實(shí)戰(zhàn)演練10 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題（3大常考點(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)實(shí)戰(zhàn)演練10圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題①定點(diǎn)問(wèn)題②定值問(wèn)題③定直線問(wèn)題一、定點(diǎn)問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題是比較常見(jiàn)出題形式，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．【一般策略】①引進(jìn)參數(shù).一般是點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程.③探究直線過(guò)定點(diǎn).一般化成點(diǎn)斜式或者直線系方程二、定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱為定值問(wèn)題．這些問(wèn)題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．【一般策略】①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②引進(jìn)變量法：選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡(jiǎn)，消去變量得到定值【常用結(jié)論】結(jié)論1過(guò)圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點(diǎn)A，B，則直線AB必過(guò)一定點(diǎn)（等軸雙曲線除外）.結(jié)論2過(guò)圓錐曲線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB必過(guò)焦點(diǎn).結(jié)論3

過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB已知且必過(guò)定點(diǎn).結(jié)論4過(guò)圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則kAB為定值.結(jié)論5

設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別是k1三、定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.【一般策略】①聯(lián)立方程消去參；②挖掘圖形的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；③將橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消參；④設(shè)點(diǎn)，對(duì)方程變形解得定直線.解題技巧：動(dòng)點(diǎn)在定直線上：題設(shè)為某動(dòng)點(diǎn)在某定直線．目標(biāo)：需要消掉關(guān)于動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的所有參數(shù)，從而建立一個(gè)無(wú)參的直線方程，此時(shí)會(huì)分為三種情況：（1），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．（2），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．（3），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．①定點(diǎn)問(wèn)題一、解答題1．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）由題意過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足，，∴存在定點(diǎn)．2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；（2）由題意可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即可.【詳解】（1）∵的周長(zhǎng)為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設(shè)直線MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內(nèi)心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當(dāng)直線MN垂直于x軸，即時(shí)，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為．(1)求拋物線的方程．(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)，并且求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)計(jì)算求參得出拋物線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率再分別表示切線應(yīng)用同構(gòu)或待定系數(shù)法求解即可.【詳解】（1）由題意橢圓的上頂點(diǎn)為，，∴，∴．（2）法一（同構(gòu)法）．設(shè)點(diǎn)Mx1,y1由，∴直線的斜率為，∴即同理可得∵點(diǎn)，代入得∵點(diǎn)，代入得∴點(diǎn)、都滿足關(guān)系∴①又點(diǎn)，∴，代入①得故直線恒過(guò)定點(diǎn)1,4．法二（配極原則）．設(shè)定點(diǎn)為，由題目可知點(diǎn)所在直線是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，∴由配極原則可得即對(duì)比的系數(shù)可得∴直線恒過(guò)定點(diǎn)1,4．4．（2025·廣東·一模）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為.(1)求;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后表示出直線的斜率，再由它們的斜率之積是，列方程化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得直線為0，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由得，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入上式化簡(jiǎn)可得，從而可求得直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)是，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡是除去兩點(diǎn)的橢圓.（2）證明：設(shè)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可知，且有，解得，此時(shí)直線為0，②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則此時(shí)有：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可得：，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，所以，所以，所以所以，則或，當(dāng)時(shí)，則直線恒過(guò)點(diǎn)與題意不符，舍去，故，直線恒過(guò)原點(diǎn)，結(jié)合①，②可知，直線恒過(guò)原點(diǎn)，原命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.5．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)，且．

(1)求的方程；(2)如圖，過(guò)作直線（不與軸重合）與曲線的兩支交于兩點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用焦距，結(jié)合題干條件與漸近線構(gòu)成的幾何關(guān)系，列方程組求出，得到雙曲線方程；（2）設(shè)，利用點(diǎn)斜式方程分別寫(xiě)出直線的方程，和雙曲線聯(lián)立后，得到的坐標(biāo)，然后得到直線的方程，即可求解.【詳解】（1）漸近線，漸近線．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意，不妨設(shè)在上，在上，是線段的中垂線，所以．由對(duì)稱性，，所以，從而．，在Rt中，，解得．所以，故C的方程為．（2）設(shè)，設(shè)直線．

可得直線．聯(lián)立得，則，又，所以，所以，所以，同理．則直線，令，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，需將待考察的直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理的表達(dá)式，將直線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)整理后進(jìn)行求解.6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）長(zhǎng)為3的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸上移動(dòng)，點(diǎn)在直線上且滿足．(1)求點(diǎn)的軌跡方程．(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)任作直線交曲線于兩點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)．求證：直線與直線的交點(diǎn)為定點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，．【分析】（1）利用，確定，，坐標(biāo)之間的關(guān)系，由，即可求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線與曲線C相切，不合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定、的方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)，由得，即，又由，整理得．（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線與曲線相切，不合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立，消去可得，設(shè)，則，又的方程為，與曲線的方程聯(lián)立可得：，，，，直線的方程為，易得，聯(lián)立可得，則，，又，，從而，則，所以直線與直線交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.7．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的離心率；(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，且與交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由兩點(diǎn)坐標(biāo)代入待定系數(shù)求出雙曲線方程，進(jìn)而得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，，坐標(biāo)表示直線的方程，由對(duì)稱性知直線若過(guò)定點(diǎn)必在軸上，直線方程中令，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得橫坐標(biāo)為定值即得證.【詳解】（1）由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，解得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以離心率，故的離心率為；（2）由（1）知的右焦點(diǎn)為，直線，設(shè)Mx1,y1聯(lián)立，得，由題可知，即，且，則，則直線的直線方程為，由對(duì)稱性可知，直線若過(guò)定點(diǎn)，則必在軸上，令，得當(dāng)，且時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的一般解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)，或以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)在曲線＝0上，即消參.（2）特殊到一般法：定點(diǎn)問(wèn)題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對(duì)稱性及特殊(或極端)位置猜想，再加以證明.8．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，則得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）寫(xiě)出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，則；（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令，可得，則的直線過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.9．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率分別為的直線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合求出，從而可求得雙曲線的方程；（2）直線的方程為，設(shè)，將直線方程代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由得，表示出，從而可表示出直線的方程，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）由題意知，解得，所以雙曲線的方程是；（2）直線的方程為，設(shè)．由，得，所以，所以，所以，所以，同理可得，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且時(shí)，，所以直線的方程為，，，，，所以，所以直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將直線方程代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系的中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于較難題.②定值問(wèn)題一、解答題1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)，(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.【答案】(1)y2＝8x(2)證明見(jiàn)解析，8【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)即可求出p，進(jìn)而可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而可以得到與其中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示出中垂線方程，進(jìn)而求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求即可.【詳解】（1）解:(1)由題意得∴拋物線的方程為（2）設(shè)，直線AB的斜率為則直線方程為將此式代入，得，故設(shè)的中垂線為直線m，設(shè)直線m與的交點(diǎn)為則故直線m的方程為令得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為故∴為定值82．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，為定值．【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應(yīng)用弦長(zhǎng)公式，最后計(jì)算得出定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設(shè)直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．此時(shí)，即，所以．設(shè)，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．3．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)點(diǎn)A，B，C，D在上，A，B是關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)位于第三象限，直線AC與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且B，H，D三點(diǎn)共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直接法，求軌跡方程；（2）首先設(shè)點(diǎn)，并表示直線的方程，并由已知條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用方程聯(lián)立表示的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示斜率，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，故的方程為.（2）證明:設(shè)點(diǎn)的方程為，則，因?yàn)椋詮亩本€BD的方程為聯(lián)立可得，所以，則，所以聯(lián)立可得，所以，則，所以.所以直線CD的斜率為.所以直線與直線的斜率之比為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并找到坐標(biāo)的關(guān)系，從而求得斜率的關(guān)系.4．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且直線的傾斜角為，點(diǎn)到的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），是上一點(diǎn)，且軸．若平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)均在上，與交于點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線定義得到，再根據(jù)條件得到，代入拋物線方程得到方程，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，Nx2,y2，根據(jù)條件得到，從而有直線的方程為，得到直線過(guò)點(diǎn)，又由題設(shè)知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得到為的中點(diǎn)，即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，得，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，又，所以，代入，得，整理得，解得（舍去）或，故的方程為．（2）設(shè)，顯然，與軸不平行，設(shè)直線的方程為，Nx2,聯(lián)立得，則，且，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，所以，得到，又，即，由點(diǎn)在上，得，解得，所以直線的方程為，即，所以直線過(guò)點(diǎn)，又將代入，得，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為的中點(diǎn)，所以，故為定值．5．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，是雙曲線C上一點(diǎn)，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于R、S兩點(diǎn).若點(diǎn)P恰為線段RS的中點(diǎn)，求直線l的方程；(3)設(shè)斜率為-2的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D.若直線PA、PD的斜率均存在且分別為、，求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）代入得到，由得到，聯(lián)立即可得解；（2）由在直線上，且為中點(diǎn)，解出值即可；（3）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線的方程得到，結(jié)合題意解出即可.【詳解】（1）因?yàn)槭请p曲線C上一點(diǎn)，所以，由，所以，因?yàn)?，所以，即，?lián)立解得：，所以雙曲線的方程為：.（2）由（1）知：雙曲線的漸近線方程為，由圖象可知直線的斜率存在并大于1，不妨設(shè)，，由的方程為：，將代入得：，同理，由為中點(diǎn)，則，所以，解得，所以直線l的方程為.（3）設(shè)Ax1,y1,Bx設(shè)直線的方程為，由，得，由可知或，則，所以，由題意知：，所以，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.6．（24-25高三上·海南·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為.①求四邊形的面積的最大值；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)①；②是，0【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意得，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓方程；（2）①求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)，求出的范圍，然后表示出四邊形的面積，化簡(jiǎn)可求出其最大值；②表示出直線的斜率和直線的斜率，然后結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為.由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)時(shí)，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達(dá)定理知：，又是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)，則，解得四邊形的面積故當(dāng)時(shí)，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則..所以的值為常數(shù)0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合已知條件求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.7．（23-24高二上·北京·期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．(1)求橢圓ω的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點(diǎn)，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．求證為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可得，進(jìn)而得出，即可得出橢圓方程；（2）先考慮直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，得出韋達(dá)定理，得出直線的方程，可表示出坐標(biāo)，同理表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用韋達(dá)定理可求出.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為.不妨設(shè)此時(shí)，，所以直線的方程為，即.直線的方程為，即.所以.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得.依題意，.設(shè)，，則，.又直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，同理.所以.綜上，為定值，定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8．（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，，過(guò)的直線交曲線于A，兩點(diǎn)，交曲線于，交曲線于，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分析可得，利用橢圓的定義可求得軌跡的方程；（2）根據(jù)條件可得直線AM和BM的方程，與橢圓C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法結(jié)合斜率公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則，可知圓內(nèi)含于圓，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，

則，可得，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為，其中，，則，，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)，

則有，則直線AM的方程為：，直線AB的方程為，則，聯(lián)立方程，解得：，又點(diǎn)Ax，代入上式化簡(jiǎn)得：

，；同理可得：，所以，即，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)A?2,0，兩點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）△MNP的面積為定值．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過(guò)A，B兩點(diǎn)，代入解得，即可.（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，．同理，．再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.【詳解】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過(guò)A，B兩點(diǎn)，故，，解得，．因此C的方程為．（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1

因?yàn)?，所以直線BM的斜率為，方程為．由，得，所以，．因此．同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．由，得，所以，，因此．則，即存在，滿足．（ⅱ）由（?。?，直線MN的方程為，所以點(diǎn)P到直線MN的距離．而，所以的面積為定值．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問(wèn)設(shè)問(wèn)基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（?。┬?wèn)在題干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對(duì)4個(gè)坐標(biāo)分量的求解非?？简?yàn)學(xué)生的代數(shù)基本功和計(jì)算能力，區(qū)分度較大．③定直線問(wèn)題一、解答題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，直線與交于兩點(diǎn)（不與重合），設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)判斷直線是否過(guò)軸上的定點(diǎn).若過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)過(guò)定點(diǎn).(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理的等式，再通過(guò)斜率之間的關(guān)系即可得出，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).（2）根據(jù)題意得出兩條直線方程，再聯(lián)立化簡(jiǎn)得到關(guān)于的等式，從而得到定直線方程.【詳解】（1）由題意可知，設(shè)直線的方程為.由消去，可得，則，，即，.因?yàn)椋?，故直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn).（2）由題可知，直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)椋?，故點(diǎn)在定直線上.

2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．(1)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)Mx1,（2）由題意求出橢圓方程，與直線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立直線與直線的方程，化簡(jiǎn)可求得交點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）設(shè)Mx1,y1由兩式相減得，即．所以．（2）解法一：由解得所以橢圓的方程為．將直線的方程代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)整理得．①

由，解得．由韋達(dá)定理，得，．②設(shè)，，則直線的方程為，③直線的方程為，④由③④兩式解得，即，所以直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．解法二：設(shè)直線（即直線）與直線（軸）的交點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)，，構(gòu)成橢圓的自極三點(diǎn)形，點(diǎn)一定在點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線上，其方程為，即，就是說(shuō)直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．3．（2024高三下·河南·專(zhuān)題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是2，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡(jiǎn)即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)得到，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和得到點(diǎn)在定直線上，又也在直線上，即可證明點(diǎn)在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡(jiǎn)得，的方程為.（2）依題意，設(shè)，①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，因?yàn)?，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由消去，得，則且，因?yàn)椋?，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解動(dòng)點(diǎn)在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，然后消參，即可得到直線方程.4．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作互相垂直的直線，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】（1）當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對(duì)稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知F1,0，依題意，可設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設(shè)Ax1,y設(shè)，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)若C的上頂點(diǎn)為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(2)過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線交直線AN于點(diǎn)Q，證明：線段MQ的中點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)-3(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，待定系數(shù)法求出，，，得到橢圓方程，設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，，代入兩根之和，兩根之積，求出的值；（2）設(shè)線段MQ的中點(diǎn)為，又Mx1,y1，故，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，計(jì)算出，故，得到線段MQ的中點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，Mx1,y由，得，由方程的判別式，可得，所以，，易得，所以，，所以，（2）證明：設(shè)線段MQ的中點(diǎn)為，又Mx1,y所以，，即，又A，N，Q三點(diǎn)共線，所以，即，所以，又，又所以，所以，即線段MQ的中點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】定值問(wèn)題常見(jiàn)方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.6．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點(diǎn)的點(diǎn)，且滿足，試問(wèn)是否存在一條定直線，使得點(diǎn)恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)恒在直線上.【分析】（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)距離公式，求弦的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)直線方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及相似三角形求解即可.【詳解】（1）設(shè)Ax若直線的傾斜角為，則直線的方程為.聯(lián)立得，則，且，所以.因?yàn)椋?，故的方程?（2）存在，定直線為.由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立得.由，得且，.不妨設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)，如圖所示，則，.因?yàn)?，所以，整理得，所?代入直線的方程得.因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在直線上.7．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為.(1)求的方程；(2)斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，則的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知可得，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，且，，可求得，設(shè)直線的方程為，即，與橢圓聯(lián)立方程組可得，求得的垂直平分線方程，同理可求的垂直平分線方程，可求得的外心在定直線上.【詳解】（1）由題意，得，解得，故的方程為.（2）的外心在定直線0上.理由如下：由題