專題12銳角三角函數(shù)的相關計算重難點題型專訓（11大題型）

專題12三角函數(shù)值的相關計算與應用（11大題型）【題型目錄】題型一求特殊角的三角函數(shù)值題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運算題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型四由計算器求銳角三角函數(shù)值題型五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小題型七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型八利用同角三角函數(shù)關系求值題型九求證同角三角函數(shù)關系式題型十互余兩角三角函數(shù)的關系題型十一三角函數(shù)綜合【知識梳理】知識點1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過觀察上面的表格，可以總結出：當090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減??；的正切值隨著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。窘?jīng)典例題一求特殊角的三角函數(shù)值】1．（2023上·湖南婁底·九年級?？茧A段練習）下列各式中不正確的是（

）．A． B．C． D．

【答案】B【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值及同角三角函數(shù)的關系，互余兩角三角函數(shù)的關系．根據(jù)特殊角三角函數(shù)值及同角三角函數(shù)的關系，互余兩角三角函數(shù)的關系解答即可．【詳解】解：，，，，A、正確，符合同角三角函數(shù)的關系，不符合題意；B、錯誤，，符合題意；C、正確，符合同角三角函數(shù)的關系，不符合題意；D、正確，，，不符合題意．故選：B．2．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）若是銳角，，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)是銳角，，得到，即可求的值．【詳解】解：是銳角，，，，故選：B．3．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）的算術平方根等于．【答案】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及求算術平方根，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知，，的算術平方根為，故答案為．4．（2023上·重慶萬州·九年級重慶市萬州第二高級中學?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了實數(shù)的混合運算，涉及負整數(shù)與零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)．根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)及零指數(shù)冪進行計算即可．【詳解】解：原式．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中；．【答案】；【分析】分別化簡代數(shù)式和字母的值，再代入計算．【詳解】原式，∵；，∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關鍵是先化簡，然后把給定的值代入求解．【經(jīng)典例題二特殊角三角函數(shù)值的混合運算】1．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）計算的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，運用特殊角的三角函數(shù)值計算．【詳解】解：．故選：A．2．（2023下·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┫铝杏嬎憬Y果是有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的運算法則和特殊角的三角函數(shù)值計算各選項，再判定即可得出答案．【詳解】解：A、，結果是無理數(shù)，故此選項不符合題意；B、，結果是有理數(shù)，故此選項符合題意；C、，結果是無理數(shù)，故此選項不符合題意；D、，結果是無理數(shù)，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二次根式運算，特殊角三角函數(shù)，有理數(shù)．熟練掌握二次根式運算和特殊角三角函數(shù)值是解題的關鍵．3．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第九中學?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥看祟}主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進而化簡得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．4．（2023下·九年級課時練習）．【答案】【詳解】原式．【易錯點分析】三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值容易混淆．解決辦法分別有畫圖、整體規(guī)律記憶、各特殊角的三角函數(shù)值相互之間的聯(lián)系記憶．5．（上海市閔行區(qū)20232024學年九年級上學期期中數(shù)學試題）計算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，分別代入計算得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．【經(jīng)典例題三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．（2022下·全國·九年級專題練習）若，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．含有的任意三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)利用非負數(shù)的性質(zhì)求得，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出，即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．故選：B．【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定等知識，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．2．（2019上·廣東梅州·九年級廣東梅縣東山中學校考期末）在中，、都是銳角，且，，則是（

）.A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．3．（2022上·山東泰安·九年級?？茧A段練習）在中，若，則是三角形．【答案】等邊【分析】直接絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出，，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【詳解】解：，，，，，是等邊三角形．故答案為：等邊．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．4．（2023上·山東威?！ぞ拍昙壣綎|省文登第二中學校聯(lián)考階段練習）在中，若，，都是銳角，則的形狀是．【答案】鈍角三角形【分析】由題意易得，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的形狀是鈍角三角形；故答案為鈍角三角形．【點睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題的關鍵．5．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面坐標系內(nèi)，點，．點為軸上動點，求的最小值．【答案】【分析】取，連接，作，于交軸于，先利用坐標求出線段長，得到，進而得到，推出，，得到，再利用垂線段最短，得到當與重合，與重合時，最短，即為的長，利用三角函數(shù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，取，連接，作，于交軸于，，，，，，，，，，，，當與重合，與重合時，最短，最小值即為的長，在中，，的最小值為．【點睛】本題考查了垂線段最短，銳角三角函數(shù)，30度角所對的直角邊等于斜邊一半，學會轉(zhuǎn)化線段是解題關鍵．【經(jīng)典例題四由計算器求銳角三角函數(shù)值】1．（2022·山東東營·模擬預測）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：2yx3－16＝，按鍵的結果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．【詳解】解：m＝23?＝8?4＝4；n＝?22＝4?4＝0；k＝?cos60°＝?＝4；∴m＝k，故選：C．【點睛】本題考查了計算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年級課時練習）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．A．若正多邊形的一個內(nèi)角等于140°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學計算器計算：13××sin14°≈（結果精確到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)；B、利用科學計算器計算可得．【詳解】解：A．∵正多邊形的一個內(nèi)角是140°，∴它的外角是：180°140°=40°，則這個正多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°=9．故答案為：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案為：11.3．【點睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角和計算器的使用，做此類題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．3．（2023秋·九年級課時練習）用計算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用計算器求出結果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查計算銳角三角函數(shù)值，熟練使用計算器是解題的關鍵．【經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（22·23上·西安·階段練習）如圖，點A為反比例函數(shù)圖像上一點，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．【詳解】解：連結

，軸，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2．（22·23下·九江·三模）如圖，已知在拋物線上有一點，軸于B點，連接，將繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A．B兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，設拋物線與y軸的交點為點C，則點C坐標為，再根據(jù)可得當點A與拋物線頂點C重合時滿足題意，再利用銳角三角函數(shù)求得，從而求得旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】解：如圖，設拋物線與y軸的交點為點C，則點C坐標為，∵，軸于B點，∴，，，∵，∴，∴，∴將繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，該三角形的A與拋物線的頂點C重合，故選：B．

【點睛】本題考查拋物線與y軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)，根據(jù)拋物線求得頂點坐標，從而確定旋轉(zhuǎn)角度是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結、、，若在坐標軸上存在一點，使，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點的坐標，將，的坐標代入，即可求得、，從而求得拋物線的表達式.（2）應用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點的坐標，從而求得，進而求得的大小.（3）根據(jù)（2）的結論得出，進而分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴，則將，代入得：，解得，∴這條拋物線的表達式為；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，∵∴，∴，則∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴軸或如圖所示，

當軸時，，當時，，則是等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【經(jīng)典例題六已知角度比較三角函數(shù)值的大小】1．（2019上·淮北·階段練習）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當α=45°時sinα=cosα和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增減性即可得出答案．【詳解】解：∵α=45°時sinα=cosα，當α是銳角時sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小，∴45°＜α＜90°．故選D．【點睛】考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減?。?．（2022上·邵陽·期末）下列說法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對于銳角，必有 D．若為銳角，則【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)逐項判斷即可．【詳解】A、，故說法不正確；B、對于任一銳角，這個角的正弦等于它的余角的余弦，即若為銳角，則，故說法正確；C、當β=60°時，，則，故說法不正確；D、當α=45°時，，故說法不正確；故選：B【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識，掌握它們是關鍵．3．（2021春·全國·九年級專題練習）我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)概念結合圖中幾個銳角角，就能發(fā)現(xiàn)隨著一個銳角的增大，它的對邊在減小，鄰邊在增大，即可找到正余弦變化規(guī)律（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可【詳解】解：（1）由題圖可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.規(guī)律：銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大.（2）；；.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的求法以及比較大小，熟練掌握銳角函數(shù)的定義是解題關鍵【經(jīng)典例題七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關鍵．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為．【答案】4【分析】設，則，根據(jù)，，根據(jù)正弦的增減性可得，當最大值，取得最大值，進而即可求解．【詳解】設，則，則過點，則，當點與點重合時，取得最大值，此時最大，則最大，即取得最大值，此時，的最大值為故答案為：4【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關系，矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022春·九年級單元測試）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大?。唬?）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關系，比較下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）見解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，有，．利用正弦公式求得；依據(jù)余弦公式得到；（2）由（1）得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分別得到、、的正弦值和余弦值，比較即可得到答案；（4）由，，利用（1）的結論解答即可．【詳解】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，顯然有：，．∵，，，而．∴．在圖（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，則；∵，，∴若，則；∵，，∴若，則．故答案為：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法是解題的關鍵．【經(jīng)典例題八利用同角三角函數(shù)關系求值】1．（2023上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如果是銳角，且，那么的值（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同角的三角函數(shù)的關系，熟練掌握同角的三角函數(shù)的關系是解答本題的關鍵．根據(jù)題意得，利用求出答案．【詳解】解：，．故選：．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關系和面積相等進行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關鍵．3．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級校考開學考試）已知，是銳角，則.【答案】【分析】根據(jù)求得的值，再根據(jù)求出即可．【詳解】解：，是銳角，，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數(shù)，解題的關鍵是掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)之間的關系．4．（2023上·福建莆田·九年級校考開學考試）在中，，若，則的值為．【答案】【分析】設，根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)即可【詳解】解：如圖所示，，設，

則，．故答案為：．【點睛】此題考查了同角的三角函數(shù)，勾股定理，關鍵是熟練運用數(shù)形結合的數(shù)學方法．5．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應用，屬于新題型，解答本題的關鍵是根據(jù)題目中所給信息結合特殊角的三角函數(shù)值來求解．【經(jīng)典例題九求證同角三角函數(shù)關系式】1．（2023·福建泉州·南安市實驗中學校考二模）常聽到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述話語中所含有的數(shù)學語言應正確表達為（

）（假設有任意角α）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意即可寫出式子．【詳解】解：“正弦平方加余弦平方”的數(shù)學語言為：，故選：B．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系，明確題意，用數(shù)學語言正確表達是解題的關鍵．2．（2020上·九年級?？颊n時練習）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結論．【詳解】解：如下圖所示在Rt中，=，故A不符合題意；在Rt中，=，故B不符合題意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合題意；≠，故D符合題意．故選D．【點睛】此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關鍵．3．（2018下·九年級單元測試）已知：實常數(shù)同時滿足下列兩個等式：⑴；⑵（其中為任意銳角），則之間的關系式是：【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到這四個數(shù)的關系．【詳解】由①得asinθ+bcosθ=c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθbsinθ=d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，sin2θ+bcos2θ=1的應用是解題的關鍵，屬于基礎題．4．（2019下·九年級單元測試）已知：，，，請你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【答案】【分析】從角度的倍數(shù)關系方面考慮并總結寫出結論．【詳解】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個角正弦與余弦的積等于這個角的2倍的正弦的一半，規(guī)律為：.故答案為.【點睛】本題考點：同角三角函數(shù)的關系.5．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關系，并說明理由．

【答案】；，理由見解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根據(jù)題意得出，即可得出．【詳解】存在的一般關系有：，，證明：，，，，，，．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，勾股定理的知識，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解答本題的關鍵．【經(jīng)典例題十互余兩角三角函數(shù)的關系】1．（2023上·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校?？茧A段練習）在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各個三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合題意；B、，∴，故B成立，符合題意；C、，∴，故C不成立，不符合題意；D、，∴，故D不成立，不符合題意；故選：B．

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題的關鍵的數(shù)量掌握各個三角函數(shù)的求法．2．（2023上·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關鍵．3．（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：在中，，，∴．故答案為：．4．（2019上·上海青浦·九年級校考期中）已知，，則．【答案】/【分析】應用互余兩角三角函數(shù)的關系進行計算即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，熟練掌握互余兩角三角函數(shù)的關系進行求解是解決本題的關鍵．5．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義，數(shù)形結合，分別得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中運算結果即可得到答案；（3）根據(jù)題意，由勾股定理及三角函數(shù)定義，得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得證；（4）由上述歸納及證明的結論知，結合，根據(jù)完全平方和公式恒等變形，由確定，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：1，1，1；（2）解：由（1）中運算結果即可猜想在中，，都有，故答案為：1；（3）證明：在中，，，，的對邊分別是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【點睛】本題考查三角函數(shù)計算綜合，涉及三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關系、勾股定理及三角函數(shù)恒等變形求值，數(shù)形結合，靈活運用三角函數(shù)定義是解決問題的關鍵．【經(jīng)典例題十一三角函數(shù)綜合】1．（2023上·上海青浦·九年級?？茧A段練習）在中，，，則下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計算得，根據(jù)銳角三角函數(shù)分別進行計算即可得．【詳解】解：在中，，，則，∴，，，，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．2．（2022上·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學校考期末）如圖，是半圓的直徑，弦相交于點P，那么（

）

A． B． C． D．以上都不對【答案】B【分析】由圖，可證，得．連接，則，得．【詳解】解：由圖知，∴．∴．連接，則，∴．故選：B

【點睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)；添加輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）當為銳角，且時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性．根據(jù)及即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵，此題基礎題，比較簡單，也是一道?？荚囶}.【詳解】解：，且，，為銳角，，故答案為：4．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，在平行四邊形中，，E是邊上的點，，，F(xiàn)是邊上的一點，且，若M、N分別是線段、上的動點，則的最小值為．

【答案】【分析】過點F作的對稱點G，過點G作于點Q，則的最小值為，利用三角函數(shù)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，計算即可，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．【詳解】過點F作的對稱點G，過點G作于點Q，交于點H，則的最小值為，∵平行四邊形中，，∴,，∴，解得，∴，，過點A作于點O，∴，解得，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．

5．（2022秋·江蘇徐州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖（1），中，于點D．由直角三角形邊角關系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半

如圖（2），在中，于點D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)請證明等式：；(2)請利用結論求出的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】由題意知，，，由，兩邊同時除以得，，代入求解即可；（2）根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，，∵，兩邊同時除以得，，∴；（2）解：由題意知，；【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【重難點訓練】1．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）在中，，是邊上的高，如果，，那么的長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，根據(jù)條件可得，，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵在中，，是邊上的高，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，∴．故選：C．2．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）的結果是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握、、角的三角函數(shù)值是解題的關鍵，按照題中所給式子進行運算即可．【詳解】解：∵，，，∴故選：B．3．（2023上·四川廣元·九年級校考階段練習）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設，根據(jù)正切的定義，即可得答案．【詳解】解：由題意，得，故設則，故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及勾股定理，設是解題關鍵．4．（2023上·山東聊城·九年級?？茧A段練習）在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，解得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．6．（2022下·浙江·九年級專題練習）已知，關于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的計算法則以及余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的增減性即可作答．【詳解】解：由，得，故①正確；，故②錯誤；由可得，與矛盾，故③錯誤；，故④正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計算，掌握相應的考點知識是解答本題的關鍵．7．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E均為格點，則．【答案】1【分析】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想解答．根據(jù)題意，連接、，然后利用勾股定理的逆定理，可以判斷的形狀，從而可以求得的度數(shù)，再求出正切值即可．【詳解】解：連接、，則，∵，∴，設小正方形的邊長為1，則，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，故答案為：1．8．（2023上·浙江·九年級校聯(lián)考期中）若的直徑為2，弦，弦，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分點C、D在直徑的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，分別連接，分別在和中，根據(jù)三角形函數(shù)求得和的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：①如圖①：當C、D在同側(cè)時，連接，則.在中，，，∴，即,∴，在中，，∴，即；∴；②如圖2：當C、D在異側(cè)時，同理可得：故的度數(shù)為或．故答案為:或．

【點睛】本題主要考查的是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關鍵．9．（2023上·山東淄博·九年級校考階段練習）已知為銳角，，則．【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【詳解】解：∵a為銳角，且，∴，解得：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，正確記憶特殊角三角函數(shù)值是解題的關鍵．10．（2023上·山東棗莊·九年級校考階段練習）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，,，則°；若的面積等于1，則的值是．【答案】60【分析】利用“”先說明與全等，得結論，再利用角的和差關系及三角形的內(nèi)角和定理求出；先利用三角形的面積求出，再利用直角三角形的邊角間關系求出．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴．在和中，，∴．∴．∴∴．故答案為：60．過點F作，垂足為G．∵，∴．∴，∵，∴∴．在中，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及解直角三角形，掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．11．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）在等腰三角形中，，，點D是邊上一點，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】先畫出圖形，根據(jù)得出，然后等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)證得，從而得出的度數(shù)，進而利用外角的性質(zhì)得出的度數(shù)．【詳解】解：如下圖：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是利用兩邊夾角法證得三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)．12．（2023·河北·統(tǒng)考二模）小明在計算時，先對題目進行了分析，請你根據(jù)他的思路填空：（1）原式中“”可以轉(zhuǎn)化為，的值為.（2）原式中“”的結果為；（3）原式中“”的結構特征滿足某個乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結果為1.【答案】22【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可求解；（2）根據(jù)求一個數(shù)的立方根，即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式進行運算即可；（4）根據(jù)（1）（2）（3）及特殊角的三角函數(shù)值，進行運算，即可解答【詳解】解：（1），故的值為2，故答案為：2；（2），故答案為：2；（3）；（4）【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，求一個數(shù)的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，熟練掌握和運用各法則是解決本題的關鍵．13．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考期中）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本