專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(10個(gè)高頻考點(diǎn))(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】 1【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 2【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】 3【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對稱性】 5【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】 6【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】 7【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】 10【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】 12【考點(diǎn)9利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的近似根】 14【考點(diǎn)10二次函數(shù)與不等式】 16【要點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=ax次函數(shù)的一般形式．【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知y=m+2xm+2【變式1-1】（2022·湖南懷化·中考真題）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y=2x+1 B．y=?2x+1【變式1-2】（2022·重慶永川·統(tǒng)考一模）某長方體木塊的底面是正方形，它的高比底面邊長還多50cm，把這個(gè)長方體表面涂滿油漆時(shí)，如果每平方米費(fèi)用為16元，那么總費(fèi)用與底面邊長滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【變式1-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x【要點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或)。增

減

性a>0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減小；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減小。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例2】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【變式2-1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)y=x?12+5A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是?1,5C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大【變式2-2】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)P(m,n)在二次函數(shù)y=x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)【要點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】①二次項(xiàng)系數(shù)：總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．②一次項(xiàng)系數(shù)：在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置，對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”③常數(shù)項(xiàng)：總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】【例3】（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(diǎn)(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝1，且2＜c＜3，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．3a+c＞0C．a(chǎn)2m2+abm≤a2+ab（m為任意實(shí)數(shù)） D．﹣1＜a＜﹣2【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)），下列結(jié)論：①abc<0；②3a+c=0；③當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是?1?x<3；④點(diǎn)?2,y1，2,A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-2】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點(diǎn)（1，﹣2）和點(diǎn)（x0，y0），且c＞0．有下列結(jié)論：①a＜0；②對任意實(shí)數(shù)m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限；⑤點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，若CM⊥AM，則a＝66．其中正確的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對稱性】【例4】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=12其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【變式4-1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于A(?1,0)，B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=1A．a(chǎn)>0 B．當(dāng)x>?1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0) D．4a+2b+c>0【變式4-2】（2022·北京昌平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax(1)若拋物線過點(diǎn)(4,?1)．①求拋物線的對稱軸；②當(dāng)?1<x<0時(shí)，圖像在x軸的下方，當(dāng)5<x<6時(shí)，圖像在x軸的上方，在平面直角坐標(biāo)系中畫出符合條件的圖像，求出這個(gè)拋物線的表達(dá)式；(2)若?4,y1，?2,y2，1,y3為拋物線上的三點(diǎn)且【變式4-3】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?bx（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)2,0．點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ=2(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：(2)若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連接BC．當(dāng)BC=4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)若m>0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；(4)當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為34時(shí)，直接寫出m【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】【例5】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=a(x?1)2?a(a≠0)，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最小值為?4，則aA．12或4 B．43或?12 C．?4【變式5-1】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)Mx1,y1(1)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,1)．①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②若y1=y(2)當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點(diǎn)M，【變式5-2】（2022·山東濟(jì)南·濟(jì)南育英中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn)．連接AD交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接AP、BEA．2425 B．2524 C．58【變式5-3】（2022·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）已知：拋物線y=?13x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對稱軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，且MN=2，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】【例6】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B(3,0)，D?2,?52兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動（與點(diǎn)B，C不重合），求使△MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請?jiān)趫D1中探索）(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請?jiān)趫D2中探索）【變式6-1】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+2x+c，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)y≥0(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BE上的動點(diǎn)（除B、E外），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．【變式6-2】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線PE與y軸交于點(diǎn)D，△BCD的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E是線段BC上點(diǎn)，連接OE，將△OEB沿直線OE翻折得到△OEB′，當(dāng)直線EB′與直線BP相交所成銳角為【變式6-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=12x+1的圖像與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)y=12x+n(n>?916,n≠1)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像交于點(diǎn)C(x1,y1)、D(x2,y①x1=_________，x2②證明：AE=BF；(3)如圖2，二次函數(shù)y=a(x?t)2+2的圖像是由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像平移后得到的，且與一次函數(shù)y=12x+1的圖像交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、①A′M與②若A′M+3B【要點(diǎn)4二次函數(shù)圖象的平移變換】（1）平移步驟：①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：（2）平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】【例7】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=ax2+bx+ca>0,b2?4ac>0的圖象是由函數(shù)①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【變式7-1】（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）已知：y=12x2+bx+c(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點(diǎn)為Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右側(cè)，兩拋物線都上升，求②P在原拋物線上，新拋物線與y軸交于Q，∠BPQ=120°時(shí)，求【變式7-2】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3，若點(diǎn)B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【變式7-3】（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線F1(2)如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，請直接寫出拋物線(3)如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形【要點(diǎn)5二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】判別式情況b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】【例8】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=12x2?bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y<0①b2>2c；②若c>1，則b>32；③已知點(diǎn)Am1,n1，Bm2,n2在拋物線其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-1】（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象（稱為拋物線）與下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（?b2a，4ac?b24a）和一元二次方程根的判別式△=（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上．①當(dāng)△=b2?4ac>0時(shí)，有4ac?b2∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．②當(dāng)△=b2?4ac=0時(shí)，有4ac?b2∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．∴一元二次方程ax③當(dāng)△=b……（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下．……任務(wù)：(1)上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論．D．轉(zhuǎn)化思想(2)請參照小論文中當(dāng)a>0時(shí)①②的分析過程，寫出③中當(dāng)a>0,△<0時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識一元一次方程的解．請你再舉出一例為【變式8-2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax(1)若a=?1，且函數(shù)圖象經(jīng)過0,3，2,?5兩點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與x軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值y≥3時(shí)自變量x的取值范圍；(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0兩根之差等于a?c，函數(shù)圖象經(jīng)過P12【變式8-3】（2023·福建泉州·泉州五中?？既＃┮阎獟佄锞€y=ax2+bx+ca≠0，a、(1)當(dāng)a=1且b=c+1時(shí)①若拋物線的對稱軸為直線x=2，求拋物線的解析式；②若?1<x<3中，恒有y<0，求c的取值范圍；(2)若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)M2,0，與y軸交于0,23；直線y=kx+23?2k與拋物線交于點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)P且與y軸平行的直線與直線MQ相交于點(diǎn)N，求證：對于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)【考點(diǎn)9利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的近似根】【例9】（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）觀察下列表格，估計(jì)一元二次方程x2+3x?5=0的正數(shù)解在（x－101234x－7－5－151323A．－1和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間【變式9-1】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）方程x2+3x=1的根可視為函數(shù)y=x+3的圖象與函數(shù)y=1x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程x3A．?1<x<?12 C．?13<x<?【變式9-2】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）為解方程12(1)先研究函數(shù)y=1x-2-101125y030m?045表格中，m的值為______．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出了函數(shù)y=1(3)觀察圖象，當(dāng)12x3(4)在第（2）間的平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=1．根據(jù)圖象直接寫出方程12【變式9-3】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）我們知道，可以借助于函數(shù)圖象求方程的近似解．如圖（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函數(shù)y＝x﹣2的圖象與函數(shù)y＝1﹣x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求得方程x﹣2＝1﹣x的解為x＝1.5．(1)如圖（乙），已畫出了反比例函數(shù)y=1x在第一象限內(nèi)的圖象，借助于此圖象求出方程2x2﹣2(2)選擇：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正負(fù)情況是．A，有兩個(gè)負(fù)根，一個(gè)正根B．有三個(gè)負(fù)根C．有一個(gè)負(fù)根，兩個(gè)正根D．有三個(gè)正根【考點(diǎn)10二次函數(shù)與不等式】【例10】（2022·浙江寧波·一模）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2，?3，0，?1，線段AB上有一動點(diǎn)Mm，n，過點(diǎn)M作x軸的平行線交拋物線y=a(x?1)2+2于A．a(chǎn)<?5 B．a(chǎn)≤?3 C．?5<a【變式10-1】（2022·新疆烏魯木齊·?？既＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+?交于A、B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于xA．a(chǎn)x2B．a(chǎn)x2C．a(chǎn)x2D．a(chǎn)x2+(b?k)x+c=?的解是【變式10-2】（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第九中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx與直線y=?x+b（m、b(1)求m和b的值；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式x2(3)點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)N在點(diǎn)M正下方（即MN∥y軸），且MN=2，若線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)【變式10-3】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y1=ax2?2x+c的圖象與x軸交點(diǎn)為A和B，與y軸交點(diǎn)為D0,3，與直線(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y1>y(3)若點(diǎn)E是x軸上一個(gè)動點(diǎn)，把點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)F，點(diǎn)F向右平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)G，點(diǎn)G向上平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)H，若四邊形EFGH與拋物線有公共點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍．專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】 1【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 3【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】 6【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對稱性】 11【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】 21【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】 29【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】 42【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】 50【考點(diǎn)9利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的近似根】 58【考點(diǎn)10二次函數(shù)與不等式】 65【要點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=ax次函數(shù)的一般形式．【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】【例1】（2022·安徽合肥·?？家荒＃┮阎獃=m+2xm【答案】2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義未知數(shù)的指數(shù)為2，系數(shù)不為0，列式計(jì)算即可；【詳解】解：∵y=m+2x∴m=2且解得m=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知二次函數(shù)解析式未知數(shù)系數(shù)不為0且指數(shù)為2是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·湖南懷化·中考真題）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y=2x+1 B．y=?2x+1【答案】C【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如y=ax2故選C．【變式1-2】（2022·重慶永川·統(tǒng)考一模）某長方體木塊的底面是正方形，它的高比底面邊長還多50cm，把這個(gè)長方體表面涂滿油漆時(shí)，如果每平方米費(fèi)用為16元，那么總費(fèi)用與底面邊長滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】設(shè)底面邊長為xcm，則正方體的高為(x+50)cm，設(shè)總費(fèi)用為y元，則可表示出y與x的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)關(guān)系式即可作出選擇．【詳解】設(shè)底面邊長為xcm，則正方體的高為(x+50)cm，設(shè)總費(fèi)用為y元，由題意得：y=16[2x這是關(guān)于一個(gè)二次函數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列函數(shù)關(guān)系并判斷函數(shù)形式，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．【變式1-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x【答案】答案不唯一，只要滿足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【詳解】試題分析：仔細(xì)分析題中要求根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)點(diǎn)評：二次函數(shù)的性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考必考題，一般難度不大，需熟練掌握.【要點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或)。增

減

性a>0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減?。粁>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減小。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小?！究键c(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例2】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可判定．【詳解】∵拋物線y＝x2+3開口向上，在其圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)y=x?12+5A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是?1,5C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，最小值是5，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．【變式2-2】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)相似比可知：EFBC即EF6解得：EF=2（3-x），則△DEF的面積y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個(gè)開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32，9故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)P(m,n)在二次函數(shù)y=x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)【答案】1≤n<10【分析】先判斷?2<m<2，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：n=m2+2m+2=【詳解】解：∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，∴?2<m<2，∵點(diǎn)P(m,n)在二次函數(shù)y=x∴n=m∴當(dāng)m=?1時(shí)，n有最小值為1．當(dāng)m=2時(shí)，n=2+1∴n的取值范圍為1≤n<10.故答案為：1≤n<10【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握“二次函數(shù)的增減性”是解本題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】①二次項(xiàng)系數(shù)：總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。谝淮雾?xiàng)系數(shù)：在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置，對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”③常數(shù)項(xiàng)：總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】【例3】（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(diǎn)(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝1，且2＜c＜3，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．3a+c＞0C．a(chǎn)2m2+abm≤a2+ab（m為任意實(shí)數(shù)） D．﹣1＜a＜﹣2【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：A．拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正確，不符合題意；B．函數(shù)的對稱軸為直線x=-b2a=1，則b=-2a∵從圖象看，當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=3a+c=0，故不正確，不符合題意；C．∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值為y=a+b+c，∴am2+bm+c≤a+b+c∴am∵a＜0，∴a2m2故不正確，不符合題意；D．∵-b2a=1，故b=-2a∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，∴c=-3a，∵2＜c＜3，∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣23故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圖象與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型．【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)），下列結(jié)論：①abc<0；②3a+c=0；③當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是?1?x<3；④點(diǎn)?2,y1，2,A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口，對稱軸，特殊值x=-1可判斷①②正確，根據(jù)圖像可得，當(dāng)y>0時(shí)，是x軸上方的圖像，可判斷③錯(cuò)誤，求出y1=4a?2b+c，【詳解】∵拋物線的開口向下，a<0，對稱軸為x=1，∴?b∴b=?2a>0，∵拋物線交于y軸正半軸，∴c>0，∴abc<0，故①正確；∵拋物線與x軸交于(-1,0)，∴當(dāng)x=-1時(shí)，a?b+c=0，∵b=?2a，∴將b=?2a代入a?b+c=0，得3a+c=0，故②正確；根據(jù)圖像可得，當(dāng)y>0時(shí)，是x軸上方的圖像，拋物線過點(diǎn)(-1,0)，對稱軸為x=1，根據(jù)拋物線的對稱性可得，拋物線過點(diǎn)(3,0)，∴y＞0時(shí)，有?1<x<3，故③錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為：(-1,0)，(3,0)，對稱軸為x=1，當(dāng)x=-2時(shí)，y1當(dāng)x=2時(shí)，y2∵b=?2a，3a+c=0，a<0，∴y1=4a?2?2a∴y1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決這類題需要掌握：a看拋物線開口方向，b往往看對稱軸，c看拋物線與y軸的交點(diǎn)，以及拋物線的對稱性以及代入特殊點(diǎn)等．【變式3-2】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點(diǎn)（1，﹣2）和點(diǎn)（x0，y0），且c＞0．有下列結(jié)論：①a＜0；②對任意實(shí)數(shù)m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點(diǎn)（1，﹣2）且c＞0，即可判斷開口向下，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)拋物線的對稱性即可判斷③；根據(jù)拋物線的對稱性以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點(diǎn)（1，﹣2），且c＞0，∴拋物線開口向下，則a＜0，故①正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣2，∴函數(shù)的最大值為4a﹣2b+c，∴對任意實(shí)數(shù)m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②錯(cuò)誤；∵對稱軸為x＝﹣2，c＞0．∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)的函數(shù)值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正確；∵對稱軸為x＝﹣2，點(diǎn)（0，c）的對稱點(diǎn)為（﹣4，c），∵拋物線開口向下，∴若-4<x0<0，則y0＞c．若x0≥0，則y故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式3-3】（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限；⑤點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，若CM⊥AM，則a＝66．其中正確的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；②正確，利用對稱軸公式，可得b＝﹣4a，可得結(jié)論；③錯(cuò)誤，應(yīng)該是x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；④正確，判斷出k＞0，可得結(jié)論；⑤正確，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)K．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求出a即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸是直線x＝2，∴﹣b2a∴b＝﹣4a＜0∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正確，觀察圖象可知，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，故③錯(cuò)誤，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，∵b＜0，∴k＞0，此時(shí)E（k，b）在第四象限，故④正確．∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（5，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴MHMK＝CH∴2?9a＝?4a∴a2＝16∵a＞0，∴a＝66故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對稱性】【例4】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=12其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷④．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，開口向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1x2=c∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(?根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，4ac?b∴4ac?b2a∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=1綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況．【變式4-1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于A(?1,0)，B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=1A．a(chǎn)>0 B．當(dāng)x>?1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0) D．4a+2b+c>0【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開口向下，即a<0，故該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)圖像開口向下，對稱軸為x=1，當(dāng)x>1，y隨x的增大而減小；當(dāng)x<1，y隨x的增大而增大，故當(dāng)?1<x<1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>1，y隨x的增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于A(?1,0)，B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=1，可得對稱軸x=xBD、根據(jù)B(3,0)可知，當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c>0，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開口向下，根據(jù)對稱軸以及拋物線與x軸交點(diǎn)A(?1,0)得到B(3,0)是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·北京昌平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax(1)若拋物線過點(diǎn)(4,?1)．①求拋物線的對稱軸；②當(dāng)?1<x<0時(shí)，圖像在x軸的下方，當(dāng)5<x<6時(shí)，圖像在x軸的上方，在平面直角坐標(biāo)系中畫出符合條件的圖像，求出這個(gè)拋物線的表達(dá)式；(2)若?4,y1，?2,y2，1,y3為拋物線上的三點(diǎn)且【答案】(1)①x=2；②y=(2)?3【分析】①把(4，-1)代入解析式，確定b=-4a，代入直線x=?b②根據(jù)對稱軸為直線x=2，且2-（-1）=5-2，判定拋物線經(jīng)過（-1,0）和（5,0），代入解析式確定a，b的值即可．（2）方法一：根據(jù)x=?b2a=t，得到b=-2at，從而解析式變形為y=ax2?2atx?1(a>0)，把?4,y方法二：根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)離對稱軸的遠(yuǎn)近判斷y的大?。?）解：①把(4，-1)代入解析式y(tǒng)=ax?1=16a+4b?1，解得b=-4a，∴對稱軸為直線x=?b②根據(jù)題意，畫圖像如下：∵當(dāng)?1<x<0時(shí)，圖像在x軸的下方，當(dāng)5<x<6時(shí)，圖像在x軸的上方，對稱軸為直線x=2，且2-（-1）=5-2，∴拋物線經(jīng)過（-1,0）和（5,0），∴a?b?1=025a+5b?1=0解得a=1∴y=1（2）∵x=?b∴b=-2at，∴解析式變形為y=ax把?4,y1，?2,y2，∵y3∴a?2at?1＞解得t＜故t的取值范圍是?3＜方法二：若?4,y1，?2,y2，1,y∵y=15x①當(dāng)t<?4，則y1②當(dāng)?4<t<?2時(shí)，∵y∴t?解得t>?3∴?3<t<?2③當(dāng)?2≤t<1，∵y∴t??2<1?t解得t<?12∴?2≤t<?綜上所述，?3【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，拋物線的對稱性，二次函數(shù)與不等式的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法，對稱性，與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?bx（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)2,0．點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ=2(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：(2)若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連接BC．當(dāng)BC=4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)若m>0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；(4)當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為34時(shí)，直接寫出m【答案】(1)y=(2)B(3)0<m≤12(4)m=?38或m=1【分析】（1）將點(diǎn)2,0代入y=x（2）設(shè)Bm,m2?2m，根據(jù)對稱性可得C2?m,（3）根據(jù)題意分兩種情況討論，分別求得當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，此時(shí)M與O點(diǎn)重合，當(dāng)PQ經(jīng)過拋物線的對稱軸x=1時(shí)，進(jìn)而觀察圖像即可求解；（4）根據(jù)題意分三種情況討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)位置，即可求解．（1）解：∵拋物線y=x2?bx（∴4?2b=0解得b=2∴y=（2）如圖，由y=x2則對稱軸為直線x=1，設(shè)Bm,m∵BC=2?m?m=4解得m=?1∴B（3）∵點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ=2m，且PQ⊥x∴MN=PQ=2m，且M,N在y①當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，如圖，當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，此時(shí)M與O點(diǎn)重合，∵PN=PQ∴OP的解析式為y=x∴Am,m，將Am,m即m2?2m?m解得m∵m>0∴A觀察圖形可知，當(dāng)m≥3時(shí)，拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大；②當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，當(dāng)PQ經(jīng)過拋物線的對稱軸x=1時(shí)，∵M(jìn)Q=PQ=2∴2m=1解得m=1觀察圖形可知，當(dāng)0<m≤12時(shí)，拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨綜上所述，m的取值范圍為0<m≤12（4）①如圖，設(shè)正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為E,F，當(dāng)yE?∵A是正方形PQMN的中心，A∴x即m=?②如圖，當(dāng)A點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)，y軸右側(cè)時(shí)，∵A∴MN=2m∴∵交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為34∴F的縱坐標(biāo)為m∵F的橫坐標(biāo)為MQ=PQ=2m∴F∵F在拋物線y=x∴解得m=③當(dāng)A在拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為O，S，設(shè)直線AM交x軸于點(diǎn)T，如圖，則y∴OM=OT=即M設(shè)直線MN解析式為y=kx+b則3解得k=?1∴直線MN解析式為y=?x+聯(lián)立y=解得x1即A的橫坐標(biāo)為32，即m=綜上所述，m=?38或m=1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的對稱性，正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】【例5】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=a(x?1)2?a(a≠0)，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最小值為?4，則aA．12或4 B．43或?12 C．?4【答案】D【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：二次函數(shù)y=ax?12?a（1）當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)1≤x≤4，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=1時(shí)，y取得最小值，∴y=a1?1∴a=4；（2）當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)1≤x≤4，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=4時(shí)，y取得最小值，∴y=a4?1∴a=?1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)Mx1,y1(1)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,1)．①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②若y1=y(2)當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點(diǎn)M，【答案】(1)①y=2x2(2)1【分析】（1）①將點(diǎn)(3,1)代入y=a(x?2)②當(dāng)y1=y2時(shí)，此時(shí)MN為平行x軸的直線，將Mx1,y1（2）分兩種情形：若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1≥y2；若M、N在對稱軸的異側(cè)，y【詳解】（1）解：①將點(diǎn)(3,1)代入y=a(x?2)∴1=a(3?2)2?1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2(x?2)②當(dāng)y1=y2時(shí)，此時(shí)將Mx1,將Nx2,∵y1∴2x12整理得到：(x又∵x2?x1=3∴y2=y1=2×又∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，∴頂點(diǎn)(2,-1)到MN的距離為72（2）解：若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1∴x1+3>2，∴x1>-1，∵x∴x1∴-1<x1∵函數(shù)的最大值為y1=a（x1-2）2-1，最小值為-1，∴y-（-1）=1，∴a=1x∴94∴19若M、N在對稱軸的異側(cè)，y1≤y2∵x1∴12∵函數(shù)的最大值為y=a（x2-2）2-1，最小值為-1，∴y-（-1）=1，∴a=1x∴94∴19綜上所述，a的取值范圍為19【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值等問題：當(dāng)開口向上(向下)時(shí)，自變量的取值離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值就越大(越小)．【變式5-2】（2022·山東濟(jì)南·濟(jì)南育英中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn)．連接AD交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接AP、BEA．2425 B．2524 C．58【答案】A【分析】根據(jù)已知條件設(shè)P(m,m2?2m?3)，其中0<m<3，求得直線AP的解析式，直線BE的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)w=12AB?|y【詳解】∵點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，AP、BE交于點(diǎn)G，如圖，當(dāng)y=0時(shí)，x2解得x1=?1即A(?1,0)，B(3,0)，∵D為拋物線頂點(diǎn)，∴D1,?4設(shè)直線AD的解析式為y=ax+b，∵A(?1,0)，D1,?4∴?a+b=0a+b=?4解得：a=?2b=?2∴直線AD的解析式為y=?2x?2，當(dāng)x=0時(shí)，y=?2，∴E(0,?2)，設(shè)P(m,m2?2m?3)設(shè)直線AP的解析式為y=cx+d，∵A(?1,0),P(m,m∴?c+d=0m解得：c=m?3d=m?3∴直線AP的解析式為y=(m?3)x+m?3．設(shè)直線BE的解析式為y=ex+f，∵B(3,0),E(0,?2)，∴3e+f=0f=?2解得e=2∴直線BE的解析式為y=2聯(lián)立方程組，得：y=m?3解得：x=3?3m∴yG∵0<m<3，∴24?8m>0，3m?11<0，∴24?8m3m?11∴w=S令z=?3m∵?3<0，∴當(dāng)m=43時(shí)，z取得最大值253，w∴w有最小值，最小值為2425故選：A．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法與三角形面積計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）已知：拋物線y=?13x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對稱軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，且MN=2，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．【答案】(1)y=?(2)（3，5）(3)2【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)首先點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P（m，?13m2+（3）由四邊形AMNC的周長=AM+MN+CN+AC，得到當(dāng)AM+CN最小時(shí)，四邊形AMNC的周長最小，得出AM+CN=AM+DM，求出AM+DM的最小值即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：∵拋物線y=?13x2+bx+c∴?解得b=∴該拋物線的解析式：y=?（2）解：∵點(diǎn)B是拋物線y=?13x∴?1∴x1=?2∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，

∵點(diǎn)B（6，0），C(0，4)∴6k+n=0解得k=?23∴直線BC解析式為：y=?23如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P（m，∴PQ=?∴S∴當(dāng)m=3時(shí)，SΔ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），∴AC=2∵四邊形AMNC的周長=AM+MN+CN+AC，MN=2，∴當(dāng)AM+CN最小時(shí)，四邊形AMNC的周長最小.將CN向下平移2個(gè)單位長度，得到對應(yīng)線段DM，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），∴AM+CN=AM+DM，可知拋物線y=?13x如圖，作點(diǎn)D關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)D′，可求得D′（4，2），連接則AD'過點(diǎn)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E，D′∴AM+DM的最小值為AD∴四邊形AMNC周長的最小值為AC+MN+AD【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路線問題等知識點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】【例6】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B(3,0)，D?2,?52兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動（與點(diǎn)B，C不重合），求使△MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請?jiān)趫D1中探索）(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請?jiān)趫D2中探索）【答案】(1)y=?12(2)M32,158，當(dāng)(3)滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為P14,?52【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點(diǎn)作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，-12m2+m+32），則N（m，-12m+32），可得S△MBC=12?MN（3）設(shè)Q（0，t），P（m，-12m2+m+32），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)；②當(dāng)（1）解：把點(diǎn)B(3,0)和D?2,?529a+3+c=04a?2+c=?解得a=?∴拋物線的解析式為y=?把x=0代入y=?12∴C0,（2）解：作直線BC，作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)B(3,0)和C0,3可得3k+b解得k=?∴直線BC的解析式為y=?設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m∴Mm,?1∴MN==?∴S=?34m?∴當(dāng)m=32時(shí)，S把x=32代入y=?∴M3（3）解：當(dāng)以AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4把x=4代入y=?12把x=?4代入y=?12∴此時(shí)P14,?當(dāng)以AB為對角線時(shí)，作P3H⊥x∵四邊形AQ∴A∴∠在△AOQ3和∠∴△AO∴OA=HB=1∴OH=OB?BH=3?1=2∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2把x=2代入y=?12∴此時(shí)P綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為P14,?52【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+2x+c，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)y≥0(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BE上的動點(diǎn)（除B、E外），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)①4；②是，定值為8，理由見解析【分析】（1）由當(dāng)y≥0時(shí)，?1≤x≤3，可知x1=?1，x2=3是（2）①把x=2代入拋物線解析式可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再x=0代入拋物線解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而得知線段CD∥x軸，利用配方法可知點(diǎn)F坐標(biāo)，從而利用②設(shè)Dm,?m2+2m+3(1<m<3)，用待定系數(shù)法求出直線AD與直線BD的解析式，再令x=1得yM，yN【詳解】（1）解：∵當(dāng)y≥0時(shí)，?1≤x≤3，∴x1=?1，x2=3是∴a?2+c=09a+6+c=0解得：a=?1c=3∴拋物線的表達(dá)式為：y=?x（2）①把x=2代入y=?x2+2x+3∴D(2,3)．又當(dāng)x=0，y=3，∴C(0,3)，∴線段CD∥∵y=?x∴F(1,4)，S四邊形②設(shè)Dm,?直線AD:y=k1x+因此可得：0=?k1+解得：k1=3?mb∴直線AD:y=(3?m)x+(3?m)，BD:y=?(m+1)x+3(m+1)．令x=1得yM=6?2m，∴ME=6?2m，NE=2m+2，∴NE+ME=8．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線PE與y軸交于點(diǎn)D，△BCD的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E是線段BC上點(diǎn)，連接OE，將△OEB沿直線OE翻折得到△OEB′，當(dāng)直線EB′與直線BP相交所成銳角為【答案】(1)y=?1(2)P（?3，?7）；(3)B′的坐標(biāo)為455【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）先由△BDC的面積求出OD的長，從而確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?4），再由待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，直線BD與拋物線的交點(diǎn)即為所求；（3）當(dāng)B′在第一象限時(shí)，由∠ODB＝45°，可知EB′∥CD，求出直線BC的解析式，可設(shè)E（t，?12t+2），在Rt△OHB′中，B′H=16?t2，則BE=16?t2+12t?2，在Rt△BHE4?t2+?12（1）將A（?1，0），C（0，2）代入y=?1∴c=2?解得b=3∴y=?1（2）令y＝0，則?1解得x＝?1或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，∴S△BCD∴OD＝4，∴D（0，?4），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，∴b=?44k解得k=1b=?4∴y＝x?4，聯(lián)立方程組y=x?4y=?解得x=?3y=?7或x=4∴P（?3，?7）；（3）如圖1，當(dāng)B′設(shè)直線BC的解析式為y＝b′解得k′∴y=?1設(shè)E（t，?1∴OE＝t，EH＝?1∵D（0，?4），B（4，0），∴OB＝OD，∴∠ODB＝45°，∵直線EB′與直線∴EB由折疊可知，OB′=BO=4在Rt△OHB′中，∴B′∴BE=在Rt△BHE中，16?t解得t=±4∵0≤t≤4，∴t＝45∴B′如圖2，當(dāng)B′在第二象限，∠BG∵∠ABP＝45°，∴B′∵B′∴四邊形B′∴B′∴B′由折疊可知OB=OB∴平行四邊形OBEB∴BE＝OB，∴4?t2解得t=4+855∵0≤t≤4，∴t=4?8∴B′綜上所述：B′的坐標(biāo)為455【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=12x+1的圖像與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)y=12x+n(n>?916,n≠1)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像交于點(diǎn)C(x1,y1)、D(x2,y①x1=_________，x2②證明：AE=BF；(3)如圖2，二次函數(shù)y=a(x?t)2+2的圖像是由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像平移后得到的，且與一次函數(shù)y=12x+1的圖像交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、①A′M與②若A′M+3B【答案】(1)y=(2)①?3?9+16n4，(3)①A′【分析】（1）通過一次函數(shù)表達(dá)式可以求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：12x+n=x②通過A（-2，0），E(?3?9+16n4通過B(12,54)（3）①通過二次函數(shù)平移前后的表達(dá)式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的，從而可以得到：A′(t?1,3)，B′(t+32,174)②由①可得5?8t?15【詳解】（1）令y=0，則12x+1=0，解得∴A(?2,0)，將點(diǎn)B(m,54)代入y=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1將A(?2,0)，B(12,54{4a?2b+c=014∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）①∵一次函數(shù)y=12x+n(n>?916,n≠1)與二次函數(shù)y=ax∴聯(lián)立關(guān)系式得：12整理得：x2解得：x1=?故答案為：x1=?3?②當(dāng)n>1時(shí)，CD位于AB的上方，∵A(?2,0)、B(1∴AE=?2??32∴AE=BF，當(dāng)?916<n<1時(shí)，CD故可得：AE=BF；（3）方法一：①∵二次函數(shù)y=x2+2x二次函數(shù)y=(x?t)2+2∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的．∴A(?2,0)的對應(yīng)點(diǎn)為A′(t?1,3)，B(1聯(lián)立關(guān)系式可得：(x?t)2整理得：x2△=8t?15當(dāng)t>158時(shí)，解得：xP∴NB′=t+∴A′②∵A′M+3B∴A′∴5?8t?154=方法二：①設(shè)P、Q平移前的對應(yīng)點(diǎn)分別為P′、Q′，則P′∵A′、B′平移前的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、由（2）②及平移的性質(zhì)可知，A′②∵A′M+3B∵B(12,54)到y(tǒng)軸的距離為12∴平移后點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)即為點(diǎn)Q．∵二次函數(shù)y=x2+2x二次函數(shù)y=(x?t)2+2∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的．∴Q(t+1,3)，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=12x+1另解：∵A′M+3BB(12,54∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t+1，代入y=12x+1∴Q(t+1,12t+32)．將點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立關(guān)系式求交點(diǎn)坐標(biāo)及利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度，能夠熟練掌握函數(shù)中表示線段長度的方法，求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，熟練掌握用公式法解一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)4二次函數(shù)圖象的平移變換】（1）平移步驟：①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：（2）平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】【例7】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=ax2+bx+ca>0,b2?4ac>0的圖象是由函數(shù)①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對稱軸為?b2a=1，進(jìn)而可得2a+b=0，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2?4ac>0的圖象【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：y=ax2+bx+c∴對稱軸為x=?1+32=1∴整理得：2a+b=0，故①正確；∵y=ax2y=ax2+bx+c∴c＝-3，故②錯(cuò)誤；∵y=ax2+bx+ca>0,b∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴abc>0，故③正確；設(shè)拋物線y=ax2+bx+c代入（0，3）得：3=?3a，解得：a＝－1，∴y=?x+1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∵點(diǎn)（1，4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1，5），∴將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：y=12x2+bx+c(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點(diǎn)為Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右側(cè)，兩拋物線都上升，求②P在原拋物線上，新拋物線與y軸交于Q，∠BPQ=120°時(shí)，求【答案】(1)y=(2)①k≥2②P的坐標(biāo)為（23，3）或（-23，3）【分析】（1）把A?2，?1，B（2）①由y=12x2?3，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-3)，即點(diǎn)B是原拋物線的頂點(diǎn)，由平移得拋物線向右平移了m個(gè)單位，根據(jù)S△OPB=②把P（m，n）代入y=12x2?3，得n=12m2?3，則P（m，12m2?3），從而求得新拋物線解析式為：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m2-3，則Q(0，m2-3)，從而可求得BQ=m2，BP2=m2+(12m2?3+3)2=m2+14m4，PQ2=m2+[(12m2?3)?(m2（1）解：把A?2，?1，B?1=2?2b+c?3=c，解得：b=0∴函數(shù)解析式為：y=1（2）解：①∵y=1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-3)，即點(diǎn)B是原拋物線的頂點(diǎn)，∵平移拋物線使得新頂點(diǎn)為Pm,n（m∴拋物線向右平移了m個(gè)單位，∴S△OPB∴m=2，∴平移拋物線對稱軸為直線x=2，開口向上，∵在x=k的右側(cè)，兩拋物線都上升，又∵原拋物線對稱軸為y軸，開口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入y=12x2?3∴P（m，12根據(jù)題意，得新拋物線解析式為：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=m2PQ2=m2∴BP=PQ，如圖，過點(diǎn)P作PC⊥y軸于C，則PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=12BQ=12m2，∠BPC=12∠BPQ∴tan∠BPC=tan60°=BCPC解得：m=±23，∴n=12故P的坐標(biāo)為（23，3）或（-23，3）【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的平移，拋物線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，本題屬拋物線綜合題目，屬中考?？荚囶}目，難度一般．【變式7-2】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3，若點(diǎn)B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【答案】(1)y=(2)m的值為4(3)n>3【分析】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2?4即可解得拋物線L（2）將拋物線L1向上平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線L2，頂點(diǎn)為(?1,?4+m)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(1,4?m)，代入y=x（3）把拋物線L1向右平移n(n>0)個(gè)單位得拋物線L3為y=(x?n+1)2?4，根據(jù)點(diǎn)B(1，y1)，C(3，y2)都在拋物線L3上，當(dāng)y1＞y2時(shí)，可得【詳解】（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)a(1+1)解得a=1，∴y=(x+1)答：拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y=（2）解：拋物線L1:y=(x+1)將拋物線L1向上平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線L2，則拋物線L2而(?1,?4+m)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(1,4?m)，把(1,4?m)代入y=x12解得m=4，答：m的值為4；（3）解：把拋物線L1向右平移n(n>0)個(gè)單位得到拋物線L3，拋物線L3∵點(diǎn)B(1,y1)，C(3,∴yy2∵y1＞y2，∴(2?n)整理變形得：(2?n)2(2?n+4?n)(2?n?4+n)>0?2×(6?2n)>0，6?2n<0解得n>3，∴n的取值范圍是n>3．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對稱及平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是能得出含字母的式子表達(dá)拋物線平移后的解析式．【變式7-3】（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線F1(2)如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，請直接寫出拋物線(3)如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形【答案】(1)y=(2)y=?(3)①C?2,?3或D【分析】（1）將點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B1,0代入（2）利用對稱性求出函數(shù)F1頂點(diǎn)?1,?4關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為1,4，即可求函數(shù)F（3）①通過聯(lián)立方程組y=?x2+2x+5y=x②求出直線CD的解析式，過點(diǎn)M作MF∥y軸交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE∥y軸交于點(diǎn)E，設(shè)Mm,m2+2m?3，Nn,?n2+2n+5，則Fm,2m+1（1）解：將點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B1,0代入∴9?3b+c=01+b+c=0，解得b=2∴y=x（2）∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)?1,?4，∵頂點(diǎn)?1,?4關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為1,4，∴拋物線F2的解析式為y=?∴y=?x（3）由題意可得，拋物線F3的解析式為y=?①聯(lián)立方程組y=?x解得x=2或x=?2，∴C?2,?3或D②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，∴?2k+b=?32k+b=5，解得k=2∴y=2x+1，過點(diǎn)M作MF∥y軸交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE∥設(shè)Mm,m2則Fm,2m+1，N∴MF=2m+1?mNE=?n∵?2<m<2，?2<n<2，∴當(dāng)m=0時(shí)，MF有最大值4，當(dāng)n=0時(shí)，NE有最大值4，∵S四邊形∴當(dāng)MF+NE最大時(shí)，四邊形CMDN面積的最大值為16．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移和對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)5二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】判別式情況b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】【例8】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=12x2?bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y<0①b2>2c；②若c>1，則b>32；③已知點(diǎn)Am1,n1，Bm2,n2在拋物線其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用根的判別式可判斷①；把x=1，代入，得到不等式，即可判斷②；求得拋物線的對稱軸為直線x=b，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷④．【詳解】解：∵a=12>0，開口向上，且當(dāng)x=1時(shí)，y<0；當(dāng)x=2時(shí)，y<0∴拋物線y=12x∴△=b∴b2∵當(dāng)x=1時(shí)，y<0，∴12-b+c<0，即b>12+∵c>1，∴b>32拋物線y=12x2?bx+c當(dāng)x<b時(shí)，y的值隨x的增加反而減少，∴當(dāng)m1<m∵方程12x2?bx+c=0的兩實(shí)數(shù)根為x1∴x1+x2=2b，∵當(dāng)c>1時(shí)，b>32∴則x1+x2>3，但當(dāng)c<1時(shí)，則b未必大于32，則x1+x2故④不正確；綜上，正確的有①②③，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式8-1】（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程