專題19圓(精講精練)(原卷版+解析)

第19講圓（精講）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念探索并了解點與圓的位置關(guān)系探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧探索圓心角及其所對弧的關(guān)系了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補知道三角形的外心、知道三角形的內(nèi)心了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念探索切線與過切點的半徑的關(guān)系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等會計算圓的弧長、扇形的面積了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系TOC\o"1-2"\h\u第19講圓（精講） 1考點1：垂徑定理及其運用 3考點2：圓周角定理及其運用 9考點3：點與圓的位置關(guān)系 15考點4：切線性質(zhì)及其證明 18考點5：正多邊形與圓 24考點6：與圓有關(guān)的計算 29課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 34分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 35考點1：垂徑定理及其運用①與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)：（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.②垂徑定理及其推論：（1）定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）延伸：根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：弧AC=弧AD;②弧BD=弧CB；③CE=DE;④AB⊥CD;⑤AB是直徑.只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三.｛圓的定義★★｝（2021秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，是的半徑，為上一點（且不與點、重合），過點作的垂線交于點．以、為邊作矩形，連結(jié)．若，，則的長為A．6 B．5 C．4 D．2｛圓的定義★★｝下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等?。虎荛L度相等的兩條弧是等?。虎莅霃较嗟鹊膬蓚€圓是等圓；其中說法正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個｛圓的定義★★｝（2021?橋東區(qū)二模）下列由實線組成的圖形中，為半圓的是A．B．C． D．｛垂徑定理★｝（2021秋?定海區(qū)校級月考）如圖，是的直徑，弦交于點，，，，則的長為A． B． C． D．12｛垂徑定理★｝（2021?咸寧一模）如圖，已知為的直徑，弦，垂足為，若，，則的周長為A． B． C． D．｛垂徑定理★★｝已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為A． B． C．或 D．或｛垂徑定理的應(yīng)用★★｝（2021秋?通川區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是A．B． C． D．｛圓的定義★｝（2021秋?新榮區(qū)月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點，，．若點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，寫出圓心點的坐標(biāo)．｛垂徑定理★★｝如圖，用三個邊長為2的正方形組成一個軸對稱圖形，則能將三個正方形完全覆蓋的圓的最小半徑是．｛垂徑定理★★｝如圖，、、都是的弦，，，垂足分別為、，若，則的長為．｛垂徑定理★★｝在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．｛垂徑定理★★｝如圖，圓形紙片半徑為，先在其內(nèi)剪出2個邊長相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2個邊長相等的最大正方形，則第二次剪出的正方形的邊長是．｛垂徑定理★★｝如圖，在半徑為1的扇形中，，點是弧上任意一點（不與點，重合），，，垂足分別為，，則的長為．｛垂徑定理★★★｝（2021?石家莊模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為；面積的最大值為．（2021?自貢）如圖，為的直徑，弦于點，于點，若，，則的長度是A．9.6 B． C． D．10（2020?濱州）在中，直徑，弦于點，若，則的長為A．6 B．9 C．12 D．15（2021?西寧）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的半徑．（2019?湘潭）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積（弦矢矢．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑定理（當(dāng)半徑弦時，平分可以求解．現(xiàn)已知弦米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為平方米．考點2：圓周角定理及其運用①圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．②圓周角定理及其推論：（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a圖b圖c(2)推論：①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.②直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.③圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.｛弦、弧與圓周角關(guān)系★｝（2021?下城區(qū)校級四模）如圖，等腰的頂角為，以腰為直徑作半圓，交于點，交于點，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝（2021?南平模擬）如圖，四邊形中，連接、，點為的中點，若，則下面結(jié)論不一定正確的是A． B． C． D．點、、到點的距離相等｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝如圖，，是上的點，，是的中點，若的半徑為5，則四邊形的面積為A．25 B． C． D．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★｝如圖，為的直徑，點、是的三等分點，，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝（2020秋?永城市期末）如圖，點，，，均在以點為圓心的圓上，連接，及順次連接，，，得到四邊形，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?寬城區(qū)期末）如圖，在圓內(nèi)接五邊形中，，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，，平分．若，，的長為A．4 B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為5，，則弦的長為．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，點在的延長線上，，交于點，且．則．｛圓周角定理★｝如圖，在中，，，則的度數(shù)為．｛圓周角定理★｝如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，，則．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)．｛圓周角定理★｝如圖，在平行四邊形中，，點，在上，點在優(yōu)弧上，，則的度數(shù)為．｛圓周角定理★｝如圖，在中，兩條弦和的延長線交于點，已知，，則的大小為．｛圓周角定理★｝如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，若，，則等于度．（2019?德州）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長度為．（2021?赤峰）如圖，點，在以為直徑的半圓上，且，點是上任意一點，連接、．則的度數(shù)為A． B． C． D．（2021?泰安）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，則的長為A． B． C． D．2（2020?廣西）如圖，已知四邊形為的內(nèi)接四邊形，平分，于點，，，則的值為A． B． C．2 D．考點3：點與圓的位置關(guān)系①點與圓的位置關(guān)系：設(shè)點到圓心的距離為d.(1)d<r?點在⊙O內(nèi)；(2)d＝r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★★｝（2021秋?晉安區(qū)校級期中）如圖，在中，，，，點是半徑為2的上一動點，點是的中點，則的最大值是A．3 B．3.5 C． D．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★★｝（2021秋?硚口區(qū)校級月考）如圖，在銳角中，，，．是平面內(nèi)一動點，且，則的最小值是．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★｝（2021秋?臺安縣期中）一個已知點到圓周上的最長距離是9，最短距離是3，則此圓的半徑是．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★｝平面內(nèi)有一點到圓上最遠距離是8，最近距離是4，則圓的半徑是．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★｝（2021秋?東湖區(qū)校級期中）若的直徑為4，點在圓外，則線段長的取值范圍是．（2020?泰安）如圖，點，的坐標(biāo)分別為，，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點為線段的中點，連接，則的最大值為A． B． C． D．（2019?樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連接，則線段的最大值是A．3 B． C． D．4（2018?泰安）如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值為A．3 B．4 C．6 D．8（2021?廣東）在中，，，．點為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為．考點4：切線性質(zhì)及其證明①切線的判定：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點.（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.｛切線的性質(zhì)★★｝如圖，、分別切于點、，且，切于點，交、于、兩點，則的周長為A．32 B．24 C．16 D．8｛切線的性質(zhì)★★｝如圖，在的內(nèi)接四邊形中，是直徑，，過點的切線與延長線交于點，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛切線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，是外一點，、與相切于、兩點，、是上兩點，若，則A． B． C． D．｛切線的性質(zhì)★★｝如圖，內(nèi)接于，，直線與相切，則A． B． C． D．1｛切線的判定★｝如圖，的外角的平分線與它的外接圓相交于點，連接，，過點作，交于點．求證：（1）；（2）為的切線．｛切線的證明★｝（2021?巴中）如圖、內(nèi)接于，且，其外角平分線與的延長線交于點．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分面積．｛切線的性質(zhì)★｝如圖，是的弦，點在過點的切線上，且，交于點，已知，則．｛切線的證明★｝（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．｛切線的證明★｝（2021?朝陽）如圖，是的直徑，點在上，且，點是外一點，分別連接，、，交于點，交于點，的延長線交于點，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若的半徑為6，，求的長．（2021?青島）如圖，是的直徑，點，在上，點是的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．（2021?福建）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為，．若，，則等于A． B． C． D．如圖，、是的切線，、為切點，點、在上．若，則．考點5：正多邊形與圓①正多邊形的有關(guān)概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.②內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．｛正多邊形與圓★｝如圖所示，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：正五邊形內(nèi)接于，，，，故選：．【點評】本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的內(nèi)角．｛正多邊形與圓★｝以半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★★｝我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（圖．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，連結(jié)，，交于點，，則A．2 B． C． D．｛正多邊形與圓★★｝（2021?寧德模擬）已知四個正六邊形如圖擺放在圓中，頂點，，，，，在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為2，則小正六邊形的邊長是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★｝如圖，有一個半徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★｝如圖，已知點、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為12．｛正多邊形與圓★★｝我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率．若設(shè)的半徑為，圓內(nèi)接正邊形的邊長、面積分別為，，圓內(nèi)接正邊形邊長、面積分別為，．劉徽用以下公式求出和．，．如圖，若的半徑為1，則的內(nèi)接正八邊形的面積為．（2021?貴陽）如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點，則的度數(shù)是A． B． C． D．（2021?隨州）如圖，是的外接圓，連接并延長交于點，若，則的度數(shù)為．（2020?綏化）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接、，，垂足為，等于度．考點6：與圓有關(guān)的計算①弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝②圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.（2）計算公式：,S側(cè)==πrl｛弧長計算★｝如圖，四邊形是半徑為2的的內(nèi)接四邊形，連接，．若，則的長為A． B． C． D．｛弧長計算★｝一個扇形的弧長是9πcm，圓心角是108度，則此扇形的半徑是cm．｛弧長計算★｝已知圓心角為的扇形的弧長為，則這個扇形的半徑為．｛扇形面積計算★｝如果一個扇形的弧長等于它所在圓的半徑，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某個“完美扇形”的周長等于6，那么這個扇形的面積等于．｛扇形面積計算★｝已知扇形的半徑為，面積為，則此扇形的圓心角度數(shù)為．｛扇形弧長與面積計算★｝已知扇形的圓心角為，半徑為3，則該扇形的弧長為，面積為．｛扇形面積計算★｝（2021?祥符區(qū)二模）如圖，已知半圓的直徑，將半圓繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在點處，與半圓交于點，若弧的長為，則圖中陰影部分的面積是．｛圓錐側(cè)面積計算★｝已知圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，則圓錐的表面積為．｛圓錐側(cè)面積計算★｝如圖，在中，，，．若以所在直線為軸，把旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側(cè)面積等于．｛圓錐側(cè)面積計算★｝圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個圓錐的高為．｛圓錐側(cè)面積計算★｝一個圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，把它的側(cè)面展開得到一個扇形，這個扇形的圓心角的度數(shù)是．｛弧長的計算★｝如圖，是的直徑，，、在兩側(cè)的圓上，連接，若，則弧的長為．｛弧長的計算★｝如圖所示，在扇形中，為弦，，，，則的長為．｛弧長的計算★｝如圖，點，，在上，四邊形是平行四邊形，若對角線，則的長為．｛弧長的計算★｝已知弧的長是，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數(shù)為．｛面積的計算★｝（2021秋?北侖區(qū)期中）在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，則圖中陰影部分的面積是．｛圓錐側(cè)面積的計算★｝一個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐母線長與底面半徑的比為．｛圓錐側(cè)面積的計算★｝一張扇形紙片，半徑是6，圓心角為，將它圍成一個圓錐，則這個圓錐的底面半徑為．｛圓錐側(cè)面積的計算★｝如圖，從直徑為的圓形紙片上剪出一個圓心角為的扇形．使點、、在圓周上，將剪下的扇形作為一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑是．｛圓錐側(cè)面積的計算★｝一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，如果這個扇形的面積與圓的面積相等，則這個扇形的圓心角等于．（2021?牡丹江）一條弧所對的圓心角為，弧長等于半徑為的圓的周長的5倍，則這條弧的半徑為A． B． C． D．（2021?衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的面積是A． B． C． D．（2021?青海）如圖，一根長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊（羊只能在草地上活動）那么小羊在草地上的最大活動區(qū)域面積是A． B． C． D．（2021?湖北）用半徑為，圓心角為的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面半徑為A． B． C． D．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．（2016?蘭州）如圖，四邊形內(nèi)接于，若四邊形是平行四邊形，則的大小為A． B． C． D．2．（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，，，則A． B． C． D．3．（2022秋?大名縣校級期末）如圖，是的中點，弦，，且，則所在圓的半徑為A．4 B．5 C．6 D．104．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，在中，，，分別以點，為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交，，于點，，，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．5．（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，是的外接圓，連接并延長交于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．（2022秋?聊城期末）如圖，中，，點是的內(nèi)心，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（2022秋?定西期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點在內(nèi)，則的半徑的取值范圍是A． B． C． D．8．（2022秋?河西區(qū)校級期末）已知的半徑為，點到圓心的距離，則點A．在外 B．在上 C．在內(nèi) D．無法確定9．（2023?市南區(qū)一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是上一點，且，連接并延長交的延長線于點，連接，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．10．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）如圖，是的內(nèi)切圓，點、分別為邊、上的點，且為的切線，若的周長為25，的長是9，則的周長是A．7 B．8 C．9 D．1611．（2022秋?紅旗區(qū)校級期末）以正方形的邊為直徑作半圓，過點作直線切半圓于點，交邊于點，若的周長為12，則直角梯形周長為A．12 B．13 C．14 D．1512．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間．?dāng)S鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看像一張拉滿弦的弓，弧長約為米，“弓”所在的圓的半徑約1.25米，則“弓”所對的圓心角度數(shù)為．13．（2022秋?宿豫區(qū)期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作之一．書中記載了一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容圓徑幾何？”譯文：“如圖，今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該直角三角形內(nèi)切圓的直徑為4步．14．（2023?漢陽區(qū)校級一模）線段是圓內(nèi)接正十二邊形的一條邊，則邊所對的圓周角是．15．（2016?棗莊）如圖，是的直徑，是的弦，點是外一點，連接、，．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，且，的半徑為，求的長．1．（2022秋?紹興期中）如圖，已知是的直徑，半徑，點在劣弧上（不與點，點重合），與交于點，設(shè)，，則以下關(guān)系式成立的是A． B． C． D．2．（2021秋?武義縣期末）如圖，在中，，斜邊與量角器的直徑重合點的刻度為，將射線繞著點轉(zhuǎn)動，與量角器的外圓弧交于點，與交于點，若是等腰三角形，則點在量角器上對應(yīng)的刻度為A． B． C．或 D．或3．（2022秋?衢州期中）扇子與民眾的日常生活息息相關(guān)，中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的文化底蘊．如圖是一把折扇的簡易圖，已知扇面的寬度占骨柄的，骨柄長為，折扇張開的角度為．則扇面（陰影部分）的面積是A． B． C． D．4．（2022?張店區(qū)二模）如圖，內(nèi)切于，點、點分別在直角邊、斜邊上，，且與相切，若，則的值為A． B． C． D．5．（2022?上海模擬）如圖，在邊長為1的正方形中，點在對角線上，且與邊、相切．點是與線段的交點，如果是既與內(nèi)切，又與正方形的兩條邊相切，那么關(guān)于的半徑的方程是A． B． C． D．6．（2022?武漢）如圖，在四邊形材料中，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是A． B． C． D．7．（2022?北碚區(qū)校級模擬）如圖，為的直徑，與相切于點，交于點，是的中點，連接并延長交于點，若，，則的長為A． B． C． D．48．（2022?新河縣一模）如圖，點為的內(nèi)心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形的面積為面積的；丙：當(dāng)時，的周長有最小值．則下列說法正確的是A．只有甲正確 B．只有乙錯誤 C．乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都正確9．（2022?江陰市模擬）如圖，半徑為1的的圓心在坐標(biāo)原點，為直線上一點，過點作的切線，切點為，連接，．下列結(jié)論：①當(dāng)為等腰直角三角形時，點坐標(biāo)為；②當(dāng)時，點坐標(biāo)為；③面積最小值為；④．其中正確的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．（2022?黃巖區(qū)一模）如圖，是等邊三角形，點，點在數(shù)軸上，點表示數(shù)，點表示數(shù)2，以為直徑作圓交邊于點，以為圓心，為半徑作弧交數(shù)軸于點，則點在數(shù)軸上表示的數(shù)為A． B． C． D．11．（2022秋?洛陽期末）如圖，正方形的邊長為1，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，兩弧相交于點，那么圖中陰影部分的面積為．1．（2021秋?莆田期末）如圖，矩形中，，，是的直徑，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，且交于點，交于點，與相切于點．下列說法正確的有．（只填寫序號）①，②，③，④．2．（2021秋?越秀區(qū)期末）如圖，正方形的邊長為1，經(jīng)過點，為的直徑，且．過點作的切線分別交邊，于點，．與，分別交于點，，繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（始終保持圓心在正方形內(nèi)部）．給出下列四個結(jié)論：①；②；③，，，四點在同一個圓上；④四邊形面積的最大值為．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）．3．（2022秋?泰山區(qū)校級期末）如圖，在中，，的平分線交于點，點在上，以為直徑的經(jīng)過點．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點是劣弧的中點，且，試求陰影部分的面積．4．（2021?廣西）如圖，已知，是的直徑，，與的邊，分別交于點，，連接并延長，與的延長線交于點，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若的平分線交于點，連接交于點，求的值．5．（2019?德陽）如圖，是的直徑，點為上一點，于點，交于點，點為的延長線上一點，的延長線與的延長線交于點，且，連接、、．（1）求證：為的切線；（2）過作于點，求證：；（3）如果，，求的長．6．（2019?西藏）如圖，在中．，以為直徑的分別交、于點、，點在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求點到的距離．7．（2019?呼和浩特）如圖，以的直角邊為直徑的交斜邊于點，過點作的切線與交于點，弦與垂直，垂足為．（1）求證：為的中點；（2）若的面積為，兩個三角形和的外接圓面積之比為3，求的內(nèi)切圓面積和四邊形的外接圓面積的比．8．（2019?哈爾濱）已知：為的直徑，為的半徑，、是的兩條弦，于點，于點，連接、，與交于點．（1）如圖1，若與交于點，求證：；（2）如圖2，連接、，與交于點，若，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、、，與交于點，與交于點，連接，若，，求的長．9．（2019?深圳）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點，連接．（1）求證：直線是的切線；（2）點為軸上任意一動點，連接交于點，連接；①當(dāng)時，求所有點的坐標(biāo)，（直接寫出）；②求的最大值．第19講圓（精講）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念探索并了解點與圓的位置關(guān)系探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧探索圓心角及其所對弧的關(guān)系了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補知道三角形的外心、知道三角形的內(nèi)心了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念探索切線與過切點的半徑的關(guān)系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等會計算圓的弧長、扇形的面積了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系TOC\o"1-2"\h\u第19講圓（精講） 1考點1：垂徑定理及其運用 3考點2：圓周角定理及其運用 15考點3：點與圓的位置關(guān)系 28考點4：切線性質(zhì)及其證明 35考點5：正多邊形與圓 47考點6：與圓有關(guān)的計算 56課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 67分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 68考點1：垂徑定理及其運用①與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)：（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.②垂徑定理及其推論：（1）定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）延伸：根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：弧AC=弧AD;②弧BD=弧CB；③CE=DE;④AB⊥CD;⑤AB是直徑.只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三.｛圓的定義★★｝（2021秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，是的半徑，為上一點（且不與點、重合），過點作的垂線交于點．以、為邊作矩形，連結(jié)．若，，則的長為A．6 B．5 C．4 D．2【分析】如圖，連接，在中，求出即可解決問題．【解答】解：如圖，連接．四邊形是矩形，，，，，故選：．【點評】本題考查圓，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．｛圓的定義★★｝下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等?。虎荛L度相等的兩條弧是等?。虎莅霃较嗟鹊膬蓚€圓是等圓；其中說法正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①直徑是最長的弦，正確，符合題意；②直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意，故選：．【點評】考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．｛圓的定義★★｝（2021?橋東區(qū)二模）下列由實線組成的圖形中，為半圓的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓的有關(guān)定義進行解答．【解答】解：根據(jù)半圓的定義可知，選項的圖形是半圓．故選：．【點評】本題考查了圓的認識．解題的關(guān)鍵是掌握半圓的定義．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓．｛垂徑定理★｝（2021秋?定海區(qū)校級月考）如圖，是的直徑，弦交于點，，，，則的長為A． B． C． D．12【分析】根據(jù)題意過點作于點，連接，從而得出是等腰直角三角形，結(jié)合圖形由線段之間的關(guān)系推出，從而利用勾股定理推出，再由垂徑定理得到，從而推出．【解答】解：如圖，過點作于點，連接，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，故選：．【點評】本題考查垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相關(guān)輔助線（過點作于點，連接，從而構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理進行求解，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法．｛垂徑定理★｝（2021?咸寧一模）如圖，已知為的直徑，弦，垂足為，若，，則的周長為A． B． C． D．【分析】連接，如圖，設(shè)，則，根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理得到，解方程求出，從而得到圓的半徑，然后根據(jù)圓的周長公式計算．【解答】解：連接，如圖，，設(shè)，，，，，在中，，解得，，的周長為．故選：．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．｛垂徑定理★★｝已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為A． B． C．或 D．或【分析】分兩種情況，根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)垂徑定理求出的長，連接，由勾股定理求出的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：連接，，的直徑，，，，，當(dāng)點位置如圖1所示時，，，，，，；當(dāng)點位置如圖2所示時，同理可得：，，，在中，；綜上所述，的長為或，故選：．【點評】本題考查的是垂徑定理和勾股定理等知識，根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理和勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．｛垂徑定理的應(yīng)用★★｝（2021秋?通川區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是A．B． C． D．【分析】直接利用圓的面積減去正方形面積，進而得出答案．【解答】解：設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是：．故選：．【點評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)以及由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出圓的面積是解題關(guān)鍵．｛圓的定義★｝（2021秋?新榮區(qū)月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點，，．若點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，寫出圓心點的坐標(biāo)．【分析】由垂徑定理，作的垂直平分線，交的垂直平分線于，即可得出答案．【解答】解：作的垂直平分線，交的垂直平分線于，如圖，則圓心點的坐標(biāo)為，故答案為：．【點評】本題考查的是垂徑定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，熟記弦的垂直平分線經(jīng)過圓心是解題的關(guān)鍵．｛垂徑定理★★｝如圖，用三個邊長為2的正方形組成一個軸對稱圖形，則能將三個正方形完全覆蓋的圓的最小半徑是．【分析】連接，，延長交上面的正方形與點，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為，再根據(jù)勾股定理求出的值，進而可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接，，延長交上面的正方形與點，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為，則，，，，由勾股定理得：，即，解得：，所以能將其完全覆蓋的圓的最小半徑，解得：．故答案為：．【點評】本題考查的是垂徑定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．｛垂徑定理★★｝如圖，、、都是的弦，，，垂足分別為、，若，則的長為2．【分析】根據(jù)垂徑定理得出，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出，再求出即可．【解答】解：，，垂足分別為、，過圓心，過圓心，，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了三角形的中位線和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出和是解此題的關(guān)鍵．｛垂徑定理★★｝（2021秋?江夏區(qū)期中）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是2或14．【分析】過作于，直線交于，連接，，根據(jù)垂徑定理求出，，根據(jù)勾股定理求出和，再求出即可．【解答】解：過作于，直線交于，連接，，，，，，，過圓心，，，有兩種情況：①如圖1，由勾股定理得：，，；②如圖2，，所以與之間的距離是2或14，故答案為：2或14．【點評】本題考查了兩點之間的距離，勾股定理和垂徑定理，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．｛垂徑定理★★｝如圖，圓形紙片半徑為，先在其內(nèi)剪出2個邊長相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2個邊長相等的最大正方形，則第二次剪出的正方形的邊長是．【分析】連接、，過作于，設(shè)，，由圓周角定理得是的直徑，，再在中，由勾股定理得出方程，求出，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可．【解答】解：如圖，連接、，過作于，則，設(shè)，，由題意得：，，是直徑，，在中，由勾股定理得：，解得：，則，在中，由勾股定理得：，解得：（負值已舍去），即第二次剪出的正方形的邊長是，故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、正方形的性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．｛垂徑定理★★｝如圖，在半徑為1的扇形中，，點是弧上任意一點（不與點，重合），，，垂足分別為，，則的長為．【分析】連接，如圖，先計算出，再根據(jù)垂徑定理得到，，則可判斷為的中位線，然后根據(jù)三角形中位線定理求解．【解答】解：連接，如圖，，，，，，，，為的中位線，．故答案為．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱巳切蔚闹形痪€定理．｛垂徑定理★★★｝（2021?石家莊模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為2；面積的最大值為．【分析】連接，由垂徑定理得，再由圓周角定理得點在以為直徑的圓上（點、除外），以為直徑作，過點作直線于，交于、，利用一次函數(shù)解析式確定，，則，然后證，利用相似比求出的長，得、的長，當(dāng)點與點重合時，最大；點與點重合時，最小，然后計算出和得到的范圍，即可求解．【解答】解：連接，如圖，點為弦的中點，，，點在以為直徑的圓上（點、除外），以為直徑作，過點作直線于，交于、，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，解得，則，，，，，，，，，，，即，解得，，，，，設(shè)面積為，當(dāng)點與點重合時，最大；點與點重合時，最小，的范圍為，面積的最小值為2，面積的最大值為7，故答案為：2；7．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)．（2021?自貢）如圖，為的直徑，弦于點，于點，若，，則的長度是A．9.6 B． C． D．10【分析】根據(jù)垂徑定理求出可得的長度，利用，求出，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，，，，即：，，，．故選：．【點評】本題考查垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理知識，關(guān)鍵在于合理運用垂徑定理和勾股定理求出邊的長度．（2020?濱州）在中，直徑，弦于點，若，則的長為A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．【解答】解：如圖所示：連接，直徑，，，，，．故選：．【點評】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，正確得出的長是解題關(guān)鍵．（2021?西寧）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的半徑．【分析】由垂徑定理得，設(shè)，則，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：弦于點，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理．熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．（2019?湘潭）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積（弦矢矢．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑定理（當(dāng)半徑弦時，平分可以求解．現(xiàn)已知弦米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為10平方米．【分析】根據(jù)垂徑定理得到，由勾股定理得到，求得，根據(jù)弧田面積（弦矢矢即可得到結(jié)論．【解答】解：弦米，半徑弦，，，，弧田面積（弦矢矢，故答案為：10．【點評】此題考查垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和扇形面積解答．考點2：圓周角定理及其運用①圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．②圓周角定理及其推論：（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a圖b圖c(2)推論：①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.②直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.③圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.｛弦、弧與圓周角關(guān)系★｝（2021?下城區(qū)校級四模）如圖，等腰的頂角為，以腰為直徑作半圓，交于點，交于點，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，取的中點，連接，．利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求出，可得結(jié)論．【解答】解：連接，取的中點，連接，．是直徑，，，，，，的度數(shù)為，故選：．【點評】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝（2021?南平模擬）如圖，四邊形中，連接、，點為的中點，若，則下面結(jié)論不一定正確的是A． B． C． D．點、、到點的距離相等【分析】由點為的中點，，可知，在以為圓心，為直徑的圓上，由圓心角定理可證．【解答】解：點為的中點，，，在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，，，點、、到點的距離相等，當(dāng)時，，而題目中未給出．故選：．【點評】本題以四邊形為背景考查了圓心角定理，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造圓．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝如圖，，是上的點，，是的中點，若的半徑為5，則四邊形的面積為A．25 B． C． D．【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到，易得和都是等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：連，如圖，是的中點，，，又，和都是等邊三角形，．故選：．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★｝如圖，為的直徑，點、是的三等分點，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先求出，根據(jù)點、是的三等分點求出的度數(shù)是，再求出答案即可．【解答】解：，，的度數(shù)是，點、是的三等分點，的度數(shù)是，，故選：．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，題目比較典型，難度不是很大．｛弦、弧與圓周角關(guān)系★★｝（2020秋?永城市期末）如圖，點，，，均在以點為圓心的圓上，連接，及順次連接，，，得到四邊形，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接．證明是等邊三角形，再利用圓周角定理解決問題即可．【解答】解：連接．，，，是等邊三角形，，，故選：．【點評】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．｛圓周角定理★｝（2021秋?寬城區(qū)期末）如圖，在圓內(nèi)接五邊形中，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先利用多邊的內(nèi)角和得到，則可計算出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求的度數(shù)．【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為，，，，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，．故選：．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，運用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．｛圓周角定理★｝（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，，平分．若，，的長為A．4 B． C． D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：過點作于，四邊形內(nèi)接于，，，，，平分，，，，，故選：．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．｛圓周角定理★｝（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為5，，則弦的長為．【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和已知條件求出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：連接、，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，的半徑為5，，故答案為：．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，點在的延長線上，，交于點，且．則．【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：連接，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，能熟記等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．｛圓周角定理★｝如圖，在中，，，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系和等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在中，，，，．故答案為：．【點評】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)圓心角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答．｛圓周角定理★｝如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，，則68．【分析】根據(jù)圓周角定理及已知可求得的度數(shù)，從而可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和公式即可求得的度數(shù)，從而可得出的度數(shù)．【解答】解：是半圓的直徑，，，．．，．，．故答案是：68．【點評】本題利用了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，直徑對的圓周角是直角求解．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)．【分析】可求得，繼而可求得的度數(shù)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理來求的度數(shù)．【解答】解：，，，．又，，．故答案為：【點評】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．｛圓周角定理★｝如圖，在平行四邊形中，，點，在上，點在優(yōu)弧上，，則的度數(shù)為．【分析】連接，先由平行四邊形的性質(zhì)得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則，然后證，即可得出．【解答】解：連接，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛圓周角定理★｝如圖，在中，兩條弦和的延長線交于點，已知，，則的大小為．【分析】先證，得，再由圓周角定理得，然后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：，，，即，，，，故答案為：．【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．｛圓周角定理★｝如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，若，，則等于65度．【分析】首先判定是等腰三角形，由該三角形的內(nèi)角和定理推知，所以根據(jù)圓周角定理求得．【解答】解：，．．又，．，．故答案是：65．【點評】本題利用了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．（2019?德州）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長度為．【分析】連接、，交于，如圖，利用垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，根據(jù)勾股定理得到，解得，然后利用面積法出，從而得到的長．【解答】解：連接、，交于，如圖，，，設(shè)的半徑為，則，，在中，，解得，，，，，，，．故答案為．【點評】本題考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．（2021?赤峰）如圖，點，在以為直徑的半圓上，且，點是上任意一點，連接、．則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到，則可計算出，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．【解答】解：連接，如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，為直徑，，，．故選：．【點評】本題考查了圓周角定理：求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．（2021?泰安）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，則的長為A． B． C． D．2【分析】延長、交于，先利用直角三角形的性質(zhì)求得的長，然后再求得的長，從而求得答案．【解答】解：延長、交于，，，，，，在中，，在中，，，故選：．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．（2020?廣西）如圖，已知四邊形為的內(nèi)接四邊形，平分，于點，，，則的值為A． B． C．2 D．【分析】延長到，使，連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，再判斷為等邊三角形得到，于是可證明，所以，接著判斷為等邊三角形，所以，然后計算出得到的長，從而得到的長．【解答】解：延長到，使，連接，如圖，平分，，，，為等邊三角形，，在和中，，，，而，為等邊三角形，，，在中，，，．故選：．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．也考查了圓周角定理．考點3：點與圓的位置關(guān)系①點與圓的位置關(guān)系：設(shè)點到圓心的距離為d.(1)d<r?點在⊙O內(nèi)；(2)d＝r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★★｝（2021秋?晉安區(qū)校級期中）如圖，在中，，，，點是半徑為2的上一動點，點是的中點，則的最大值是A．3 B．3.5 C． D．【分析】如圖，取的中點，連接，．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理求出，，再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．【解答】解：如圖，取的中點，連接，．，，，，，，，，，，，，的最大值為．故選：．【點評】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★★｝（2021秋?硚口區(qū)校級月考）如圖，在銳角中，，，．是平面內(nèi)一動點，且，則的最小值是．【分析】作于，因為，，，可得，，在上截取，則為等邊三角形，以為圓心，2為半徑作，根據(jù)，可得點在上運動，當(dāng)經(jīng)過圓心時，最小，其最小值為的直徑減去的長．【解答】解：如圖，作于，，，，，，，，，在上截取，則為等邊三角形，以為圓心，2為半徑作，，點在上運動，當(dāng)經(jīng)過圓心時，最小，最小值為．故答案為：．【點評】本題考查勾股定理，銳角三角形函數(shù)定義，圓周角定理．解題的關(guān)鍵是得出點在上運動．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★★｝（2021秋?臺安縣期中）一個已知點到圓周上的最長距離是9，最短距離是3，則此圓的半徑是6或3．【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討論．【解答】解：①當(dāng)點在圓外時，圓外一點和圓周的最短距離為3，最長距離為9，圓的直徑為，該圓的半徑是3；②當(dāng)點在圓內(nèi)時，點到圓周的最短距離為3，最長距離為9，圓的直徑，圓的半徑為6，故答案為6或3．【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★｝（2021秋?海州區(qū)校級期中）平面內(nèi)有一點到圓上最遠距離是8，最近距離是4，則圓的半徑是2或6．【分析】分兩種情況：點在圓外，直徑等于兩個距離的差；點在圓內(nèi)，直徑等于兩個距離的和．【解答】解：點到的最近距離為4，最遠距離為8，則：當(dāng)點在圓外時，則的直徑為，半徑是2；當(dāng)點在圓內(nèi)時，則的直徑是，半徑為6，故答案為：2或6．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意此題的兩種情況．從過該點和圓心的直線中，即可找到該點到圓的最小距離和最大距離．｛點與圓的位置關(guān)系-動點問題★｝（2021秋?東湖區(qū)校級期中）若的直徑為4，點在圓外，則線段長的取值范圍是．【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．【解答】解：因為的直徑為4，點在圓外，所以線段長的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有：①點在圓外；②點在圓上；③點在圓內(nèi)．（2020?泰安）如圖，點，的坐標(biāo)分別為，，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點為線段的中點，連接，則的最大值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點在半徑為1的上，通過畫圖可知，在與圓的交點時，最小，在的延長線上時，最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，在上，且半徑為1，取，連接，，，是的中位線，，當(dāng)最大時，即最大，而，，三點共線時，當(dāng)在的延長線上時，最大，，，，，，即的最大值為；故選：．【點評】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定為最大值時點的位置是關(guān)鍵，也是難點．（2019?樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連接，則線段的最大值是A．3 B． C． D．4【分析】連接，如圖，先解方程得，，再判斷為的中位線得到，利用點與圓的位置關(guān)系，過圓心時，最大，如圖，點運動到位置時，最大，然后計算出即可得到線段的最大值．【解答】解：連接，如圖，當(dāng)時，，解得，，則，，是線段的中點，為的中位線，，當(dāng)最大時，最大，而過圓心時，最大，如圖，點運動到位置時，最大，，，線段的最大值是．故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．（2018?泰安）如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值為A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點位于位置時，取得最小值，據(jù)此求解可得．【解答】解：，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點位于位置時，取得最小值，過點作軸于點，則、，，又，，，故選：．【點評】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時點的位置．（2021?廣東）在中，，，．點為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為．【分析】根據(jù)，，作的外接圓，連接，當(dāng)、、三點共線時，的值最小．將問題轉(zhuǎn)化為點圓最值．可證得為等腰直角三角形，，同樣可證也為等腰直角三角形，，由勾股定理可求得的長為，最后最小值為．【解答】解：如圖所示．，，作的外接圓（因求最小值，故圓心在的右側(cè)），連接，當(dāng)、、三點共線時，的值最小．，，為等腰直角三角形，．，，，作于點，為等腰直角三角形．，，在中，．當(dāng)、、三點共線時，最小為．故答案為：．【點評】本題考查了動點與隱圓條件下的點圓最值，涉及到點與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等基礎(chǔ)知識點，難度較大，需要根據(jù)條件進行發(fā)散思維．解題關(guān)鍵在于確定出點的運動軌跡為一段優(yōu)弧．考點4：切線性質(zhì)及其證明①切線的判定：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點.（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.｛切線的性質(zhì)★★｝（2020秋?衢江區(qū)期末）如圖，、分別切于點、，且，切于點，交、于、兩點，則的周長為A．32 B．24 C．16 D．8【分析】由、分別切于點、，切于點，可得的周長，繼而求得答案．【解答】解：、分別切于點、，，切于點，，，的周長．故選：．【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，得到的周長是關(guān)鍵．｛切線的性質(zhì)★★｝（2021?城陽區(qū)一模）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，是直徑，，過點的切線與延長線交于點，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可以求得的度數(shù)，由得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，可以求得的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：連接，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，過點的切線與延長線交于點，，，，．故選：．【點評】本題考查切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．｛切線的性質(zhì)★★｝（2021?海城市模擬）如圖，在中，是外一點，、與相切于、兩點，、是上兩點，若，則A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和切線長定理求出和的度數(shù)即可．【解答】解：連接，、與相切于、兩點，，，，、是上兩點，，．故選：．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識；熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．｛切線的性質(zhì)★★｝如圖，內(nèi)接于，，直線與相切，則A． B． C． D．1【分析】連接，，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，由三角函數(shù)的定義即可得到答案．【解答】解：連接，，，，，，直線與相切，，，，故選：．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．｛切線的判定★｝（2020?威海）如圖，的外角的平分線與它的外接圓相交于點，連接，，過點作，交于點．求證：（1）；（2）為的切線．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，得到，于是得到；（2）如圖，連接并延長交于，連接，，推出直線垂直平分，得到，求得，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，平分，，，，，；（2）如圖，連接并延長交于，連接，，，，直線垂直平分，，，是的半徑，為的切線．【點評】本題考查了切線的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．｛切線的證明★｝（2021?巴中）如圖、內(nèi)接于，且，其外角平分線與的延長線交于點．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分面積．【分析】（1）連接，證明即可，利用角平分線的意義以及等腰三角形的性質(zhì)得以證明；（2）求出圓的半徑和陰影部分所對應(yīng)的圓心角度數(shù)即可，利用相似三角形求出半徑，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求出．【解答】解：（1）如圖，連接并延長交于，，內(nèi)接于，所在的直線是的對稱軸，也是的對稱軸，，又，，，即，是的切線；（2）連接，，，，由（1）可知是的對稱軸，垂直平分，，設(shè)半徑為，在中，由勾股定理得，，，解得（取正值），經(jīng)檢驗是原方程的解，即，又，是等邊三角形，，，．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外接圓與外心，扇形面積的計算，靈活運用切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．｛切線的性質(zhì)★｝（2021秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，是的弦，點在過點的切線上，且，交于點，已知，則．【分析】連接，則，且，得，求出的度數(shù)，由得，可求出的度數(shù)，然后在中求出的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接，與相切于點，，，，，，，，，，故答案為：．【點評】此題考查圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，連結(jié)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．｛切線的證明★｝（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．【分析】（1）由圓周角定理得，即，再由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得，，則，然后由平行線的性質(zhì)得，則，即，即可得出結(jié)論；（2）證，得，則，即可求解．【解答】（1）證明：是的直徑，，即，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，．【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．｛切線的證明★｝（2021?朝陽）如圖，是的直徑，點在上，且，點是外一點，分別連接，、，交于點，交于點，的延長線交于點，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若的半徑為6，，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和等量代換可得，進而得出，由可得，從得出結(jié)論；（2）由，可得，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)可求出、、，由勾股定理求出，由三角形的面積公式求出，再根據(jù)圓周角定理可求出，進而根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．【解答】解：（1），，，，，即，是的切線；（2）過點作于，的半徑為6，，，，，在中，，由三角形的面積公式可得，，即，，又，在中，．【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)以及勾股定理是解決問題的前提．（2021?青島）如圖，是的直徑，點，在上，點是的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理得到，進而求出，根據(jù)垂徑定理得到，進而得出答案．【解答】解：是的切線，，，，是的直徑，，，點是的中點，，，故選：．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．（2021?福建）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為，．若，，則等于A． B． C． D．【分析】連接、、，交于，如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到，，平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后求出即可．【解答】解：連接、、，交于，如圖，，與相切，切點分別為，，，，平分，，，，，，在中，，，．故選：．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．（2019?南京）如圖，、是的切線，、為切點，點、在上．若，則．【分析】連接，根據(jù)切線長定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接，、是的切線，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了切線長定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點5：正多邊形與圓①正多邊形的有關(guān)概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.②內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．｛正多邊形與圓★｝如圖所示，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：正五邊形內(nèi)接于，，，，故選：．【點評】本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的內(nèi)角．｛正多邊形與圓★｝（2021秋?臨沂期中）以半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是A． B． C． D．【分析】分別畫出對應(yīng)的圖形計算出三條邊心距，利用勾股定理的逆定理可證明它們構(gòu)建的三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式計算此三角形的面積．【解答】解：如圖1，為的內(nèi)接正三角形，作于，連接，，；如圖2，四邊形為的內(nèi)接正方形，作于，連接，，；如圖3，六邊形為的內(nèi)接正六邊形，作于，連接，，，，半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為2，，，，以三條邊心距所作的三角形為直角三角形，該三角形的面積．故選：．【點評】本題考查了正多邊形與圓：熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念和正多邊的性質(zhì)，會解直角三角形．｛正多邊形與圓★★｝（2021秋?平陽縣期中）我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（圖．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，連結(jié)，，交于點，，則A．2 B． C． D．【分析】設(shè)正六邊形外接圓的圓心為，連接，求得，過作于，推出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求得，于是得到答案．【解答】解：設(shè)正六邊形外接圓的圓心為，連接，則，由題意得，，，過作于，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形和正十二邊形的性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．｛正多邊形與圓★★｝（2021?寧德模擬）已知四個正六邊形如圖擺放在圓中，頂點，，，，，在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為2，則小正六邊形的邊長是A． B． C． D．【分析】在邊長為2的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出和半徑，進而得出小正六邊形對應(yīng)點的距離，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑，即邊長即可．【解答】解：連接交于，則點是圓心，過點作于，連接，取的中點，連接，，由對稱性可知，，由正六邊形的性質(zhì)可得，，，由正六邊形的性質(zhì)可知，、、都是正三角形，，故選：．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．｛正多邊形與圓★｝（2020秋?張店區(qū)期末）如圖，有一個半徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示，連接、，過點作于點，正六邊形的邊長為，，六邊形是正六邊形，，，，，，，，，，，圓形紙片的半徑為，故選：．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用直角三角形的性質(zhì)及正六邊形的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵．｛正多邊形與圓★｝（2021秋?龍江縣校級期末）如圖，已知點、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為12．【分析】連接，，根據(jù)圓周角定理得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接，，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，點、、、在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，，，這個正多邊形的邊數(shù)，故答案為：12．【點評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．｛正多邊形與圓★★｝（2021?孝義市二模）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率．若設(shè)的半徑為，圓內(nèi)接正邊形的邊長、面積分別為，，圓內(nèi)接正邊形邊長、面積分別為，．劉徽用以下公式求出和．，．如圖，若的半徑為1，則的內(nèi)接正八邊形的面積為．【分析】利用勾股定理求出正方形的邊長，根據(jù)即可．【解答】解：連接，，，四邊形是圓內(nèi)接正四邊形，，是圓的直徑，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形，利用圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．（2021?貴陽）如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求，由切線的性質(zhì)得：，最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論．【解答】解：正五邊形的內(nèi)角，，、分別與相切于、兩點，，，故選：．【點評】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和、內(nèi)角的度數(shù)、切線的性質(zhì)，本題的五邊形內(nèi)角可通過外角來求：．（2021?隨州）如圖，是的外接圓，連接并延長交于點，若，則的度數(shù)為．【分析】連接，由圓周角定理的推論可知，因為與所對的弧為，所以．所以．【解答】解：連接，如圖．為直徑，，與所對的弧為，．．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓周角定理的推論，直徑所對的圓周角為直角，同弧所對的圓周角相等．掌握這些性質(zhì)是及作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（2020?綏化）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接、，，垂足為，等于54度．【分析】連接，．求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】解：連接、，如圖所示：是正五邊形，，，，，，故答案為：54．【點評】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知