（滬教版2020必修一）2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步精講精練-第16講 對數(shù)函數(shù)

第16講對數(shù)函數(shù)

時致函數(shù)的定義

對數(shù)函數(shù)的圖像

知識梳理一

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

對致函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)的概念

對數(shù)函數(shù)的定義域'值域

對數(shù)函數(shù)的圖像

題型探究一比較大小

對數(shù)函數(shù)

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式

圖像變換、過定點

對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

杼定系數(shù)法：求對數(shù)函數(shù)解析式

課堂總結(jié)數(shù)形結(jié)合法：研究函數(shù)的圖像、性般、變換

誤區(qū)：勿忘記函數(shù)底數(shù)的限定條件

當(dāng)。固定，且00,且厚1時，x以a為底的對數(shù)函數(shù)v=loed確定了變量y隨變量”變化的規(guī)律,稱為底為

。的對數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction)，其中x是自變量，定義域是(0,+co).

L題型一、指數(shù)函數(shù)的概念與解析式或函數(shù)值

A【例1】(1)指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？

①y=31og”；②y=log6X；③y=k>g、5；④y=log2%+l.

【答案】②是

【解析】①k)g2X的系數(shù)是3,不是1,不是對數(shù)函數(shù).

②符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對?數(shù)函數(shù).

③自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù).

④對數(shù)式10g2X后又加上1,不是對數(shù)函數(shù).

⑵已知對數(shù)函數(shù)y=log融的圖像過點P(8,3),則f

【答案】-5

【解析】)=1og“x的圖像過點P(8,3),

??3=log“8,=8,a=2.

...y=logir，

=喝導(dǎo)］0g225=5

(3)若函數(shù)?r)=(a2+。-5)log?x是對數(shù)函數(shù)，則a=

【答案】2

【解析】由“2+”-5=1得＜2=-3或4=2.

又。＞0且存1,所以4=2..

"方法總結(jié):判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法

k題型二、指數(shù)函數(shù)的定義域

W【例2】求下列函數(shù)的定義域:

1

log(x-l),

(2)y=log2(16-4x)；

(3)^=log(x-i)(3—x).

【答案】(1)(1,2)U(2,+oo)；(2)(-oo,2)；(3)(1,2)U(2,3)

x—1>0,

【解析】(1)要使函數(shù)式有意義，需《，、解得x>l，且石⑵

log2(x-l)^0,

所以函數(shù)曠=―的定義域是(1,2)U(2,+oo)..

log(jc-l)

(2)要使函數(shù)式有意義，需16—4'>0,解得x<2.

所以函數(shù)y=log2(16—4》)的定義域是(-00,2).

‘3-x>0,

(3)要使函數(shù)式有意義，需<x-l>0,解得K3,且班2.

x-lW1,

所以函數(shù)y=10g(「i)(3—x)的定義域是(1,2)U(2,3).

a

/方法總結(jié)

(1)求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時應(yīng)遵循的原則

①分母不能為0；

②根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負；

③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為1.

(2)求函數(shù)定義域的步驟

①列出使函數(shù)有意義的不等式(組)；

②化簡并解出自變量的取值范圍；

③確定函數(shù)的定義域.

喜題型三、指數(shù)函數(shù)的圖像

?【例3】⑴畫出函數(shù)y=lg|x-l|的圖像；

(2)畫出函數(shù)月lg(x-l)|的圖像.

【答案】圖像見解析.

【解析】(1)①先畫出函數(shù)y=lgx的圖像(描點法).

②作此圖像關(guān)于y軸對稱的曲線，兩條曲線組成函數(shù)y=lgkl的圖像.

③將產(chǎn)1g國的圖像整體右移1個單位，得到函數(shù))=眇-1|的圖像(如圖).

(2)①先畫出函數(shù)產(chǎn)lgx的圖像.

②將產(chǎn)lgx的圖像右移1個單位得到函數(shù)y=lg(x-l)的圖像.

③將產(chǎn)lg(x-l)的圖像中X軸下方的部分翻折到X軸上方，得到函數(shù))=|lg(x-l)|的圖像(如圖)..

、Q

/方法總結(jié)：對數(shù)函數(shù)圖像的變換方法

⑴作的圖像時，保留y=/U)(xK))圖像不變，x<0時y=A園)的圖像與y=/a)(x>0)的圖像關(guān)于)，軸對

稱.

(2)作y=|/(x)|的圖像時，保留y=/(x)的x軸及上方圖像不變，把x軸下方圖像以x軸為對稱軸翻折上去即可.

(3)有關(guān)對數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律.

(4)y=/(—x)與y=Kx)關(guān)于y軸對稱，y=—/(x)與y=/(x)關(guān)于x軸對稱，y=——x)與y=/(x)關(guān)于原點對稱?

X

舉一反三

1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()

A.y—InxB.y=ln(x+l)

C.y=lo&eD.y=logvx

【答案】A

【解析】對于B,真數(shù)x+1大于0才有意義，故B不是對數(shù)函數(shù)：

對于C,底數(shù)x沒有限定條件，不符合對數(shù)函數(shù)的定義；

對于D,同理底數(shù)真數(shù)不符合題意：故選A.

2.若函數(shù)兀v)=logs+i)x+32—2a—8)是對數(shù)函數(shù)，則a—.

【答案】4

cr—2〃—8=0,

【解析】由題意可知+解得4=4.

4+1W1,

3.點4（8,-3）和8（小2）在同一個對數(shù)函數(shù)圖像上，貝1」幾=..

【答案】-

4

【解析】設(shè)對數(shù)函數(shù)為y=log“x（o＞0,且存1）.

則由題意可得丫=-3,即k＞汝8=-3,.

」1

所以/3=8,即4=83=—.

2

所以y=log]X,故山8（”，2）在函數(shù)圖像上可得大〃）=log]〃=2,

22

所以〃=（;）=;.

4.已知對數(shù)函數(shù)y（x）的圖像過點（4,；]..

①求y（x）的解析式；

②解方程￡x）=2.

【答案】①/（x）=logi6X；②x=256..

【解析】①由題意設(shè)段）=1。&內(nèi)（。＞0,且在1）,由函數(shù)圖像過點（4,；）可得/4）=；,

1

即]og〃4=5，所以4=/,解得。=16,故於）=logu

②方程7（x）=2,即log1d=2,所以x=16?=256.

5.求下列函數(shù)的定義域:

(lM-r)=lg(x-2)+—；.

(2y(A-)=log(,r+i)(16—4x)..

【答案】(1)(2,3)U(3,+oo)；(2)(-l,0)U(0,4).

【解析】(1)要使函數(shù)有意義，需滿足《fx-2>0,

解得x>2且在3,

所以函數(shù)的定義域為(2,3)U(3,+8).

16-4x>0,

(2)要使函數(shù)有意義，需滿足,x+l>0,

X+1H1,

解得一l<x<0或0。<4,

所以函數(shù)的定義域為(T,0)U(0,4)..

6.(2021年上海高一課時練習(xí))已知函數(shù))=但。2-"+1)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(-2,2).

【解析】由題意知x2-?x+l>0對任意xdR恒成立，從而/=縝4<0,則因此實數(shù)a的取值范圍為(-2,2).

7.畫出下列函數(shù)的圖像:

(l)y=log3(A-2)；

(2)^^|log,x|.

2

【答案】圖像見解析.

【解析】(I)函數(shù)y=k)g3(x-2)的圖像如圖①.

圖①圖②

flog,x,0<x<1,

⑵y=|log|X|=12其圖像如圖②.

3[log2x,x>l,

知識二寸數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.對稱性：函數(shù)y=logd的圖像與y=logjx的圖像關(guān)于x軸對稱.

2.反函數(shù)：對數(shù)運算是指數(shù)運算的一種逆運算.

對數(shù)函數(shù)y=log“x（tf>0且存1）是指數(shù)函數(shù)口”>0,且?。┑姆春瘮?shù).它們的定義域與值域正好互換.

指數(shù)函數(shù)y="的圖像與其反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logd的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

3.對數(shù)的基本不等式

定理：當(dāng)時，成立log?N>0.

4.對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

y=log(tra>\0<4<1

；

|>'y=loga.r(a>l)1X=1

二

圖像T

/%=1y=logT

(fXa<D

（1）圖像都在），軸右側(cè)，無限趨近于）'軸，但永不相交.

圖像特征（2）過定點（1,0）.

（3）自左至右圖像上升.（3）自左至右圖像下降.

（1）定義域為（0,+oo）.

函數(shù)性質(zhì)(2)當(dāng)x=\時，y=0.

（3）在（0,+8）上嚴(yán)格遞增.（3）在（0,+oo）上嚴(yán)格遞減.

5.對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的關(guān)系

如圖，作直線y=l,則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0<c<d<l<a<6.由此

我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.

y=log產(chǎn)

廠log產(chǎn)

——y=l

y=log產(chǎn)

y=log?x

題型一、利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比大小

【例4】比較下列各組中兩個值的大小.

(l)ln0.3,In2；

(2)log?3.Llogfl5.2(a>0,。聲)；

(3)logj0.2,log40.2；

(4)log37t,log#.

(5)(2020年上海高一必修1教材例題)logs71log67

(6)(2020年上海高一必修1教材例題)8999,99H9

【答案】(Un0.3Vin2)：(2)log?3.1<log?5.2：(3)log30.2<log40.2：(4)log37t>log^；

89

(5)log57>log67；(6)89">99..

【解析】(1)因為函數(shù))，=lnx在x>0時嚴(yán)格遞增，且0.3<2,

所以In0.3<ln2..

(2)當(dāng)。>1時,函數(shù)y=l0goz在(0,+8)上嚴(yán)格遞增,

又3.1<5.2,.

所以log“3.1Vlog“5.2：

當(dāng)0Va<l時，函數(shù)y=log“x在(0,+℃)上嚴(yán)格遞減.

又3.1V5.2,

所以log〃3.1>k)g〃5.2.

(3)因為0>logojS>logo.24?

所以廠二<1匚，

logo.23logo.24

即Iogj0.2<log40.2.

(4)因為函數(shù)y=k)g就嚴(yán)格遞增，且兀>3,所以log3兀>log33=l,同理,1=log解>叫箕3,即log3g>log3

(5)需要換成同底的對數(shù)之后才易于進行比較.由換底公式，得Qg57=—!—,log67=」一，

log75log76

由log76>log75>0,Sklog57>logf,7.

(6)取以10為底的對數(shù)，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需要比較兩個對數(shù)Ig89"=991g89與Ig9989=891g99的

大小就足夠了.由計算器得991g8%192.99,891g99=177.61,因為192.99>177.61,所以8999>99嗎

,方法總結(jié):比較對數(shù)值大小時常用的四種方法

(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖像或用換底公式轉(zhuǎn)化.

(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量..

(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論.

I注意］比較數(shù)的大小時先利用性質(zhì)比較出與0或1的大小.

片題型二、解對數(shù)不等式

”［例5］解下列不等式：

(l)log|x>log,(4-x);

77

⑵log.>l;

(3)10g?(2x—5)>loga(x—1).

【答案】(1)(0,2)；(2)(小)；(3)當(dāng)4>1時，原不等式的解集為(4,+00)；當(dāng)OVaVl時，原

不等式的解集為(3,4)

2

x>0,

【解析】(1)由題意可得｛4—X>0,解得0<xV2.

x<4-x,

所以原不等式的解集為(0,2).

(2)當(dāng)x>l時，log解得x<L,此時不等式無解.

22

當(dāng)0<X<I時'，lOgv^>l=10gvX,解得所以;<X<1.

綜上所述，原不等式的解集為.

(2)

2x-5>0,

(3)當(dāng)《>1時，原不等式等價于<x-l〉0,解得x>4.

2x—5>x—1,

當(dāng)OVaVl時，原不等式等價于

2x-5>0,

<x-l>0,解得3Vx<4.

2

2x—5<x—1,

綜上所述，當(dāng)a>l時，原不等式的解集為(4,+oo)；當(dāng)0<“<1時，原不等式的解集為(之，4).

2

"方法總結(jié):對數(shù)不等式的三種考查類型及解法

(1)形如lo&x>log疝的不等式，借助y=k)gd的單調(diào)性求解，如果。的取值不確定，需分。>1與OvcKl兩種

情況進行討論.

(2)形如lo&Qb的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式3=10g“d),再借助y=logd的單調(diào)性求

解.

⑶形如log/(x)a>logg(Ma(/(x),g(x)>0且不等于1,“>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，

或利用函數(shù)圖像求解.

■題型三、對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用

&【例6】(1)(過定點)(2020年四川蓉城名校高一期中聯(lián)考)函數(shù)加)=log?(x-l)+l(a>0,且存1)的圖像

恒過點()

A.(1,I)B.(2,l)C.(l,2)D.(2,2)

【答案】B

【解析】令x-l=l,則42,因此火2)=1,所以函數(shù)小)的圖像過定點(2,1).故選B.

(2)(圖像辨析)(2020.江蘇常州教學(xué)聯(lián)盟高一期中)函數(shù)尸-愴僅+1|的大致圖像為()

【答案】D

【解析】

法一函數(shù)產(chǎn)-1g卜+1|的定義域為｝，可排除AC;當(dāng)A=1吐產(chǎn)-1g2<0,顯然只有D符合題意.故選D.

法二一叱

又xG(-l,y)時,y=-lg(x+l)是嚴(yán)格遞減,因此選D.

⑶(有圖像求參數(shù))已知函數(shù)尸log“(x+c)(a,c為常數(shù)淇中〃>0,存1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是()

A.t?>l,c>lB.tz>l,O<c<l

C.0<〃<1,01D.0<?<l,0<c<1

【答案】D

【解析】因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以0<“<L

當(dāng)41時,log?(x+c)=k)g”(l+c)<0,即1+01,所以c>0,

當(dāng)戶0時,log〃(x+c)=1og"C>0,所以0<c<l,故選D..

(4)(底數(shù)比較)(2020年海南高一期中)如圖，若Ci,C2分別為函數(shù)y=logd和y=log此的圖像,則()

代

A.Ov4VxiB.O</?<?<1

C.a>b>\D.b>a>l

【答案】B

【解析】由對數(shù)的性質(zhì)logR=l(a>0,且咕)，畫一條直線目,如圖所示，由圖可知故選B.

Q

,方法總結(jié):有關(guān)對數(shù)型函數(shù)圖像問題的應(yīng)用技巧

(1)求函數(shù)y=/n+log,(/(x)(a>0,且存1)的圖像過定點時，只需令7(x)=l求出x,即得定點為(x,機).

(2)給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖像，應(yīng)首先考慮函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)是哪一種；其次找出函數(shù)圖像的特殊點，

判斷函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、單調(diào)性以及對稱性等；最后綜合上述幾個方面將圖像選出，解決此類題目

常采用排除法.

(3)根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像判斷底數(shù)大小的方法：作直線y=I與所給圖像相交，交點的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù)，根

據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.

(5)(值域)函數(shù)_/(x)=log](f+2x+3)的值域是.

2

【答案】(-8,-1]

【解析】J(x)=log](X?+2x+3)=log1+2,

22U

因為(x+1)2+222,

所以log1[(x+l[+2<log12=-1,

2L2

所以函數(shù)7U)的值域是(一8,-ij.

O

拓展延伸

求本例的函數(shù)於)在[-3,1]上的值域.

解VxGl-3Jb.".2<r2+2x+3<6,

log(6<log](d+2x+3)Wlog12,

222

即一iog26gu)s—i，

???於)的值域為[Tog26,-1].

方法總結(jié):求對數(shù)型函數(shù)值域(最值)的方法

對于形如y=log/x）（a>0,且存1）的復(fù)合函數(shù)，其值域（最值）的求解步驟如下：

⑴分解成y=log“"，〃=於）兩個函數(shù).

（2）求7U）的定義域..

（3）求“的取值范圍.

（4）利用y=log〃"的單調(diào)性求解.

"方法總結(jié):.

（1）已知對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；

若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系.

（2）求對數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解..

（6）已知集合人=［2,句，定義在集合A上的函數(shù)y=logM的最大值比最小值大1,則底數(shù)。的值為L

rr0

【答案】工或W

271

一22

（解析］當(dāng)0<〃<1時,y=log/在區(qū)間［2,n］匕嚴(yán)格遞減，所以loga2-log“;r=log”一二1,解得a=—.

7171

TTJT

當(dāng)a>1時，y=log（lx在區(qū)間［2,兀］上嚴(yán)格遞增，所以log”乃-log“2=logd-=1,解得a-y.

jr2

綜上，底數(shù)〃的值為二或W.

271

Z

舉一反三

2

1.（2019年天津高考）已知a=log52,fe=log050.2,c=0.5°-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a〈b<c

C.b<c<aD.c<a<h

【答案】A.

【解析】4=bg52<log5石=g，fe=logo,50.2>logo,50.5=l,c=0.5°2=(：J>；,O.5°2<1,：.a<c<h,

故選A.

2.(2021年上海高一課時練習(xí))解關(guān)于a的不等式：log“(l-〃)<log，2〃).

【答案】fo,1\

a>10<a<]

l-a>0l-<7>0解得“C0或aw［。,：).

【解析】因為k)g，l?〃)vlo或2a),所以《或<

2a>02a>0

}-a<2a\-a>2a

3.若函數(shù)凡v)=加og“(x-6)+/的圖像恒過定點(3,2),則k=,b=.

【答案】22

【解析】因為左)=/wk)ga(x-b)+2的圖像恒過定點(3,2),

所以3?=1次=2,所以b=2,k=2.

4.已知”>0,且在1,則函數(shù)y=x+a與y=log?x的圖像只可能是()

【答案】C

【解析】當(dāng)”>1時，函數(shù)y=k>gd為增函數(shù)，且直線_y=x+a與y軸的交點的縱坐標(biāo)大于1；當(dāng)0<。<1

時，函數(shù)y=logd為減函數(shù)，且直線y=x+a與y軸的交點的縱坐標(biāo)在0到1之間，只有C符合，故選C.

5.已知則函數(shù)y=log"(x?)的圖像不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.

【答案】D

【解析】令4=2/=2則y=log2(x+2),因此函數(shù)的大致圖像如圖所示.

故函數(shù)圖像不過第四象限.故選D.

6.(2021河北高一開學(xué)考試改編)若ln“=lgb,則下列選項不可能成立的是()

A.a=bB.1<a<b

C.a<b<lD.b<a<\

【答案】C

【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，作出產(chǎn)lirt,產(chǎn)1附的圖像..

由圖可知，當(dāng)。=6=1時，有l(wèi)na=3,故A正確;當(dāng)a>l,b>\時，顯然有,故B正確;當(dāng)時,

顯然有,故C錯誤，D正確.故選：C.

7.已知函數(shù)7(x)=log?x(0<a<l)在區(qū)間團，20上的最大值是最小值的3倍，則a的值為.

歷

【答案】—

4

【解析】由題意知,4)=logMKaVl)為減函數(shù),則./Wma*=/(a)=l，./Wmin=A2a)=l+log“2,所以1=3(1

2--J2

+logn2),即log"2=—，解得a—2,即a----.

34

8.已知loga(3a-l)>0恒成立，求a的取值范圍.

【答案】f—U(1,+oo)

(33J

【解析】解：由題意知log“(3a—1)>0=log?1..

當(dāng)a>l時，y=log泅單調(diào)遞增,

3a-l>l2

所以4解得。>W,

3a—1>0,3

所以?>1；

當(dāng)0<4<1時，y=logaX單調(diào)遞減,

3a—1<112

所以4解得上<a<..

3a—1>0,33

12

所以一<a<一.

33

綜上所述，a的取值范圍是+ao).

9.求下列函數(shù)的值域：

(1次r)=log2(3，+l)；

YX

(2)/(^)=log2--log2-(l<x<4).

【答案】(1)(0,+8)；(2)--,2

_4_

【解析】(1求x)的定義域為R.

V3'>0,.,.3V+1>1.

,..)，=1。8加在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.,.Iog2(3v+l)>log21=0,

.\Ax)的值域為(0,+8).

(2);於)=log2--log2-=(log2X-2)?(log2X-1)

又,?<1<r<4,0<log2^<2,

4-i

:.當(dāng)log2%=2,即x=22=2小時，7U）取最小值一不

當(dāng)logM=0,即x=l時，7U）取得最大值為2,

...函數(shù)/U）的值域是-',2.

4

寸數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

對數(shù)方程：對數(shù)符號中含有未知數(shù)的方程叫對數(shù)方程.

“【例7】某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%

進行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按210g5（4+1）進行獎勵.記獎金為y（單

位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）.

（1）寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的解析式；

（2）如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？

0.15x,0SE10,

【答案】(1)y=(2)34.

1.5+21og5X—9,x>10.

0.15x,0<A<10,

【解析】（1）由題意知丁=

1.5+21og5A~9,x>10.

（2）由題意知1.5+21og5（x-9）=5.5,

即log5（K—9）=2,

2

：.x-9=5f解得x=34.

?,?老江的銷售利潤是34萬元.

/、_

舉一反二

某種動物的數(shù)量M單位：只）與時間M單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為y=ak）g2（x+l），若這種動物第1年有100

只，則第7年它們的數(shù)量為（）

A.300只B.400只

C.500只D.600只

【答案】A

【解析】由題意，知100=ak)g2(l+l),得“=100,.

則當(dāng)x=7時，y=100k)g2(7+1)=100x3=300.故選A.

■

課堂總結(jié)

1.知識清單：

(1)對數(shù)函數(shù)的概念和定義域.

(2)對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì).

(3)利用對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)比較大小.

(4)利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.

(5)求簡單對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及值域問題.

(6)對數(shù)函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.

2.方法歸納：待定系數(shù)法、圖像變換、數(shù)形結(jié)合法、換元法.

3.常見誤區(qū)：(1)易忽視對數(shù)函數(shù)底數(shù)有限制條件.

(2)作對數(shù)函數(shù)圖像易忽視底數(shù)與兩種情況.

(3)求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易忽視定義域.

7課后作業(yè)

1.(2020年全國高一課時練習(xí))給出下列函數(shù)：

2

@y=log2X：②y=log3(x—1);③y=loga+i盧；④y=k)gex.

其中是對數(shù)函數(shù)的有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】①②不是對數(shù)函數(shù)，因為時數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x：③不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的底數(shù)不是常

數(shù)；④是對數(shù)函數(shù).故選A.

2.對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(125,3),則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()

A.y=logsrB.y=logtX

5

C.y=log,xD.y=log3X.

3

【答案】A

【解析】設(shè)函數(shù)解析式為y=log“x(a>0,且存1).由于對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(125,3),

所以3=log“125,得a=5.

所以對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log5X.故選A.

3.(2019年山東煙臺高一期中)函數(shù))=k)g〃(x+2)+"+i+2(“>0,且存1)的圖像必經(jīng)過的點是().

A.(0,2)B.(2,2)

C.(-L2)D.(-l,3)

【答案】D.

【解析】令x+2=l,解得廣-1,此時因此產(chǎn)0+1+2=3,所以函數(shù)圖像過(-1,3),故選D..

4.若lg(2x-4)<l,則x的取值范圍是()

A.(-co,7]B.(2,7]

C.[7,+oo)D.(2,+<?)

【答案】B

【解析】由lg(2x-4)Wl，得0<2%—卷10,即2〈啟7.故選B..

5.函數(shù)式x)=lg(|x|一1)的大致圖像是().

【答案】B

【解析】由段)的定義域為(-8,-i)u(i,+oo),且ig(Lx|-D=lg(W-D，得以)關(guān)于y軸對稱,由此知

C,D錯誤.

又當(dāng)Q1時，兀v)=lg(x—l)在(1,+8)上單調(diào)遞增,所以B正確.

6.若函數(shù)fix')—log,,(x+/>)的圖像如圖所示,其中4,〃為常數(shù)，則函數(shù)g(x)="+b的圖像大致是().

【答案】D

【解析】由小)的圖像可知〈辰1,；.g(x)的圖像應(yīng)為D.

7.函數(shù)y=Jlog3(2x—1)的定義域為()

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

【答案】A

【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足『唱3°"一1)2°

2x-l>0,

2x-l>l

Ax>l,故選A..

2x-l>0,

人，2

8.（2020?全國卷HI）設(shè)。=log32,b=log53,c=y則（）.

A.a<c<hB.a<h<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A.

--2

3233

【解析】V2<3,A2<3,Alog32<log33=3,：.a<c.

--2

3233

V3>5,A3>5,/.log53>log55=y：.b>c,：.a<c<b,故選A.

9.（2021.上海高一期末）下列函數(shù)中，值域為（。,+8）的是（）

A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+-

x

【答案】B

【解析】A選項中，y=Y值域為［0內(nèi)），不滿足題意；

B選項中，>=2、值域為（o,+8）,滿足題意；

C選項中，y=lnx值域為R,不滿足題意；

D選項中，對勾函數(shù)丫=*+：,在（F,-l］上單調(diào)遞增，在（-1,0）上單調(diào)遞減，在（0,1）上單調(diào)遞減，在［1,2）

上單調(diào)遞增，故值域為（F,-2］U［2,+?>）,不滿足題意.

故選：B.

10.已知函數(shù)/U）=lnx,g（x）=\gx,/?（x）=log3X,直線y=〃（a<0）與這三個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)分別為即，X2,

X3，則為，工2，X3的大小關(guān)系是（）

A.X2<X3<X\B.X\<X3<X2

C.X]<X2<X3D.X3<X2<X\.

【答案】A

【解析】分別作出三個函數(shù)的大致圖像，如圖所示.

由圖可知，故選A.

=1

11.（2021?全國高二期末（理））已知實數(shù)“，b,c滿足。=61，^og78+log5649,7〃+24〃=25',則a,

b,c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】由題意得，〃=6：>6。=「故

2

b=log?8+log49=log56-1+2log7=log56+-~~--1,

567567log,56

22

因log,56>log,49=2,根據(jù)對勾函數(shù)得log,56+^j~—>2+-=3,因此〃>3—1=2：

log7562

由勾股數(shù)可知72+242=252,又因7〃+24〃=25。且匕>2,故A>c>2；

因止匕6>c>a.

故選：C.

12.（2021?上海高一課時練習(xí)）B^log2x=log3y=log5z=-2,則工j］由小到大的排列順序是.

【答案】

【解析】令lOg2X=log3y=IOgsZ=-2,

則X=2，=3-2,Z=5-2,

/,z，=（狗）,注意到及>0,6>0,為>0,

且=8,（出/=9,故將〉正，

（及廣=32,（灼'"=25,故亞〉痣，

據(jù)此有迅犯，'累函數(shù)/（x）=x-2在定義域（0,+8）上單調(diào)遞減，

故便『<（2尸<的「，即

故答案為：y3<x2<z5

13.設(shè)tf>l,函數(shù)火x）=logox在區(qū)間［a,2a］上的最大值與最小值之差為;，則“=

【答案】4

【解析】：“〉1，.\/U）=logd在上遞增，

二log?（2a）-log&=5，

1-

即log“2=5，a2=2,.".tz=4.

（\-2a\x+5a,x<1

14.已知y（x）=r）的值域為R,那么實數(shù)a的取值范圍是一

log7x,x>1

【答案】—

32）

【解析】要使函數(shù)K6的值域為R，

12/>0,

則必須滿足

log71<1-2a+5a,

即I2所以一

、132j

I3

15.已知＞U）=|logM|,若X。）/2）,則〃的取值范圍為

【答案】（0,g）D（2,+8）

【解析】作出函數(shù)式x）的圖像，如圖所示，

人X）二|logH

由于X2）=/不

故結(jié)合圖像可知0＜。＜一或a＞2.

2

log,x,x〉O

16.已知函數(shù)直線y=a與函數(shù)＜x）的圖像恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是

3\x<0

【答案】（0,1］.

【解析】函數(shù)yu）的圖像如圖所示,

要使y=4與7U）圖像有兩個不同交點，則0＜aWL

17.（2019年上海楊浦區(qū)復(fù)旦附中高一期末）已知函數(shù)_/（x）=lg［（a2-l濡+（a+l）x+l］的值域為R,則實數(shù)?的范圍

是.

【答案】1,上

3

【解析】依題意僅2-1)小+3+1.+1>0對一切XWR恒成立..

當(dāng)〃2一1翔時，其充要條件是：

n~-1>0,<

/'2/2\，解得

A=(?+l)--4(tz2-l)>03

又”=-1時，,/U)=0不符合題意，。=1時，符合題意，所以實數(shù)”的取值范圍是1?|..

18.(2021年上海高一課時練習(xí))求函數(shù)y=log2(9-3')的定義域和值域.

【答案】定義域為(-co,2),值域為(-co,log29).

【解析】由題意得，0<97，則3、<9,則x<log39=2,故函數(shù)定義域為(-00,2),令

r=9-3rG(0,9),故y=k>g2fdlog,9).

19.比較下列各組中兩個值的大?。?

@10g31.9,10g32;.

②log23,logo.32；

(3)10^,71,log?3.14(^>0,存1)；

@log50.4,log60.4.

【答案】①因Iog31.9〈k)g32；@log23>logo.32；③當(dāng)a>l時，k)ga兀>k)以3.14；當(dāng)0<〃<l時，Ioga7rvk)ga3.14.

@log50.4<log60.4.

【解析】①因為y=log5在(0,+8)上嚴(yán)格遞增，

所以