廣西南寧市三中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

廣西南寧市三中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.2．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）A.1 B.C. D.23．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-16．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.7．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.28．等差數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.9．已知橢圓及以下3個函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個10．若，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上11．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________14．已知點為雙曲線，右支上一點，，為雙曲線的左、右焦點，點為線段上一點，的角平分線與線段交于點，且滿足，則________；若為線段的中點且，則雙曲線的離心率為________15．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為__________.16．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個正方形分成9個全等的小正方形，對中間的一個小正方形進行著色得到第1個圖案（圖1）；在第1個圖案中對沒有著色的小正方形再重復以上做法得到第2個圖案（圖2）；以此類推，每進行一次操作，就得到一個新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長為1，記第n個圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數(shù)列的通項公式______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足（1）求，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和18．（12分）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2（1）求實數(shù)p的值；（2）若直線l過C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且，求直線l的方程19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項和20．（12分）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.21．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對個病例的潛伏期(單位：天)進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設(shè)個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.22．（10分）為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？（3）樣本中不達標的學生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C2、B【解析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數(shù)，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.3、B【解析】構(gòu)造，通過求導，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當時，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當時，，且，當時，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當時，，當時，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個零點，則故選：B4、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的實際應用．解題方法是用數(shù)列表示月初進貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解5、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.6、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.7、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進而求得答案.【詳解】因為，所以存在實數(shù)，使得，則.故選：A.8、C【解析】由等差數(shù)列的前項和公式和性質(zhì)進行求解.【詳解】由題意，得.故選：C.9、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，因為函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對稱性，重點考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，先化簡，進而求出，再由復數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，可知其在曲線上.故選：B11、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.12、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當且僅當三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：14、①.②.【解析】過作，交于點，作，交于點，由向量共線定理可得；再由角平分線性質(zhì)定理和雙曲線的定義、結(jié)合余弦定理和離心率公式，可得所求值【詳解】解：過作交于點，作交于點，由，得，由角平分線定理；因為為的中點，所以，由雙曲線的定義，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案為：；.【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)定理和余弦定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題15、【解析】畫出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點，半徑為2的一個半圓.圓心到直線距離，而點到直線的距離為，故若點到直線的距離不大于，則點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，屬于中檔題.16、【解析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式，即可求得的通項公式.【詳解】結(jié)合已知條件，歸納總結(jié)如下：第一個圖案中，著色正方形的面積即；第二個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關(guān)系，結(jié)合可得其為等比數(shù)列，從而得通項公式，代入計算得；（2）求出，由錯位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點睛】方法點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及錯位相減法求和．數(shù)列求和的常用方法：公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組（并項）求和法，倒序相加法18、（1）2（2）或【解析】（1）根據(jù)拋物線上的點到焦點與準線的距離相等可得到結(jié)果（2）通過聯(lián)立拋物線與直線方程利用韋達定理求解關(guān)系式即可得到結(jié)果【小問1詳解】拋物線焦點為，準線方程為，因為點到焦點F距離為2，所以，解得【小問2詳解】拋物線C的焦點坐標為，當斜率不存在時，可得不滿足題意，當斜率存在時，設(shè)直線l的方程為聯(lián)立方程，得，顯然，設(shè)，，則，所以，解得所以直線l的方程為或19、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當時，，得到；當時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，（2）求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.21、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對比下結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若