2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習：三角形與四邊形綜合 模擬試題匯編（含答案）

2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習：三角形與四邊形綜合模擬試題精選匯編

1.(2021?石家莊一模)如圖，在邊長為6的正方形*38中，點”為對角線3。上任

意一點(可與其。重合)，連接，"，將線段繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

AN,連接朋V,DN,設(shè)BM=x.

(1)求證：4ABMQXADN-,

(2)當x=\歷時，求"/V的長；

(3)嘉淇同學(xué)在完成(1)后有個想法：與也會存在全等的情況”，

請判斷嘉淇的想法是否正確，若正確，請直接寫出△48”與全等時x的值；若

不正確，請說明理由.

2.(2021?新華區(qū)模擬)如圖，在中，/力。3=90°,AC=3,BC=4.動

點。從點/出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿AC-CB-BA方向繞行一周，

動直線/從力C開始，以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交48、BC千D、E

兩點.當點尸運動到點力時，直線/也停止運動.

(1)求點尸到的最大距離；

(2)當點P在/。上運動時，

①求tan/a?E的值；

②把△ODE繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點尸的對應(yīng)點P落在即上時，皿的對應(yīng)線

段ED恰好與垂直，求此時f的值.

(3)當點尸關(guān)于直線。后的對稱點為"時，四邊形也的能否成為菱形？若能，直接

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寫出￡的值；若不能，請說明理由.

3.(2021?裕華區(qū)模擬)如圖，在矩形/笈8中，AB=8,BC=\2,點H在48上，

AE=5,尸是4D上一點，將矩形沿/石折疊，點”落在點4處.連接力G與咫相交

(2)若點4在NA4C的平分線上，求尸。的長；

(3)求點4,。距離的最小值，并求此時tanN/總的值;

(4)若點4在△月4。的內(nèi)部，直接寫出x的取值范圍.

4.(2021?新華區(qū)模擬)已知：如圖，。488中，E為。。的中點，連接/E并延長交

的延長線于點尸，連接力。、DF.

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(1)求證：AD=CF-,

(2)嘉琪說：“添加一個條件，能使四邊形力是矩形“，你是否同意嘉琪的觀點?

如果同意，請?zhí)砑右粋€條件，并給出證明；如果不同意，請說明理由.

5.(2021?邯鄲模擬)如圖1,圖2中，正方形的邊長為6,點尸從點B出發(fā)沿

邊BC-CD以每秒2個單位長的速度向點。勻速運動，以期為邊作等邊三角形BPQ,

使點。在正方形月B8內(nèi)或邊上，當點。恰好運動到40邊上時，點尸停止運動.設(shè)

運動時間為f秒(f>0).

(1)當t=2時，點。到BC的距離=;

(2)當點尸在邊上運動時，求。。的最小值及此時f的值；

(3)若點。在力。邊上時，如圖2,求出f的值；

(4)直接寫出點Q運動路線的長.

6.(2021?蚌埠模擬)在中，^BAC=90°,。是3C的中點，E是40的中

點，過點力作/歹//3。交BE的延長線于點足

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(1)證明四邊形力。。尸是菱形；

(2)若/。=4,43=5,求菱形力。。戶的面積.

7.(2020?黃埔區(qū)模擬)如圖，正方形488,點E,尸分別在力。，8上，且DE=

CF,力尸與BE相交于點G.

(1)求證：BE=AF;

(2)若40=4,DE=\,求/戶的長.

8.(2021?新泰市模擬)在Rta/BC中，N/CB=90°,AC=BC,ZCAB=ZCBA

=45°,。為3。上一點，連接過點。作CE14D于點區(qū)

(1)如圖1,過點B作用11BC交CE的延長線于點"，求證：XACD^XCBF：

(2)如圖2,若。為6。的中點，的延長線交月B于點“，連接。跖求證：/

BDM=ZADC-,

(3)在(2)的條件下，若/反=4,CE=2,直接寫出C"的長.

9.(2021?昆山市模擬)如圖，在△月3。中，AB=CB,AABC=9G°,。為月B延長

線上一點，點E在邊上，旦BE=BD,連接/E,DE,DC.

(1)求證：△ABE^XCBD、

(2)若NC4E=30°,求的度數(shù).

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A

10.（2021?蓬安縣模擬）如圖，在△/BC和△08中，//=/。=90°,AC=BD,

力。與3。相交于點O.

（1）求證：4AB8XDCB，,

（2）△O3C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

11.（2021?南海區(qū)模擬）如圖，在△/B。中，/3=力。，點。是5。的中點，點E在

AD±.求證：跳MCE（要求：不用三角形全等的方法）

12.（2021?碑林區(qū)校級四模）如圖所示，點后在△月3。外部，點。在6。邊上，DE交

ZC于尸，若Nl=N2=/3,AD=AB,求證：AC=AE.

13.（2021?興平市一模）如圖，在△力3C中，ZC=90°,力。平分/C4B,交。3于

點。，過點。作。E14B于點E.

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(1)求證：AC=AE\

(2)若/。=3,43=5,求的長.

14.(2021?競秀區(qū)一模)如圖，平行四邊形中，AB=9,AD=13,tam4=-^,

5

點尸在射線力。上運動，連接陽，沿/汨將△月咫折疊，得△APB.

(1)如圖1,點尸在線段力。上，當N。/%'=20°時，2APB=度；

(2)如圖2,當必」5。時，求線段%的長度；

(3)當點/'落在平行四邊形的邊所在的直線上時，求線段E4的長度；

(4)直接寫出：在點尸沿射線力。運動過程中，的最小值是多少？

圖1圖2

15.(2021?皇姑區(qū)二模)如圖，矩形/BCD的對角線交于點。，且DEIIAC,

CEIIBD.

(1)求證：四邊形。。即是菱形；

(2)若NA4C=30°,AC=4,求菱形0c班的面積.

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參考答案

1.（1）證明：在正方形ASC。中，AB=AD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AM=AN,

；NBAD=/MAN=90°,

ZBAM=ZDAN,

在和

<AB=AD

"ZBAM=ZDAN,

AM=AD

：.4ABMg/\ADN<SAS）.

解：（2）是正方形/BCD的對角線，且/B=6,

，BD=6&,NADB=45。,

.?.MD=BD-BM=6>/2-V2=阪

由得：ND=BM=V2?/.ADN=AABM=45°,

：.ZMDN=ZADB+Zy17VL>=450+45°=90°,

在RSMDN中,MN=VMD2+ND2=7（5V2）2+（V2）2=V52=2^-

（3）正確；x=3V2.

理由如下：

如圖：當/ML3。，易得△力3〃和a/izw是全等的等腰直角三角形，

ANDA=AAJ3M=45°,AN=AM,

I,正方形中，/_ADB=/_ABD=\^,

:.Z.NDM=90",

ZNAM=ZAMD=ZZNDM=90°,

四邊形AMDN為矩形,

又，：AN=AM,

.?.矩形力朋LW為正方形，

:ANMD^XDAN<SAS）,

」.△TVMZ注（全等傳遞性），

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此時X缶日=3&.

當△月BAf與全等時x=3&.

2.解：(1)當點P與點。重合時，點P到4S的距離最大,

設(shè)Rt△月B。斜邊45上的高h,

???//。3=90°,AC=3,BC=4,

?'?AB=VAC2+BC2=V32+42=5，

△ABC的面積=^AB'h=^AOBC,

.,AC-BC3X412

??h=---------=-------=—,

AB55

即點尸到的最大距離是孕；

(2)①當點尸在/。上運動時，

設(shè)運動時間為fs,則有4P=3。CE=t,

?.,直線////。，

ZPDE=ZAPD,

如圖1,過點。作OG1/C于點G,則四邊形CH0G是矩形,

DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG,

,〃DGBC

AGAC

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...t=_4—,

AG3

3

:.AG=—t,

4

3Q

44

...tanNAPD^'=g巧,

鏟

即tan/PDE范；

y

(2)---EDLAB,

：.ABED+AB=90°,

???/Z+NB=90°,

：.￡BED=/.A,

?直線///月G

.,?直線UBG

：.ACEP^-APED=9Q°,乙PED+乙BED=9B°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：LPED=^PED,

：.ZCEP=/_BED,

ZCEP=N/,

又,：￡ECP=LACB,

:ACEP^XCAB,

,CEPC

"AC=BC?

即t=3~-3t

13~4(

解得：t4；

xO

(3)四邊形電的能成為菱形，理由如下：

.??點少是點尸關(guān)于直線。名的對稱點，

垂直平分PF,

???當依也垂直平分時，四邊形PEFD為菱形.

?.?直線////C,

XDBEsXABC,

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.DE_BE

"AC-BC，

即DE二4一t

即3-「

3

DE無（4-t）>

①當點。在月。上時，連接班如圖2所示：

若尸尸垂直平分DE,則有得?！?3-3f,

2

（4-。=3-3。

8

解得：t等

②當點尸在上時，P、F、后三點都在x軸上，構(gòu)不成四邊形;

③當點尸在A4上時，

若點尸在直線，的右側(cè)，連接PF,如圖3所示：

類比①可得：|（4-t）=i（3t-7）>

解得：t=^;

若點尸在直線/的左側(cè)，P、E、F、。四點構(gòu)不成凸四邊形；

綜上所述，當f為言或澄■時，四邊形陽江》為菱形.

?29

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3.解：⑴如圖1中,

圖1\

\

?.?四邊形是矩形，

??."=90°,

-：AJ3=8,BC=12,

?1?^4C，=VAB2+BC2=V82+122=4V13-

故答案為：4713.

(2)如圖1中，,??44'平分NA4C,

：./_EAA'=/_FAA',

由翻折可知，AA,工EF,

：./_EAA'+￡AEF=9(r,/.AFE+Z.FAA'=90°,

￡AEF=￡AFE,

：.AE=AF=5,

：.CF=AC-AF=4773-5.

(3)如圖2中，連接。區(qū)DA'.

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在RtAADE中，/_EAD=^°,月￡=5,AD=BC=12,

DE=7AE2+AD2=7S2+122=13,

■：EA=EA'=5,

：.DA'>DE-EA'=8,

■.DA'的最小值為8,

此時E,A',。共線，設(shè)R4=E4'=x,則有(12-力2=弟+82,

解得x=￥，

o

.?.tan//依譚AE=學(xué)J3

(4)如圖3-1中，當點4落在/C上時,

圖3-1

?.?/4￡74/屈4。=90',N/CB+N及4c=90°,

:.乙AEP=乙ACB,

/.tanZAEP=tanZACB,

AB

P-A-而

AE

P-A8

5-

12

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??.*學(xué)

如圖3-2中，當點4落在3。上時，過點P作PHLBC于H,貝I］勿=40=8,PA

=BH.

圖3-2

在RtZ\6￡>r中，BE=3,EA'=胡=5,

■?BA，=VAyE2-BE2=V52-32=4>

-：/_B=/_EA'P=/_PHA'=90°,

：./_BA'E+/.PA'7/=90°,/_PA'H+/_A'9=90°,

E=NA'PH,

:ABA'ES/\HPA，,

,BE_BAZ

H~PH'

,3_4

"AzH-g*

.-.A'H=6,

：.AP=BH=BA'+A'H=10.

觀察圖像可知當羋<xvl。時，點4在△48。的內(nèi)部.

4.證明：（1）,四邊形ZB8是平行四邊形，

：.ADIIBC,AD=BC.

ZDAE=ZCFE,/_ADE=/_FCE,

???E為。。的中點，

ED=EC.

：AADE^/\FCE〈AAS）,

：.AD=CF.

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（2）答：同意.

當歹時，四邊形力是矩形.

理由如下：

■：ADIICF,AD=CF,

???四邊形/CFD是平行四邊形.

■：DC=AF,

，四邊形/。陽是矩形.

5.解：（1）如圖1,由運動知，BQ=2t=4,

過點。作QHLBC于H,

???△與尸。是等邊三角形，

；.BP=BQ=4,￡P(guān)BQ=6G°,

在Rt△BPH中，PH=BP*sinZPBQ=4X苧=24

故答案為2y；

解：（2）點P在3。邊上運動時，有/。3。=60°,

根據(jù)垂線段最短，當。。，夕。時，CQ最小.

如圖，在直角三角形BC0中，NQBC=6G：

???NBCQ=30°

???^<2=yBC=3

：.BP=BQ=3,

?一3

2

CQ=ZQBC=3A/3,

(3)若點。在月。邊上，WJCP=2t-69

?：BA=BC,BQ=BP,ZA=ZC=90°,

???RtZ\A4Q^RtZ\BCP(HL)

\AQ=CP=2t—6,

:.DQ=DP=\2-2t,

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?：BP=PQ,

在Rt2\PD0和RtZ\BC尸中，由勾股定理可得，D(f+DI^=Q戶,BC?+C9=B/

：.2(12-2。2=62+(2f-6)2

解得：t廣9+3百(不合題意，舍去)，t2=9-3V3

.".t=9-3V3；

當點P在6C上從點6運動到點。時，點。從點3運動到點Q,

?.?△加。是等邊三角形，

：.BQ=BC,￡QBC=60°

當點尸在8上從點。運動到如圖所示的點尸時，點。從如圖所示的點Q運動到Q,

??.△3PQ是等邊三角形，

：.BP=BQ,/PBQ=60°=ZQBC,

：.ZPBC=ZQBQ,

?：BQ=BC,

:ABQQ9XBCP,

:.QQ=CP,

???點。的運動路線長等于點。的運動路線長，

由⑶知，-9-3b，

..?點。的運動路線長等于2(9-373)=18-673

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AD

IA圖1P'CI

B

6.(1)證明：如圖，-：AFIIBC,

ZAFE=ZDBE,

??,E是4D的中點，40是8。邊上的中線,

/.AE=DE,BD=CD,

在△4FE和△OBE中，

"ZAFE=ZDBE

,ZFEA=ZBED,

AE=DE

：./\AFE^/\DBE(AAS);

：.AF=DB.

■：DB=DC,

：.AF=CD,

???四邊形是平行四邊形，

?.?/期。=90°,。是的中點，

：.AD=DC=—BC,

2

四邊形40。戶是菱形；

(2)解：連接。月

■：AFHBC,AF=BD,

四邊形/囪卬是平行四邊形，

：.DF=AB=5,

??,四邊形尸是菱形，

：.S=—AC*DF=10.

2

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：.ABAE=/_ADF=90Q,AB=AD=CD,

,:DE=CF,

??.AE=DF,

在△A4E和9中，

'AB=AD

,ZBAE=ZADF,

AE=DF

：.j\BAE^/\ADF(SAS),

；,BE=AF?,

(2)解：???4B=4,四邊形4s8是正方形，

.\AD=4,

???DE=1,

.\AE=3,

22=22=5

?1?^=7AB+AE74+3，

4BAE^4ADF,

：.BE=AF=5.

8.(1)證明：.?.4914C,CELAD,

：.ZAEC=ZCBF=Z/CB=90°,

:.NCAIXNACE=NBCRNACE=9G°,

ZG4Z?=ZBCF,

又?.?/C=3C,

.'.^ACD^^CBF(ASA);

(2)證明：過點B作成'18。交CH的延長線于點F,如圖2所示:

由(1)得：XACD^XCBF,

：./_ADC=AF,CD=BF,

YD為BC的中點，

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CD=BD,

:.BD=BF,

?：^ACB=90°,AC=BC,

.\^ABC=45°,

??,/CH尸=90°,

：，Z.FJ3M=90°-45°=45°,

ZDBM=ZFBM,

又

m叢BFM（SAS）,

???NBDM=ZF,

：./_BDM=/_ADC\

（3）解：連接。尸，如圖3所示：

???C石1皿AE=4,CE=2,

22=

...BC=AC=VAE<E"+22=2遙，

由（2）得：BD=BF,CD=BD*BC=QXBDM9XBFM,

22==

:.DM=FM,^=VAC-K：D7（2V5）2+（V5）2=5?

；.DE=AD-AE=1,

■：ADBF=90°,

A△》/次是等腰直角三角形，

DF=血

^=7DF2-DE2=7（VIO）2-I2=3?

設(shè)DM=FM=x,貝ijEM=3-x,

在中，由勾股定理得：12+（3-x）2=*,

解得：x=-|,

0

54

.\EM=3--=—

339

410

??.CM=CE+EM=2+-=—.

33

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D

9.(1)證明:

???/4SC=90°,

ZZ?BC=90°,

在和△C3Z5中

'AB=CB

,ZABE=ZCBD

BE=BD

:.XABE^XCBD(SAS);

(2)解：

■：AB=CB,N/3C=90°,

Z5G4=45°,

：.AAEB=/_CAE+/_BCA=300+45°=75°,

,:XABE^XCBD,

:.乙BDC=LAEB=N5°.

10.證明：(1)在△/BC和△08中，//=/。=90°

AC=BD,BC為公共邊，

；.Rt△月BgRtZXOCB(HL);

(2)△O3C是等腰三角形,

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???RtZ\40C9Rt△。困

???2ACB=2DBC,

/.OB=OCy

「.△OB。是等腰三角形.

11.證明：.?.48=4。，點。是3。的中點,

：.ADA_BC,BD=CD,

BE=CE,

?."A4C=N1+NZMG

/_DAE=/_2+(DAC,

???/_BAC=/_DAE,

又???/2+/月助+/E=180°,

Z3+ZZ?FC+ZC=180°,

Z2=Z3,￡AFE=Z.DFC,

??.NE=NG

在△ZB。和△40石中，

，ZABC=ZDAE

<ZE=ZC,

AB=AD

：.l\ABC^LADE(A4S),

.\AC=AE.

13.(1)證明：???/0=90°,

/.PCI?1C,

???4D平分NC4B,DEIAB,

DC=DE,

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在Rt2X4D。和RtZX/ZZE1中，

(DC=DE

lAD=AD，

RtAXZJC^RtA/lZ?^(HL),

.AC=AE',

(2)解：VZC=90°,AC=3,AB=5,

?1?BC=VAB2-AC2=VB2-33=4，

由(1)知，DE=DC,AE=AC=3,

:.BE=AB-AE=2,

在RtABDE中，BD=BC-CD=4-DE,

由勾股定理得：BI^=BC+D%

即(4-DE)2=22+D￡C,

解得：DE*,

BD=4——.

22

14.解：(1)當24'在直線40的右側(cè)時，/_APB=/_A'PB*(1800-20°)=

80°,

當在直線AO的左側(cè)時，/_APB=/_A'PB*(180°+20°)=100°,

故答案為：80或100;

(2)如圖，作BH1AD于H,

圖2

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ADIIBC,

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\'PAfIB。，

：.PA'\_AD,

：,/_APA'=90°,

：./_APB=/_A,PB=45°,

,.?ta