC=―5—，據(jù)此可得cos72。的值所在區(qū)間為()

cos72°

(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,03)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分。

(13)曲線y=￡與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為.

(14)在A48c中，設(shè)角AB,C的對(duì)邊分別是a,。,c,且NC=6()。，c=J5,則

＜z+2x/3cosA_

sin3

(15)如圖所示程序框圖，輸出的結(jié)果是.

(16)若數(shù)列｛4｝滿足片一。3p(p為常數(shù)，及N2,nwN*),則稱數(shù)列｛4｝為等方差

數(shù)列，p為公方差，已知正數(shù)等方差數(shù)列｛a,,｝的首項(xiàng)q=1,且卬，%,%成等比數(shù)列，

1

q/a,,設(shè)集合A=Tn=―1—+—一+…+—1—,1<n<100,neAf,k取

ax+a2%+%凡+4“i

A的非空子集8,若B的元素都是整數(shù)，則8為“完美子集”，那么集合A中的完美子集

的個(gè)數(shù)為.

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分12分）已知｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，且%+1是4+1與%+1的

等比中項(xiàng).（I）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；（口）令b“=a?,求數(shù)列也“｝的前〃項(xiàng)和S,,.

（18）（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大

于或等于82為合格品，小于82為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)

果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指標(biāo)[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)

芯片甲81240328

芯片乙71840296

（I）試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率；

（H）生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙,

若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元.在（1）的前提下，記X為生產(chǎn)1

件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望值.

（19）（本小題滿分12分）如圖，直角梯形A5C。與等腰直

角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABIICD,AB1BC,EALEB,

AB=2CD=2BC.(I)求證：43，OE；(H)求二面角C—。￡一A余弦值.

(20)(本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，

歷1

離心率e="，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y=上尤2的焦點(diǎn)重合.

24

(I)求橢圓C的方程；(II)過點(diǎn)的動(dòng)直線/交橢圓C于兩點(diǎn)，試問：在

坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論/如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以A8為直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存

在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=—f+21nx.

(I)求函數(shù)/(x)的最大值；(H)若函數(shù)/(x)與g(x)=x+/有相同極值點(diǎn).

①求實(shí)數(shù)a的值；②若對(duì)于Vx,,x,e,,3(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，不等式

\_e_

」(%)二§(.空)?1恒成立,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

k—1

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，答題時(shí)請(qǐng)

寫清題號(hào)。

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖，在"中，NABC=90°,以

A3為直徑的圓。交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，連接。。交圓。于點(diǎn)M.

(I)求證：OE是圓。的切線；(口)求證：

DEBC^DMAC+DMAB.

BDC

(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/

“

中的參數(shù)方程《(/為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

三

場(chǎng)

——

曲線C的極坐標(biāo)方程為：2=4cos6.(I)求直線/的極坐標(biāo)方程；(□)求直線/與曲線

“

M中C交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0>0,0<夕<2)).

密

羯

(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)/(x)=|2x—a|+|2x+l](a>0),

封g(x)=x+2.(I)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(x)4g(x)的解集；(口)若/(x)Ng(x)恒成

“

中立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

科

線

內(nèi)

增城中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)(理科)每周一測(cè)(11)答題卷

不

題號(hào)選擇題填空題17題18題19題20題21題總分

得得分

答

一、選擇題:

題

題號(hào)123456789101112

得分

二、填空題：

13..14..

15..16..

三、解答題：（本大題共6小題，共70分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.（本小題滿分12分）

18.（本小題滿分12分）

19.（本小題滿分12分）

20.（本小題滿分12分）

21.（本小題滿分12分）

密

封

線

內(nèi)

不

得

答

題

22.（本小題滿分10分）

選修4-1：兒何證明選講（）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（）選修4-5不等式選講

數(shù)學(xué)（理科）11周周測(cè)答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分。

題號(hào)123456789101112

答案BACDACDCBBAC

⑴【解析】集合A={X|2”4}={X|X<2},集合5={x|y=lg(x—l)}={x|x>l},

所以405=（1,2）,故選B.

（2）【解析】」一+，=工^+?=與^,故選A.

1+z22

（3）【解析】由漸近線知2=2,則雙曲線的離心率e=Ji謖=石，故選C.

a

⑷【解析】因?yàn)橼Ｊ癁閱挝幌蛄?，所?I2=85怎,06[-1,1],故選D.

（5）【解析】把三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則對(duì)角線為外接球直徑，所以

22222

（2/?）=4+3+2=5>4/?=29）所以外接球的表面積為S=4萬火？=29萬，故選

A.

（6）【解析】由面積和為1,知[25,30）的頻率為0.2,為保證中位數(shù)的左右兩邊面積都是0.5,

必須把[30,35）的面積0.35劃分為0.25+0.1,此時(shí)劃分邊界為

30+5x-^=33.57,故選c.

0.35

T7萬7t2萬

(7)【解析】由圖像知4=1,-=----------=7=%，一=71=8=2、

41233

f=—2----\-(p―――+2k7i,|^|<—,得。=大，所以

■rr(jr、

/(jc)=sin(2x+—),為了得到g(x)=cos|21一不=sin(2x)的圖像，所以只需將

3\27

7T

/(X)的圖象向右平移二個(gè)長(zhǎng)度單位即可，故選D.

6

(8)【解析】/(幻=5-「=3'-二是奇函數(shù)，所以/(0)=0,即Z—1=0,所以

a

%=1,即/。)="—乙，又函數(shù)y=優(yōu),y=-」在定義域上單調(diào)性相同，由函數(shù)

aa

是增函數(shù)可知。>1,所以函數(shù)g(x)=loga(x+￡)=Iog“(x+l),故選C.

(9)【解析】據(jù)題意，萬位上只能排4、5.若萬位上排4,則有2x&個(gè)；若萬位上排5,

則有3xK個(gè).所以共有2xW+3Xq=5x24=120個(gè)，選B.

kpB<上土1<kpc，根據(jù)原不等式組解得B(2,0),C(0,2),所以

?VI乙

0+1V+12+112±1<3^5x+y+35

-------S--------s--------〉一工<------------￡—故選B.

2+2~x+2~0+24-x+2~24~x+22

(11)【解析】由定義可知

/+4d+3d+2x+1=(x+1)4+b[(x+1)"+b)(x+1)~+：(x+1)+仇，令x=0

得，1+々+62+4+d=1，所以4+4+4+仇=0,即/(4,3,2,1)->0,故選A.

(12)【解析】因?yàn)椋?—8cosl08°=―1—,令cos72°=t,則,8+8)」,所以

cos72°t

8戶+8產(chǎn)一1=0.令F(t)=8戶+8、一1,則當(dāng)f>0時(shí),r(f)=24*+16f>0,

所以/(7)=8/+8/一1在(0,”)上單調(diào)遞增.又因?yàn)?(0.3)/(0.4)<0,所以

于(t)=8/+8產(chǎn)—1在(0.3,0.4)上有唯一零點(diǎn)，所以cos72°的值所在區(qū)間為

(03,0.4).故選C.

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分。

(13)(14)4,(15)4,(16)63

6

(13)【解析】S=J；(x—f)公=

(14)【解析】由正弦定理>一=—^=2,所以a=2sinA,

sinAsinC

2sinA+2^cosA.sin(A+60°).

代入得------------------=4-----------=4.

sinBsinB

(15)【解析】本程序框圖中循環(huán)體為"直到型"循環(huán)結(jié)構(gòu)，

第1次循環(huán)：S=0+1=1,i=2,a=lx2+l=3<50；

第2次循環(huán)：S=l+3=4,i=3,a=3x3+4=13<50；

第3次循環(huán)：5=4+13=17,i=4,“=13x4+17=69250；結(jié)束循環(huán)，

輸出i=4.

a+a

(16)【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的即時(shí)定義得a,,=，2〃—1,Tn="'~'=+I,

令Tn=k(kwN*),則“=(21+1)7,由14wWlOO得々可取1,2,3......6,即集合

2

A中有六個(gè)整數(shù)，于是A中的完美子集的個(gè)數(shù)為26-1=63個(gè).

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(17)(本小題滿分12分)

解(I)(%+1)2=(4+1)(%+1)，又”2,得4=3.............2分

an=4+(〃-l)d=2n+\,{a“}的通項(xiàng)公式為=2〃+1......5分

(口)=2-2"+1=2向+1......................6分

S?=22+l+23+l+……+2,,+'+1=22+23+……+2"+'+n....8分

=4(1―2")+〃=2"+2+〃_4.....................11分

1-2

數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和5?=2-2+〃_4................12分

(18)(本小題滿分12分)

解(I)芯片甲為合格品的概率約為40+32+8=如_=±................1分

1001005

芯片乙為合格品的概率約為竺士等g=2=3..............2分

1001004

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為90,45,30,-15,..................4分

433133

P(X=90)=-x-=-,P(X=45)=-x-=—,

5455420

P(X=3O)=+x,=L,P(X=-15)=-xi=-,........8分

5455420

所以隨機(jī)變量X的概率分布列為

X904530-15

33_1_1

P

520520

..................10分

3311

E(X)=90x-+45x—+30x-+(-15)x—=66.

520520

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值為66........................12分

(19)(本小題滿分12分)

解(I)取AB中點(diǎn)O,連結(jié)E。，DO.因?yàn)镋B=E4,所以EO，A5...1分

因?yàn)樗倪呅蜛BCO為直角梯形，AB=2CD=2BC,AB±BC,

所以四邊形QBCO為正方形，所以.....2

分

又EOf]00=0,3分

石。匚面后。。，OOu面EOO,........4分

所以平面E。。，又EDu面E。。，

所以ABA.ED......................5分

(H)因面MEJ?面43co，且EO1AB,所以面A5c。，所以EOLOD.

由。兩兩垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz............6分

因?yàn)槿切蜤48為等腰直角三角形，所以O(shè)O=QA=OE,設(shè)。。=”,

所以C(a,-a,O),￡>(?,0,0),E(O,O,a),A(O,tz,O).

所以皮=(O,—a,0),DE=(-a,0,a),次=(一。,。,0),...........7分

設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為I=(不，,,zJ.

n,-DC=0f-a-y,=0

則nc，

n,￡>E=0[-?-%)+a-z,=0

所以可取]=(1,0,1)..............8分

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為%=（x2,y2,z2）.

則42一二《22八，所以可取〃2=（1」』）............9分

n2DE=0[-a-x2+a-z2=0

所以COS（E，%）=/-+1廠="，..................................11分

\/V2-V33

由圖可知二面角C-OE—A為鈍角，所以二面角的余弦值為-逅.......12分

3

（20）（本小題滿分12分）

解（I）設(shè)橢圓的方程為；"+斗"=1（"＞人＞0）,離心率e=工-=虐~＞...1分

b1a2v'2a2

又拋物線y=的焦點(diǎn)為（0』），所以c=l,a=&1=1.....2分

橢圓C的方程是x2+乙=1......................3分

2

（口）若直線/與x軸重合，則以A3為直徑的圓是￡+丁=1,若直線/垂直于X軸,

則以AB為直徑的圓是+4分

x2+y2=1,

X-1

由（1Y216解得｛_，即兩圓相切于點(diǎn)（1,0）.............5分

卜+力廣

因此所求的點(diǎn)7如果存在，只能是（1,0）.事實(shí)上，點(diǎn)T（1,O）就是所求的點(diǎn).

證明如下:

當(dāng)直線/垂直于％軸時(shí)，以A8為直徑的圓過點(diǎn)7（1,0）6分

當(dāng)直線/不垂直于》軸時(shí)，可設(shè)直線=+§7分

），=（局

消去y得僅2+2）f+g女+：左2-2=0

由?.8分

2

x2+—=1,

2

二公

玉+X=3

2~k2+l'

設(shè)A（X［，X）,B（X2，%），貝小9分

-k2-2

xx=9______

12k2+21

又因?yàn)橥?（玉一l,y）,用=（工2—1,%），

：.TATB=（x}-\）（x2-l）+yly2...........................10分

儼+1）中2+（；公-1）（玉+*2）+/2

+1

=0,11分

TA1T8,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)7（1,0）.

故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,O)滿足條件.................12分

(21)(本小題滿分12分)

解(I)r(x)=-2A：+|=j.(x>0)...............1分

由/3〉。，得0<x<l；由|'得x>1.

x>0x>0

.,./(X)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1,+0。)上為減函數(shù)...........2分

函數(shù)/(x)的最大值為/(I)=-1.....................3分

(II)v^(x)=x+p.-.gf(x)=l-^-.

①由⑴知，X=1是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)，

又?.?函數(shù)/(X)與g(x)=x+0有相同極值點(diǎn)，二x=l是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn),

g'(l)=l—a=0,解得a=l.....................4分

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)g(x)在X=1時(shí)取到極小值，符合題意.......5分

(1A1

②-=---2,/(l)=-l,/(3)=-9+21n3,

\e)e

1<iA

易知一9+21n3<--r-2<-l,即/(3)</-</(l).

心3卜(必=/⑶=—9+21n3J(%L=/⑴=T…分

由①知g(x)=X+—,「?g'(x)=1--2,

XX

「1、

當(dāng)-,1時(shí)，g'(x)v。；當(dāng)X￡(l,3］時(shí)，g'(x)>0.

故g(x)在上為減函數(shù)，在(1,3]上為增函數(shù).

(1/nC小C110

?Jg-=e+-,g(l)=2,g(3)=3+w=7

\e)e33

而2<e+-<$.g⑴<g[J<g0.

.?.V/ej,3,g(x2L=g6=2,g(X2)2=g0=￥..........9分

1°當(dāng)上一l>0,即4>1時(shí)、對(duì)于-,3,不等式J(')二1('J?1恒成立

\_eJk-\

<=>Zr-l>[/(x,)-g(x2)]maxo人[〃石)一(務(wù))]一+1.

；/(%)—g(士)《/(1)-8(1)=一1一2=—3,

k之-3+1=—2,乂.*.*k>1,1.k>1......................10分

2。當(dāng)上一1<0,即左<10寸，對(duì)于V2,/e1,3],不等式/(xJ―g(/2)0]恒成立

_eJk—\

=ATw[/(xJ-g(W)Lng(w)L+L

in37

:丁(七)一8(/)2/(3)-^(3)=-9+21n3--=一~—+2In3,

34「34

:.k<——+2In3,又???&<1,％(——+2In3...............11分

33

綜上，所求實(shí)數(shù)后的取值范圍為1-00,-弓+21n3U(l，+8).........12分

22.（本小題滿分10分）

解：（I）連結(jié)0E；.?點(diǎn)。是中點(diǎn)，點(diǎn)。是A3中點(diǎn),

OD^-AC,AZA=ZBOD,ZAEO=ZEOD.

~2

.?OA=OE,NA=ZAEO,ZBOD=ZEOD.

在AEOO和ABOO中，JOE=OB,\EODs\BOD,

：.NQED=NO8D=90°,即OELED.

???E是圓。上一點(diǎn)，；.是圓0的切線................5分

(II)延長(zhǎng)。。交圓。于點(diǎn)尸.,：\EOD^\BOD,DE=DB.

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，BC=2O8,

???DE,是圓。的切線，，DE=DBDE