（人教A版）2021年新高二數(shù)學(xué)暑假講義-第十講 函數(shù)的圖象

第十講函數(shù)的圖象

【基礎(chǔ)知識】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期

性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）,

描點(diǎn)，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換

|吃）+」|

上個單位

移

ML<’：：啊n丑…）?

下

移MAX））個單位

I

（2）對稱變換

y=*x）的圖象——關(guān)于x軸對稱一?y=—外力的圖象:

y=./（x）的圖象——關(guān)于例對稱?y=?—x）的圖象；

y=/（x）的圖象-----關(guān)丁:原點(diǎn)對稱——“=—由一x）的圖象；

y=a\a>Q,且的圖象一~關(guān)了月?線”二工對稱一丫=1。&式（a>0,且。#1）的圖象.

（3）伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

y=*x）-----------------------;------------^y=Aax）.

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（?>0）倍

橫坐標(biāo)不變

y=*x）--------------------------------------=A/U）.

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）倍

（4）翻折變換

x軸下方部分翻折到上方

產(chǎn)/U）的圖象——;-、二二的圖象;

x軸及上方部分不變

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

y=/U)的圖象一一，.二：八十玷?八"?y=@D的圖象.

原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

［微點(diǎn)提醒］

記住幾個重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=_/(x)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)函數(shù)y=Xx)與y=2/?一式2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,加中心對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：fia+x)—J(a—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直

線x=a對稱.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

【例1】作出下列函數(shù)的圖象：

/nw

；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=x2-2W-l.

【解析】(1)先作出y=(3的圖象，保留圖象中x20的部分，再作出y=QJ的圖象

中x>0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得)，=住了的圖象，如圖①實(shí)線部分.

⑵將函數(shù)y=log”的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到

函數(shù)y=|log2a+1)|的圖象,如圖②.

X^-TJC—1,x20,

（3）力=。+2r—…,且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)上的圖象，再根據(jù)對

稱性作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖③.

規(guī)律方法作函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描

出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象

變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識

【解析】(1)法一易知g(x)=x+學(xué)為奇函數(shù)，故y=l+x+學(xué)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對

稱，排除C；當(dāng)xG(0,1)時，>->0,排除A；當(dāng)尤=無時，y=l+n,排除B,選項(xiàng)D滿足.

法二當(dāng)x=l時，川)=l+l+sinl=2+sin1>2,排除A,C；又當(dāng)x—+8時，y--Foo,排

除B,而D滿足.

(2)/(x)=2x2-ew,xG［-2,2］是偶函數(shù)，

又/2)=8-e2e(0,1),排除選項(xiàng)A,B；

x=2—r

當(dāng)x20時，y()2^e,/(X)=4JC—

所以八0)=—1<0,/(2)=8-e2>0,

所以函數(shù)/》)在(0,2)上有解，

故函數(shù);(x)在「。，2］上不單調(diào)，排除C,故選D.

規(guī)律方法1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

⑴從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)

的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（4）從函數(shù)的奇偶性，

判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：

從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

【例3—1】已知函數(shù)y（x）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

AKx）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0,+°°）

B?r）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）

D：*x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

【解析】將函數(shù)/U）=x|x|—2x去掉絕對值得

x2—2x,x20,

fix）—'[—x,2—2x,x<0,

畫出函數(shù)兀r）的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)7U）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為奇函

數(shù)，且在（一1,1）上是減少的.

【例3—2】已知函數(shù)y=/U）的圖象是如圖所示的折線ACB,且函數(shù)g（x）=log2（x+l）”，則不

等式_/U）2g（x）的解集是（）

A.{x|-U0}

B.{x|-lWxWl}

C.{x|-1}

D.{x|—l<rW2}

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),

作出函數(shù)g(x)圖象如圖,

x+y=2,[x=1

由〈得〈9

ly=log2(x+1),[y=l.

，結(jié)合圖象知不等式於)，k)g2(x+l)的解集為{x|—l<xWl}.

【例3—3】已知函數(shù)；(x)=Lc一其中加>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于X的方程

氏x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是.

【解析】在同一坐標(biāo)系中，作y=/(x)與y=〃的圖象.

下，心

~~ojmx

當(dāng)x>m時，X2—2mx+47M=(x—/n)2+47n—nz2,

...要使方程./u)=力有三個不同的根，則有4，”一加2<加，

即加―3加>0.又加>0,解得m>3.

規(guī)律方法1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，

其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)

與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程火x)=g(x)的根就是函數(shù)式處與g(x)

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式/u)<g(x)的解集是函數(shù)兀行的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

【真題演練】

d+；,g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

1.(2021?浙江高考真題)已知函數(shù)/(x)

y

A-jx)+g(x)4B-if*

c.y=/(x)g(x)

【答案】D

【詳解】

y=f(x)+g(x)-^=x2+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除A；

對于A,

y=/(x)_g(x)_；=x2—sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B;

對于B,

對于C,y=/(x)g(x)=sinx,則y'=2xsinx+lxIcosx,

<4,

71,，)O(外1)V2

當(dāng)x時，y=-x——十一+一x—>0,與圖象不符，排除C.

2(164J2

故選：D.

2.(2021.全國高三其他模擬)函數(shù)/(x)=)

【詳解】

因?yàn)椤ā獂）=（—x）-sin（T）+n=-Fsinx+-=一/（力，所以〃x）是奇函數(shù)，所以/（x）的圖

（一町IX）

象關(guān)于點(diǎn)（0,0）對稱，故排除B、C；當(dāng)X€（0,4）時，dsinx＞。，L＞0,所以當(dāng)xe（O,〃）時，/（x）＞0,

排除D.

故選：A.

3.（2021.寧波中學(xué)高三其他模擬）函數(shù)y（x）=（2"-2）sin2”的圖象大致為（）

\/\/1X

/V|「v

【答案】D

【詳解】

函數(shù)八》）的定義域?yàn)椋╢,o）5°，s），且

（2-2）g）=_（25）sin2x=

-XX

所以“X）為奇函數(shù)，由此排除BC選項(xiàng)，

當(dāng)y（x）=（2'-2'）sin2x=0此時方程的解為x=竽，僅wZ,Z70）

x2

（24-2-^）sinf2x—4（24--工

當(dāng)T時,佃，」.」一=￡

->0

4兀2&

所以A選項(xiàng)錯誤，故D選項(xiàng)正確.

4.（2021?陜西咸陽市?高三其他模擬）已知函數(shù)/。）=1|/一4何€R),則y=/(x)的大致圖象不可能

為（）

A.B.

x

yy

c.W,D.

(Ax

【答案】C

【詳解】

①當(dāng)a=0時，/(x)=N，則A符合，C不符合；

②當(dāng)a〉0時，f2(x)^\x2-a\=y2,

若?。?,即&或時，則y2=/-。，即/一丁2=。，則其圖象為雙曲線在x軸上方的部

分，

若丁＜。，即一五V工＜一右時，則)/=一一+。，即x?+y2=。，則其圖象為圓在X軸上方的部分，

故B符合；

③當(dāng)〃＜0時，f\x)=x2-a=y2,即其圖象表示為雙曲線的上支，故D符合.

5.(2021?全國高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|T2x-l|.

(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范圍.

【詳解】

2-x,x<2

(1)可得f(x)-\x-2\-<cc，畫出圖像如下:

x-2,x>2

,畫出函數(shù)圖像如下:

(2)f(x+a)=|x+a-2\,

如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出〃x),g(x)圖像,

y=/(x+a)是>=/(%)平移了時個單位得到,

則要使/(x+a)Ng(x),需將y=/(x)向左平移，即a>0,

當(dāng)y=/(x+")過時，|：+a-21=4,解得a=U或一上（舍去），

22

則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=f(x)向左平移^1…八11

一個單位，.\a>一.

2

['[Ay=g(x)

、,\/「

y=f{x+d)x'37/

Ax）

11、一/111/11111AX

-5-AJ-3-2--1Q12345

-----------------1-4-

【過關(guān)檢測】

1.函數(shù)/(x)=e"sinx(f為常數(shù)，t>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能為（）

【答案】B

【詳解】

Q/(0)=0,排除A選項(xiàng)；

當(dāng)OVXVTT時，sinx>0.則/(x)=ettsinx>0,排除D選項(xiàng)；

因?yàn)椋?gt;0,所以—>1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對于%>0,e%>e-%>0,

因?yàn)椴穒nxo|=卜in（一七）|,故九-,排除C選項(xiàng).

2.勻速地向一底面朝上的圓錐形容器注水，則該容器盛水的高度h關(guān)于注水時間t的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】A

【詳解】

設(shè)圓錐尸。底面圓半價r,高4,注水時間為r時水面與軸P。交于點(diǎn)。'，水面半徑AO=x,此時水面高

度PO'=/z,如圖：

Xhr

由垂直于圓錐軸的截面性質(zhì)知，一二—,即1=一?力，則注入水的體積為

rHH

V=-7rx2h=-?A)2?h=?h',

33H3H2

令水勻速注入的速度為叭則注水時間為，時的水的體積為V=近,

T.日俎3,32r

33H2Vt,J3HV3

J是得——--h=vtn/z=———=>〃="———?<Jt，

3H2"2Y2

而r,H,u都是常數(shù)，即是常數(shù),

所以盛水的高度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系式是〃=J竺i.W，0<?<巴二"，h'=J竺^]>0.

V7vr23v\7tr23

函數(shù)圖象是曲線且是上升的，隨r值的增加，函數(shù)〃值增加的幅度減小，即圖象是先陡再緩,

A選項(xiàng)的圖象與其圖象大致一樣，B,C,D三個選項(xiàng)與其圖象都不同.

故選：A

【答案】C

【詳解】

因?yàn)?(%)=期加定義域?yàn)镽,

又f(-x)=-xsin(-x)=Asinr=f(x),

所以函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，故排除AD,

結(jié)合選項(xiàng)BD,只需求解函數(shù)f(x)與直線y=尤在%>。時交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

7T

令jcsinx=x,xwO,解得sinx=l即工=耳+2匕i,

TT

當(dāng)2=0時，x=—>

2

所以函數(shù)/(力與直線y=x在％>0時的第一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

結(jié)合函數(shù)圖象可知，選項(xiàng)c符合題意,

故選：c.

4.函數(shù)/(%)=—；^—L的圖象是()

ev+e'

【詳解】

易知xeR,iTijf(-x)=+-r=--f—=-f(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù),

ex+exex+ex

這樣可排除A,8選項(xiàng)，由f(l)=O,可知選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

5.以下四個選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是()

A.尸中(x2+l)e*

B.y=-----------

2xIxl

exex

C.y=——D.

'I2x|-V=27

【答案】C

【詳解】

A項(xiàng)為奇函數(shù)，排除,

(..1x

B項(xiàng)，當(dāng)x>(),yrl+we\.2e>2,排除

D項(xiàng)x=2時y=—<1,排除

8

故選：C

—2x,-l<x<0

已知函數(shù)

6./(x)=?r,則下列圖象錯誤的是()

\]X,Q<X<\

A.

B.

C.

D.y=/(—x)的圖象:

【答案】C

【詳解】

—2x,-1<xK0

先作出〃x)=?廠的圖象，如圖所示,

Vx,O<x<1

對于B,y=/(x-l)的圖象/(%)是由的圖象向右平移一個單位得到，故5正確;

對于C,當(dāng)x>0時，，丁=/(附的圖象與〃可的圖象相同，且函數(shù)y=/(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱，故

c錯誤;

對于。，y=/(「x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于>軸對稱而得到，故。正確.

故選：C.

7.函數(shù)了=/%..2在［-2,2］上的圖象大致為()

【答案】A

【詳解】

/(-%)=0問COS(-X)=洲cosX=/(X),故函數(shù)/(X)為偶函數(shù),

又〃0)=eMcos0=l>0,排