四川省川大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE13四川省川大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則=（）A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)滿意，則下列說法正確的是（）A．的虛部為2B．為實(shí)數(shù)C．D．3.設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4.已知變量滿意約束條件，則的最大值（）A．B．1C．4D．85.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則（）A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n6.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（）A．B．C．D．7.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．8.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，則AB等于（）A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．B．C．D．10.已知遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于（）A．93B．189C．eq\f(189,16)D．37811.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意．若，則（）A．B．0C．2D．5012.雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．其次部分（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷相應(yīng)的橫線上.13.曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為．14.直線與圓交于兩點(diǎn)，則．15.已知向量，，．若，則．16.給出以下命題：（1）已知回來直線方程為，樣本點(diǎn)的中心為，則；（2）已知，與的夾角為鈍角，則是的充要條件；（3）函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且在上單調(diào)遞增；（4）命題“存在”的否定是“對(duì)于隨意”.其中不正確的命題序號(hào)為．三、解答題（本大題共7小題，其中17-21題為必做題，每題12分，在22、23題選做一題，10分，共70分）17.（12分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．18.（12分）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動(dòng)．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．19.（12分）已知向量，，其中，函數(shù)，若函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．20.（12分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圈相交于點(diǎn)，，則直線，的斜率分別為，，且，其中是非零常數(shù)，則直線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，懇求出的坐標(biāo)．21.（12分）已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）當(dāng)時(shí)，探討方程的根的個(gè)數(shù)；選做題：（請(qǐng)?jiān)谙旅骖}目中選擇一題完成，留意在答題卡對(duì)應(yīng)位置將你選擇的題號(hào)用2B鉛筆填涂，并將選做題目答案寫在規(guī)定區(qū)域）22.選修4-4（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)曲線、交于點(diǎn)、，曲線與軸交于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離.23.選修4-5（不等式選講）（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，且，求證：.川大附中2025屆高三上半期考試數(shù)學(xué)試題(文科)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則=（）A．B．C．D．【解析】∵，∴.故選A.2.若復(fù)數(shù)滿意，則下列說法正確的是（）【答案】CA．的虛部為2B．為實(shí)數(shù)C． D．3.設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.4.已知變量滿意約束條件，則的最大值（）【答案】DA． B．1 C．4 D．85.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則（）A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2－4n.故選A.6.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（）A．B．C．D．【解析】令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，解除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以解除選項(xiàng)C，故選D．7.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【解析】∵，，，∴.故選A.8.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，則AB等于（）答案AA．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）【答案】AA． B． C． D．【解析】由三視圖知：幾何體是以半徑為1，母線為3的半圓錐，（如圖）可得該圓錐的高．底面面積，幾何體的體積10.已知遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于（）答案BA．93B．189C.eq\f(189,16)D．37811.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意．若，則（）A．B．0C．2D．50【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋瑥亩?故選C．12.雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為（）A．2sin40°B．2cos40°C． D．【解析】由已知可得，，故選D．其次部分（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷相應(yīng)的橫線上.13.曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為．【解析】設(shè)，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．14.直線與圓交于兩點(diǎn)，則．【解析】依據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是2，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得，結(jié)合圓中的特別三角形，可知，故答案為.15.已知向量，，．若，則．【解析】由題可得，，，，即，故答案為.16.給出以下命題：（1）已知回來直線方程為，樣本點(diǎn)的中心為，則；（2）已知，與的夾角為鈍角，則是的充要條件；（3）函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且在上單調(diào)遞增；（4）命題“存在”的否定是“對(duì)于隨意”.其中不正確的命題序號(hào)為．【答案】（2）（4）【解】（1）依據(jù)回來直線恒過樣本的中心點(diǎn)，可得，故正確；（2）由有，與的夾角為鈍角或平角，所以依據(jù)充要條件的定義可推斷錯(cuò)誤.故錯(cuò)誤；（3）把代入函數(shù)，函數(shù)值為，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由，可得所以函數(shù)在上是遞增的.所以函數(shù)在上是遞增的.故正確；（4）命題“存在，”的否定是“對(duì)于隨意，”故錯(cuò)誤；故答案為：（2）（4）．三、解答題（本大題共7小題，其中17-21題為必做題，每題12分，在22、23題選做一題，10分，共70分）17.（12分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.18.（12分）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動(dòng)．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（2）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（1），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率為P（M）=．19.（12分）已知向量，，其中，函數(shù)，若函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．解（1）由題意可得f

(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4))).由題意知，T＝eq\f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，則f

(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z，∴f

(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．（2）將f

(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))的圖象． ∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴4x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，\f(9π,4)))，∴－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2)，故函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇－eq\r(2)，1]．20.（12分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圈相交于點(diǎn)，，則直線，的斜率分別為，，且，其中是非零常數(shù)，則直線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，懇求出的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)?，的面積，且，故解得，，，則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）假設(shè)，，直線與橢圓聯(lián)立得消去整理得，則，，又因?yàn)椋?，，則，即，代入韋達(dá)定理得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，則，即，代入直線得，所以恒過，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．21.（12分）已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）當(dāng)時(shí)，探討方程的根的個(gè)數(shù)；解：（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．，，所以函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e．（2）由，得．若，則在上，函數(shù)在上為增函數(shù)，由知，方程的根的個(gè)數(shù)是0；若，由，得（舍）或．若，即，在上為增函數(shù)，由知，方程的根的數(shù)是0；若，即，在上為減函數(shù)，又，，所以方程在上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；若，即，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，．．當(dāng)，即時(shí)，，方程在上的根的個(gè)數(shù)是0；當(dāng)時(shí)，方程在上的根的個(gè)數(shù)是1；當(dāng)時(shí)，，，方程在上的根的個(gè)數(shù)是2