江蘇省南京師大蘇州實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

江蘇省南京師大蘇州實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球2．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件4．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.6．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.7．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥08．把點隨機投入長為，寬為的矩形內(nèi)，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.9．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列10．若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.40012．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一點，，分別為圓和圓上的點，則的最小值為______14．設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為______.15．過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于A，兩點，，則的值為__________16．若，m，三個數(shù)成等差數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值18．（12分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點是棱的中點（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值20．（12分）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，直線與拋物線交于兩點.（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過原點O，求實數(shù)k的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】方程表示空間中的點到坐標(biāo)原點的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點到坐標(biāo)原點的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點為球心，2為半徑的球，故選：D2、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C3、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.4、C【解析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.5、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點，判斷出正確選項.【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域為，由此排除A,B選項.當(dāng)時，，由此排除D選項.所以正確的為C選項.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】先求出橢圓的右焦點，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.8、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構(gòu)成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結(jié)果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，所求概率.故選：A.9、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進行判斷即可【詳解】選項A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項B錯誤；選項C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B10、C【解析】將方程有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求解.【詳解】解：因為方程有解，所以方程有解，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：C11、B【解析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B12、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據(jù)橢圓的定義、點到圓上距離的最小值，即可得到答案；【詳解】設(shè)為橢圓的左右焦點，則，等號成立，當(dāng)共線，共線，的最小值為，故答案為：14、##2.25##【解析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后得到兩根之和，結(jié)合焦點弦弦長公式求出，用點到直線距離公式求高，進而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設(shè)，則，由拋物線的定義可得弦長，原點到直線的距離，所以面積.故答案為：15、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：216、【解析】由等差中項的性質(zhì)求參數(shù)m，即可得曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，進而求其離心率.【詳解】由題意，，可得，所以圓錐曲線為，則，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為M，N分別為AB，AP的中點，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因為平面平面，所以【小問2詳解】因為平面平面ABC，取BC中點O，連接PO，AO，因為是等邊三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為18、【解析】若真命題，利用分離參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時，，所以；綜上所述，.19、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可證得平面，以及求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面所成夾角的余弦值【小問1詳解】解：因為平面，四邊形為矩形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因為，因此，平面.所以，平面的一個法向量為，，平面，平面，則平面，所以，直線到平面的距離為.【小問2詳解】解：若，則、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，.因此，平面與平面所成夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離，可得到，可得結(jié)果.（2）假設(shè)的坐標(biāo)，得到，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知：拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，∴拋物線的方程為（2）設(shè)聯(lián)立，得，則，，，∵以為直徑圓過原點O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【點睛】本題主要考查直線與拋物線的幾何關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.21、（1）在、上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）可知，函數(shù)在，、上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，求出端點值和極值，比較即可求出最值【小問1詳解】根據(jù)題意，由于，，得到，，在、上是增函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；【小問2詳解】由（