天津市南倉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

天津市南倉中學(xué)2024至2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級過程性檢測（數(shù)學(xué)學(xué)科）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共120分，考試用時100分鐘.第Ⅰ卷至1頁，第Ⅱ卷至2頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題紙上.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效.第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將機(jī)讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共9小題，共36分.一、選擇題（每小題4分，共36分）1.直線的一個方向向量為（）A. B.-3,2 C.2,3 D.【答案】B【解析】【分析】利用直線方向向量的定義和直線斜率與方向向量的關(guān)系直接求解即可.由得，，所以直線的一個方向向量為，而，所以也是直線的一個方向向量.故選：B.2.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直，數(shù)量積為0求得參數(shù)，然后由模的坐標(biāo)表示計算．，與垂直，則,，解得，，，故選：C．3.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是 B.過與直線平行的直線方程是C.點(diǎn)到直線距離是 D.若直線：，則【答案】B【解析】【分析】求解直線的傾斜角判斷A；求解直線方程判斷B；點(diǎn)到直線的距離判斷C；利用直線的斜率乘積判斷D.對于A，直線，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以A錯誤；對于B，過與直線平行的直線方程是，即，故B正確；對于C，點(diǎn)到直線的距離是，所以C錯誤；對于D，直線：的斜率為，故，故D錯誤.故選：B．4.過圓外一點(diǎn)，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出所求圓的圓心和半徑，即可求得答案.由圓可知，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故以為直徑的圓的方程為，故選：D5.在四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解..故選：C.6.已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量在向量上的投影向量是B.C.D.【答案】A【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，根據(jù)投影向量的定義計算即可；對于B選項(xiàng)，根據(jù)空間向量的減法運(yùn)算法則即可；對于C選項(xiàng)，根據(jù)向量法垂直的判別即可；對于D選項(xiàng)，根據(jù)向量夾角的余弦公式計算即可.A.在上的投影，與同向的單位向量為，所以向量在向量上的投影向量是，故A正確；B.，故B錯誤；C.因?yàn)?，所以與不垂直，故C錯誤；D.，故D錯誤.故選：A.7.已知直線的方程是，則對任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】首先求直線所過定點(diǎn)，再判斷選項(xiàng).，，得，定點(diǎn)在第一象限，則直線一定經(jīng)過第一象限故選：A8.從點(diǎn)出發(fā)的一條光線l，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再結(jié)合D在反射光線上，反射光線恰好通過點(diǎn)，即可求解．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，由題意可知，D在反射光線上，又反射光線恰好通過點(diǎn)，則，即反射光線所在直線的斜率為，故選：B﹒9.已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】表示點(diǎn)與與直線的斜率取值范圍，先求出與點(diǎn)連線斜率，再結(jié)合題意即可得出答案.解：∵，∴可得為點(diǎn)與與直線的斜率取值范圍，如圖所示：∴與點(diǎn)連線斜率，與點(diǎn)連線斜率為，∴可得斜率取值范圍為．故選:A．第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上.2.本卷共11小題，共84分.二、填空題（每小題4分，共24分）10.經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是______.【答案】或．【解析】【分析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，由點(diǎn)斜式求出直線的方程．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為，把點(diǎn)代入可得的值，從而得到直線方程．綜合以上可得答案．當(dāng)直線過原點(diǎn)時，由于斜率為，故直線方程為，即．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為，把點(diǎn)代入可得，故直線的方程為，故答案為：或．11.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是的直線方程是______.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)斜式求得方程，化為一般式即可.由題知，直線斜率為，則直線方程為，即故答案為：12.若點(diǎn)、、在同一直線上，則實(shí)數(shù)k的值為__________．【答案】【解析】【分析】由的斜率和的斜率相等，求出實(shí)數(shù)m的值．因?yàn)槿c(diǎn)、、在同一直線上，∴的斜率和的斜率相等，即，∴.故答案為：．13.已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】由題意可知的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直的距離公式可求得結(jié)果.由題意可知的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，則的最小值是_________.【答案】4【解析】【分析】利用對稱關(guān)系求出點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則最小值為之間的距離.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時等號成立，所以的最小值是4，故答案為：415.已知點(diǎn)，B0,3，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先求出直線的方程以及的長，圓心到直線的距離為，再求出點(diǎn)到直線的距離最小值，再由三角形面積公式即可求解.因?yàn)閮牲c(diǎn)，，所以直線的方程為：，即，，圓，其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離最小值為，所以面積的最小值；故答案為：.三、解答題（每題12分，共60分）16.已知直線：，：，其中為實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時，求直線，之間的距離；（2）當(dāng)時，求過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)兩直線平行的公式計算出，再由兩直線間的距離公式求解即可；（2）求出兩直線的交點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式求解即可.【小問1】由得，解得，此時直線：，：，不重合，則直線，之間的距離為；【小問2】當(dāng)時，：，聯(lián)立，解得，又直線斜率為，故過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為，即.17.已知空間向量．（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由向量共線定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式運(yùn)算即可求解.（2）首先由向量垂直的坐標(biāo)表示得到條件等式，結(jié)合基本不等式即可求解，注意取等條件是否成立.【小問1】由題意，，所以不妨設(shè)，又，從而，解得，所以.【小問2】由題意，所以，即，又因?yàn)?，所以由基本不等式可得，等號成立?dāng)且僅當(dāng)，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.18.如圖所示，已知三角形三個頂點(diǎn)為，求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）三角形的面積.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程即可求得所在直線的方程；（2）先求得直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得所在直線的方程；（3）利用點(diǎn)到直線距離公式求得邊上高，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得邊的長，進(jìn)而求得三角形的面積.【小問1】因?yàn)椋灾本€的兩點(diǎn)式方程為，化簡得；【小問2】因?yàn)?，又，則，所以，則直線的方程為，即.【小問3】點(diǎn)到直線：的距離又的底邊，所以的面積為.19.如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，.（1）求點(diǎn)到直線的距離（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等腰三角形腰上的高即可求出點(diǎn)到直線的距離.（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量及面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出點(diǎn)P到平面的距離．【小問1】三棱錐中，平面，平面，則，又，，，則，，，于是等腰腰上的高，由，分別是棱，的中點(diǎn)，得，是的中位線，所以點(diǎn)到直線的距離為.【小問2】依題意：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，得，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3】由（2）知，，點(diǎn)P到平面的距離，所以點(diǎn)P到平面距離為.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）取的中點(diǎn)N，求證：平面；（2）求直線與所成角的余弦值.（3）在線段上，是否存在一點(diǎn)M，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為?如果存在，求出與平面所成角的大?。蝗绻淮嬖?，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，以A為原點(diǎn)，AE所在的直線為x軸，所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（1）計算，利用向量法求證即可；（2）利用向量的夾角公式計算異面直線所成的角；（3）假設(shè)存在點(diǎn)M符合題意，根據(jù)二面角、線面角的向量求法計算即可.【小問1】取的中點(diǎn)，連接，則，，所以四邊形為矩形，所以，以A為原點(diǎn)，所