北京市西城區(qū)月壇中學2025屆數學高一上期末經典試題含解析

北京市西城區(qū)月壇中學2025屆數學高一上期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知f（x）＝是R上的減函數，那么a的取值范圍是（）A.(0，1) B.C. D.2．某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應依次寫上A.快、新、樂 B.樂、新、快C.新、樂、快 D.樂、快、新3．若函數在區(qū)間上單調遞增，則實數k的取值范圍是（）A. B.C. D.4．下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)上單調遞增的函數是（）A.y＝x3 B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D.5．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.6．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.7．若角的終邊和單位圓的交點坐標為，則（）A. B.C. D.8．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個數為A.1 B.2C.3 D.49．下列關于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則10．設函數,則下列結論錯誤的是A.函數的值域為 B.函數是奇函數C.是偶函數 D.在定義域上是單調函數二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若命題“是假命題”，則實數的取值范圍是___________.12．設函數，若關于x方程有且僅有6個不同的實根.則實數a的取值范圍是_______.13．設函數和函數，若對任意都有使得，則實數a的取值范圍為______14．空間直角坐標系中，點A（﹣1，0，1）到原點O的距離為_____15．已知函數.（1）當函數取得最大值時，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標系內作出函數在的圖象.x0y16．函數的定義域為_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．體育課上，小明進行一項趣味測試，在操場上從甲位置出發(fā)沿著同一跑道走到乙位置，有兩種不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的時間以的速度行走，剎余一半時間換為以的速度行走，平均速度為；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程換為以的速度行走，平均速度為；（1）試求兩種行走方式的平均速度；（2）比較的大小.18．某種放射性元素的原子數隨時間的變化規(guī)律是，其中是正的常數，為自然對數的底數.（1）判斷函數是增函數還是減函數；（2）把表示成原子數的函數.19．在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點，以角的終邊為始邊，逆時針旋轉得到角Ⅰ求值；Ⅱ求的值20．已知平面直角坐標系內四點，，，.（1）判斷的形狀；（2）A，B，C，D四點是否共圓，并說明理由.21．已知（1）化簡；（2）若=2，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】要使函數在上為減函數，則要求①當，在區(qū)間為減函數，②當時，在區(qū)間為減函數，③當時，，綜上①②③解不等式組即可.【詳解】令，.要使函數在上為減函數，則有在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為減函數且,∴,解得.故選：B【點睛】考查根據分段函數的單調性求參數的問題，根據單調性的定義，注意在分段點處的函數值的關系，屬于中檔題.2、A【解析】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，即可得出結論【詳解】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，故選A【點睛】本題考查四棱錐的結構特征，考查學生對圖形的認識，屬于基礎題.3、C【解析】根據函數的單調性得到關于k的不等式組，解出即可【詳解】解：f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上單調遞增，則，故k≤﹣2，故選：C4、B【解析】根據基本初等函數的單調性奇偶性，逐一分析答案四個函數在（0，+∞）上的單調性和奇偶性，逐一比照后可得答案【詳解】選項A，函數y＝x3不是偶函數；故A不滿足.選項B，對于函數y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函數，當x>0時，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上單調遞增；故B滿足.選項C，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上單調遞減；故C不滿足選項D，不是偶函數．故D不滿足故選：B.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性和單調性的判斷，屬于基礎題.5、B【解析】首先確定全集，而后由補集定義可得結果【詳解】解：，又，.故選B【點睛】本題考查了集合的補集，熟練掌握補集的定義是解決本題的關鍵，屬于基礎題型.6、C【解析】計算出向量的坐標，然后利用共線向量的坐標表示得出關于實數的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查共線向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎題.7、C【解析】直接利用三角函數的定義可得.【詳解】因為角的終邊和單位圓的交點坐標為，所以由三角函數定義可得：.故選：C8、B【解析】由題意可得，故中元素的個數為2，所以選B.【名師點睛】集合基本運算的關注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖9、C【解析】A選項：單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，與不一定共線，故B錯誤；C選項：兩邊平方可得，故C正確；D選項：舉特殊向量可知D錯誤.【詳解】A選項：因為單位向量既有大小又有方向，但是單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，，，但與不一定共線，故B錯誤；C選項：對兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯誤.故選：C.10、D【解析】根據分段函數的解析式研究函數的單調性，奇偶性，值域，可得結果.【詳解】當時，為增函數，所以，當時，為增函數，所以，所以的值域為，所以選項是正確的；又，，所以在定義域上不是單調函數，故選項是錯誤的；因為當時，，所以，當時，，所以，所以在定義域內恒成立，所以為奇函數，故選項是正確的；因為恒成立，所以函數為偶函數，故選項是正確的.故選：D【點睛】本題考查了分段函數的單調性性，奇偶性和值域，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、####【解析】等價于，解即得解.【詳解】解：因為命題“是假命題”，所以，所以.故答案為：12、或或【解析】作出函數的圖象，設，分關于有兩個不同的實數根、，和兩相等實數根進行討論，當方程有兩個相等的實數根時，再檢驗，當方程有兩個不同的實數根、時，或，再由二次方程實數根的分布進行討論求解即可.【詳解】作出函數的簡圖如圖，令，要使關于的方程有且僅有個不同的實根，（1）當方程有兩個相等的實數根時，由，即，此時當，此時，此時由圖可知方程有4個實數根，此時不滿足.當，此時，此時由圖可知方程有6個實數根，此時滿足條件(2)當方程有兩個不同的實數根、時，則或當時，由可得則的根為由圖可知當時，方程有2個實數根當時，方程有4個實數根，此時滿足條件.當時，設由，則，即綜上所述：滿足條件的實數a的取值范圍是或或故答案為：或或【點睛】關鍵點睛：本題考查利用復合型二次函數的零點個數求參數，考查數形結合思想的應用，解答本題的關鍵由條件結合函數的圖象，分析方程的根情況及其范圍，再由二次方程實數根的分布解決問題，屬于難題.13、【解析】先根據的單調性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉化為A，進行判斷求解即可【詳解】是上的遞減函數，∴的值域為，令A=，令的值域為B，因為對任意都有使得，則有A，而，當a=0時，不滿足A；當a>0時，，∴解得；當a<0時，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點睛】本題考查了函數的值域及單調性的應用，關鍵是將條件轉化為兩個函數值域的關系，運用了分類討論的數學思想，屬于中檔題14、【解析】由空間兩點的距離公式計算可得所求值.【詳解】點到原點的距離為,故答案為：.【點睛】本題考查空間兩點的距離公式的運用，考查運算能力，是一道基礎題.15、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時的x的集合,(2)由五點法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數取得最大值，解得，所以此時x的集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，16、【解析】根據被開放式大于等于零和對數有意義，解對數不等式得到結果即可.【詳解】∵函數∴x>0且，∴∴函數的定義域為故答案為【點睛】本題考查了根據函數的解析式求定義域的應用問題，是基礎題目三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）直接利用平均速度的定義求出；（2）利用作差法比較大小.【小問1詳解】設方式一中小明行走的總路程為s，所用時間為，由題意得，可知設方式二中所用時間為，總路程為s，則【小問2詳解】.因為且，所以，即.18、(1)減函數；(2)（其中）.【解析】（1）即得是關于的減函數；（2）利用指數式與對數式的互化，可以把t表示為原子數N的函數試題解析：（1）由已知可得因為是正常數，，所以，即，又是正常數，所以是關于的減函數（2）因為，所以，所以，即（其中）.點睛：本題利用指數函數的單調性即可容易得出函數的單調性，利用指數與對數的互化可得出函數的表達式.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】Ⅰ由題意利用任意角的三角函數的定義，求得的值Ⅱ先根據題意利用任意角的三角函數的定義求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用兩角和的余弦公式求得的值【詳解】解：Ⅰ角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點，Ⅱ以角的終邊為始邊，逆時針旋轉得到角，由Ⅰ利用任意角的三角函數的定義可得，，，【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，二倍角公式，兩角和的余弦公式的應用，屬于中檔題20、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點共圓；理由見解析【解析】（1）利用兩點間距離公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判斷三角形形狀；（2）由（1）先求得的外接圓,再判斷點是否在圓上即可【詳解】解：（1）,,,又,,即,∴是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點共圓；由（1）,設的外接圓的圓心為,