專題11相似三角形中的“K”字型相似模型(原卷版+解析)

專題11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特點(diǎn)如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.結(jié)論CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型證明】解決方案“三垂直”模型如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.“一線三等角”模型如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.【題型演練】一、單選題1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長(zhǎng)為（

）A．

B．4

C．3

D．22．如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．10 D．3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．如圖，在中，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動(dòng)．已知點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（）個(gè)①；②當(dāng)時(shí)，；③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時(shí)，與相切；④當(dāng)時(shí)，．A． B． C． D．二、填空題7．如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______．8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．9．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．三、解答題10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．13．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時(shí)，求的值．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時(shí)，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求證：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請(qǐng)直接寫出EF長(zhǎng)．17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．20．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．21．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的值．22．問(wèn)題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問(wèn)題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請(qǐng)你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．專題11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特點(diǎn)如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.結(jié)論CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型證明】解決方案“三垂直”模型如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.“一線三等角”模型如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.【題型演練】一、單選題1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長(zhǎng)為（

）A．

B．4

C．3

D．2【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通過(guò)證明△ABF∽△DAE，可得，即可求解．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∴∠BAG+∠DAE=90°∵折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BF，∴BF垂直平分AG∴∠ABF+∠BAG=90°∴∠DAE=∠ABF，∴△ABF∽△DAE∴即解之：AF=3．故答案為：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．10 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等邊三角形，和含角的直角三角形，易證得，從而求得線段，，，，，，的長(zhǎng)度，最后在中利用勾股定理可以求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，在等邊中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，分兩種情況分類計(jì)算即可；【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，在Rt△ABE中，AE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AD＝6，由折疊可知，PD＝PD'，設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，PD的值為或；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長(zhǎng)度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果．【詳解】解：連接，四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，矩形是中心對(duì)稱圖形，過(guò)矩形的中心．過(guò)點(diǎn)，且，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，或4，或4，當(dāng)時(shí)，，則，，四邊形的周長(zhǎng)；同理，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由余角的定義可推出，并不能說(shuō)明，說(shuō)明①錯(cuò)誤；再根據(jù)，可推出，進(jìn)而可證明，說(shuō)明②正確；連接BD，由三角形中位線可知，再由可進(jìn)一步推出，即，即，說(shuō)明④正確；在中，，即可求出CG長(zhǎng)度，即可求出AB=2，說(shuō)明③正確．【詳解】解：∵，∴，∴不能說(shuō)明，故①錯(cuò)誤．∵，∴，又∵∴，故②正確．如圖連接BD，由題意可知，∵G和F分別為CD和BC的中點(diǎn)，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正確．∵，∴，即，故④正確．綜上正確的有②③④共3個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．能夠連接常用的輔助線和證明是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動(dòng)．已知點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（）個(gè)①；②當(dāng)時(shí)，；③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時(shí)，與相切；④當(dāng)時(shí)，．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)求出BC可判斷①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切銳角三角函數(shù)定義求值可判斷②，利用相似三角形判定與性質(zhì)，可判斷③，利用相似三角形判定與性質(zhì)建構(gòu)方程，解方程求解可判斷④【詳解】解：在中，．，故①正確；作AG⊥BD于G，在Rt△ABC中，，∵AD=AB=5，AG⊥BD∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，在Rt△DCB中，，∴DG=BG=，在Rt△BGA中，，∴，故②當(dāng)時(shí)，正確；AD=t，BE=2t，cosA=，當(dāng)時(shí)，，，∴，∵，∴cosA=，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠DEB=90°，∴與相切，故③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時(shí)，與相切正確；過(guò)E作EH⊥AC于H，當(dāng)時(shí)，∵∠EHD=∠DCB=90°，∴△EHD∽△DCB，∴，∵AE=5-2t，∴AH=，EH=，，，∴，整理得，因式分解得，∴或（舍去），故④當(dāng)時(shí)，正確；正確的結(jié)論有4個(gè)．故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，一元二次方程的解法，掌握銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明得到，即可求出答案.【詳解】解：四邊形是正方形，，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，，，即，，，，，解得故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)GD=GE時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．設(shè)AF=x，證明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再證明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．如圖2中，當(dāng)DG=DE時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)GD=GE時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．設(shè)AF=x．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性質(zhì)可知，AF=FG，BF⊥AG，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∴∠ABF=∠DAE，∵∠BAF=∠ADE=90°，∴△BAF∽△ADE，∴，∴，∴DE=，∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∴四邊形GMDN是矩形，∴GM=DN=EN=，∵GD=GE，∴∠GDE=∠GED，∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∴∠GDA=∠GAD，∴GA=GD=GE，∵GM∥DE，∴AM=MD=6，在Rt△FGM中，則有，解得或（舍棄），∴AF=．如圖2中，當(dāng)DG=DE時(shí)，由翻折的性質(zhì)可知，BA=BG，∴∠BAG=∠BGA，∵DG=FE，∴∠DGE=∠DEG，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DEG，∴∠AGB=∠DGE，∴B，G，D共線，∵BD=，BG=BA=9，∴DG=DE=6，∵△BAF∽△ADE，∴，∴，∴AF=，綜上所述，AF的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．【答案】【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對(duì)稱軸，可得DE⊥AF，根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進(jìn)而可求．【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，設(shè)CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF為軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對(duì)稱軸，∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質(zhì)，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積＝對(duì)角線乘積的一半．三、解答題10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)相似，證明見解析(3)存在，【分析】(1)由題意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，據(jù)此證得結(jié)論；(2)根據(jù)題意可證得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，據(jù)此即可證得△AEF與△ECF相似；(3)假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根據(jù)題意可知此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．（1）證明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF與△BFC相似．理由：假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF與△BFC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．11．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過(guò)構(gòu)造45°角將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)已知條件，即可證明≌，則，進(jìn)而通過(guò)線段的和差關(guān)系求得；（2）由勾股定理求得的長(zhǎng)度，再由的面積求得的長(zhǎng)度，則可用勾股定理求得的長(zhǎng)度，則可得的長(zhǎng)度，再由≌，求得的長(zhǎng)度，在中，根據(jù)勾股定理即可求得，即可求得的值．【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴≌，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，三點(diǎn)共線，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴在和中，，∴∽，∴，即∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、相似比等，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)，利用勾股定理求解線段的長(zhǎng)．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時(shí)，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意可證明∠DAF＝∠BAE，又由于∠ABE＝∠ADF＝90°，即證明△ADF∽△ABE，所以．（2）作GH⊥CF于H，根據(jù)題意可求出DF＝3BE＝3x，根據(jù)平行線分線段成比例得出，即可列出關(guān)于x的等式，從而得出GH和FH的長(zhǎng)，即可求出HD的長(zhǎng)，cot∠ADG＝cot∠DGH＝，即可求出結(jié)果．（3）作EM//GD交DC于點(diǎn)M，即可知，可求出DM，從而求出CM，根據(jù)圖形可證明△ABE∽△ECM，即可得到，即列出關(guān)于x的方程，解出x即可．【詳解】（1）如圖，因?yàn)锳F⊥AE，∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．∵同角的余角相等，∴∠DAF＝∠BAE．∵∠ABE＝∠ADF＝90°．∴△ADF∽△ABE．∴．（2）由，得DF＝3BE＝3x．如圖，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．根據(jù)題意結(jié)合平行線分線段成比例得：．∵，，∴．即GH＝，F(xiàn)H＝．

在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，∵∠ADG＝∠DGH，∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝＝=．（3）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF內(nèi)部時(shí)，很明顯∠FGD和∠AFE不相等．所以點(diǎn)G在△ADF外部．如圖，作EM//GD交DC于點(diǎn)M，那么．∴DM＝6x，∴MC＝1－6x．如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．∴∠AEM＋∠EAF＝180°．∴∠AEM＝90°．∴△ABE∽△ECM．∴．即．整理，得x2－9x＋1＝0．解得，（不符合題意，舍去）．所以BE＝．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形，余角，平行線的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)，從而可得BP的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求證：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請(qǐng)直接寫出EF長(zhǎng)．【答案】（1）①見解析；②＝；（2）EF＝．【分析】（1）①根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似，證明即可．②證明△AEF∽△ABC，推出＝，推出＝，推出△FAC∽△EAB，可得結(jié)論．（2）利用勾股定理求出AM，AC，由MFC∽△MCA，推出＝，求出MF，AF，由△AEF∽△ABC，推出＝，可得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，∴∠FAC＝∠MCF，∵∠FMC＝∠CMA，∴△MFC∽△MCA．②解：∵四邊形AEFG，四邊形ABCD都是矩形，∴FG∥AE，CD∥AB，∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FAE＝∠CAB，∵∠AEF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝，∵∠FAE＝∠CAB，∴∠FAC＝∠EAB，∴△FAC∽△EAB，∴＝＝．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，∵DM＝MC＝2，AD＝3，∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，∵△MFC∽△MCA，∴＝，∴FM＝＝，∴AF＝AM﹣FM＝，∵△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝，∴EF＝．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．理由見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出兩三角形相似的條件；（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，等量代換得出，即可得出DE=AE．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角的余角相等證出兩角相等是解決（1）的關(guān)鍵，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等量代換是解決（2）的關(guān)鍵．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可求證△BEP∽△CPF；（2）由題意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∴∠BEP＝∠FPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEP∽△CPF；（2）∵∠PAB＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠BPE＝30°，在Rt△ABP中，∠PAB＝30°，AB＝，∴BP＝1，在Rt△BPE中，∠BPE＝30°，BP＝1，∴EP＝，∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，∴PF＝2CP＝2﹣2，∴△PEF的面積為：PE?PF＝2﹣．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．【答案】(1),(2)為定值，(3)或【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：的值為定值．證明方法類似（1）；（3）分兩種情形討論求解即可解決問(wèn)題；（1）解：作于交于．四邊形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案為4，．（2）結(jié)論：的值為定值．理由：由，可得．，，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接交于．，所以只能，，，，，垂直平分線段，在中，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)交于．，所以只能．，，，，，，，綜上所述，的值為或4．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．20．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)ASA證明；（2）由（1）得，由折疊得，進(jìn)一步證明，由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可；（3）如圖，連結(jié)HE，分點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊和點(diǎn)在點(diǎn)右邊兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)，再由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）如圖，由折疊得到，，．又四邊形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如圖，連接，由（1）得，，由折疊得，