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函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合練習(xí)
共22道題,滿(mǎn)分150分
一、單項(xiàng)選擇題(每道題5分,共40分)
1.已知函數(shù)y=ax-4+l(a>0且a盧1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P若點(diǎn)P在毒函數(shù)
f(x)的圖象上,則基函數(shù)f(x)的圖象大致是().
2.函數(shù)f(x)二五次+之的定義域?yàn)?)
X
A.(-8。)B.(0,l]
C.(-oo,l]D.(-oo,0)U(0,l]
3.在下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是().
y21
A.f(x)=x-l,g(x)=—
B.f(x)=|x+l|,g(x)=『;:U:,
L工-A,AJ.
C.f(x)=l,g(x)=(x+1)°
D.f(x)=(W):g(x)二高
4.已知函數(shù)f(x)={;H:1'且f(x)=3廁x的值是().
A.2B.|C.2或]D.2或:
5.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:
x123
f(x)131
x123
g(x)321
則滿(mǎn)足f(g(x))>g(f(x))的x的值是().
A.1B.2c.3D.1和2
6.已知函數(shù)以)={耍:*吃)是定義在R上的奇函數(shù),則g(x)=()-
A.VxB.-Vx
C.V^xD.-V^x
7.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-l,2a]上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,2a]上單
調(diào)遞增,則不等式f(x-l)<f⑻的解集為().
A.[-l,3]B.(0.2)
C.(0,l)U(2,3]D,[-l,0)U(1,2)
8.某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水,作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量
不超過(guò)10立方米的,按每立方米m元收費(fèi);用水量超過(guò)10立方米的,
超過(guò)部分按每立方米2m元收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16m元,則該職工
這個(gè)月實(shí)際用水量為().
A.13立方米B.14立方米
C.18立方米D.26立方米
二、多項(xiàng)選擇題(每道題5分,共20分)
9.若函數(shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是塞函數(shù),則f(x)一定().
A.是偶函數(shù)
B.是奇函數(shù)
C.在x£(-8,0)上單調(diào)遞減
D.在x£(-8,0)上單調(diào)遞增
10.已知函數(shù)f(x)的圖象由如圖所示的兩條線(xiàn)段組成,則().
A.t(f(l))=3
B.f(2)>f(0)
C.f(x)=-x+l+2|x-l|,xG[0,4]
D.ma>0不等式f(x)Wa的解集為停,2〕
11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x》0時(shí),f(x)=x-x;則下列說(shuō)
法正確的是().
A.f(-l)=0
B.f(x)在(-L0)上是增函數(shù)
C.f(x)>0的解集為Q1)
D.f(x)的最大值為[
12.把定義域?yàn)椋?,+8)且同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱(chēng)為“Q函
數(shù)”:⑴對(duì)任意的x£[0,+8),總有心田0;⑵若xN0,yN0,則有
f(x+y)2f(x)+f(y)成立.下列判斷錯(cuò)誤的是().
A若f(x)為“Q函數(shù)”,則f(0)=0
B.若f(x)為“Q函數(shù)”很卜(x)在。+8)上一定是增函數(shù)
fO.xEQ,
C.函數(shù)g(x)=I*&Q在。+8)上是“Q函數(shù)”
D.函數(shù)g(x)二岡在[0,+8)上是“Q函數(shù)”(岡表示不大于x的最大整數(shù))
三、填空題(每道題5分,共20分)
13.函數(shù)f(x)二景的定義域是.
14.某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷(xiāo)活動(dòng),規(guī)定:如果顧客選購(gòu)物品的總金
額不超過(guò)600元,則不享受任何折扣優(yōu)惠;如果顧客選購(gòu)物品的總金額
超過(guò)600元,則超過(guò)600元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠,折扣優(yōu)惠按下
表累計(jì)計(jì)算.
可以享受折扣折扣優(yōu)
優(yōu)惠金額惠率
不超過(guò)1100
5%
元部分
超過(guò)1100元
10%
部分
某人在此商場(chǎng)購(gòu)物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元,則他實(shí)際所付金額為
元.
15.已知偶函數(shù)f(x)=x?+bx+c,寫(xiě)出一組使得f(x)22恒成立的b,c的取
值:b=,c=.
16.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2ax+a,其中
aER.
①代)=-----;
②若f(x)的值域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
四、解答題(17題10分,18-22題12分,共70分)
17給出關(guān)于函數(shù)f(x)的一些限制條件:①在(0,+8)上單調(diào)遞減;②在(?
8,0)上單調(diào)遞增;③是奇函數(shù);④是偶函數(shù)⑤f(0)二0.在這些條件中,選
擇必需的條件,補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.
定義在R上的函數(shù)f(x),若滿(mǎn)足(填寫(xiě)你選定的條件的序號(hào)),且
f(-l)=0,求不等式f(x-l)>0的解集.
⑴若不等式的解集是空集,請(qǐng)寫(xiě)出選定條件的序號(hào),并說(shuō)明理由;
⑵若不等式的解集是非空集合,請(qǐng)寫(xiě)出所有可能性的條件序號(hào);(不必
說(shuō)明理由)
⑶求解問(wèn)題⑵中選定條件下不等式的解集.
18.已知函數(shù)y二f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x?-ax+4.
⑴求y=f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x)tx+3的解集.
19.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,min{a,b}表示atb中較小的那個(gè)數(shù),即
min{a,b}J;;Q心’已知函數(shù)f(x)=3-x2,g(x)=l-x.
7D.
⑴求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1口上的最小值;
⑵設(shè)h(x)=min{f(x),g(x)},x£R,求函數(shù)h(x)的最大值.
20.已知函數(shù)f(x)二巖是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),且f(l)=i
V-Xo
⑴確定f(x)的解析式;
⑵判斷f(x)在(-3,3)上的單調(diào)性,并用定義證明;
⑶解不等式f(t-l)+f(2t)<0.
21.某地空氣中出現(xiàn)污染,須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算,每
噴灑1個(gè)單位的去污劑,空氣中釋放的濃度y(單位:亳克/立方米)隨著
14~~,0<x<4,
時(shí)間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y二28v若多次
-X+2,<X41,
噴灑,則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)
刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4毫克
/立方米時(shí),才能起到去污作用.
⑴若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑,則去污時(shí)間可達(dá)幾天?
⑵若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑,6天后再?lài)姙(lWaW4)個(gè)單位
的去污劑,要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效去污,試求a的最小值.
22已知f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x.yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y)-l,當(dāng)x>0
時(shí),f(x)<l,f⑴=0.
⑴求f(F
⑵試判斷f(x)在R上的單調(diào)性拼證明.
⑶解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.
參考答案
1.B【解析】由x-4=0,得x=4,y=2,即定點(diǎn)為P(4,2).設(shè)毒函數(shù)f(x)=xa,
則4a=2得。弓1,所以f(x)二轉(zhuǎn)1故選B.
2.D【解析】要使函數(shù)f(x)有意義,則旨a.?.xWl且xKO,??.f(x)
的定義域?yàn)?-80)U((U],故選D.
3.B【解析】對(duì)于A,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|xW-l},兩個(gè)
函數(shù)的定義域不相同,所以A不是同一函數(shù);
對(duì)于B,f(x),g(x)的定義域都為R,而f(x)=仔J與g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)
(一人-A,%<一JL,
系相同,所以B是同一函數(shù);
對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|xK-l},兩個(gè)函數(shù)的定義域
不相同,所以C不是同一函數(shù);
對(duì)于D,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x聲0},兩個(gè)函數(shù)的定義域不
相同,所以D不是同一函數(shù).
4.D【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式分類(lèi)討論.
當(dāng)x>l時(shí),f(x)=x+1=3,「.x=2,滿(mǎn)足題意;
當(dāng)x<l時(shí),f(x)=4x=3,??.xq滿(mǎn)足題意.
綜上可得,x的值是2或*
5.B【解析】當(dāng)x=l時(shí),f(g⑴尸f⑶=l,g(f⑴用g⑴=3,不符合題意;
當(dāng)x=2時(shí),f(g⑵)=f(2)=3,g(f⑵尸g⑶=L符合題意;
當(dāng)x=3時(shí),f(g⑶戶(hù)f⑴=l.g(f⑶尸g⑴=3,不符合題意.
綜上,滿(mǎn)足f(g(x))>g(f(x))的x的值為2.
6Q【解析】因?yàn)閹怠?
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=V^x,
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),故f(x)=-G=g(x).
7.B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-l,2a]上的偶函數(shù),所以-
a-l+2a=0,解得a二L所以不等式f(x-l)<f⑻可化為f(|x-l|)<f⑴.因?yàn)閒(x)
在區(qū)間[0,2a]上單調(diào)遞增,所以解得0<x<2.
8.A【解析】設(shè)該職工這個(gè)月的用水量為x立方米需要繳納的水費(fèi)
為f(x)元,
當(dāng)0WXW10時(shí),f(x)=mx,
當(dāng)x>10時(shí),f(x)=10m+(xd0)x2m=2mx-10m,
柏f/<x<10,
>10,
據(jù)此分類(lèi)討論:
當(dāng)OWxWlO時(shí),令mx=16m,解得x=16,不符合題意,舍去;
當(dāng)x>10時(shí),令2mx-10m=16m,解得x=13,符合題意.
綜上可得,該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為13立方米.
9.BD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是鬲函數(shù),所以3m2-
10m+4=l,解得m=3或m^,所以⑼力或f(x)二戶(hù)由事函數(shù)的性質(zhì)
知,f(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增.
1O.AC【解析】因?yàn)閒⑴=0,f(0)=3,所以f(f(l))=3,所以A正確.
因?yàn)閒(0)=3,0<f⑵<3,所以f⑵<f(0),所以B錯(cuò)誤.
由題圖得,當(dāng)xE[O,0時(shí),設(shè)解析式為y尸k】x+b】(k廿0),因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)
(1,0),(0.3)兩點(diǎn),
所以《二M°,解得由二33所以丫尸39;
當(dāng)xE[l,4]時(shí),設(shè)解析式為y2=kzx+bjk2k0),因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)(1,0),(4,3)兩
點(diǎn),所咪MV=°3解得信二所以三口
故f(x)=-x+l+2|x-l|,xE[0,4],所以C正確.
由選項(xiàng)C得f⑵=2-1二l,f仔二3-|二I,如圖所示,所以不存在大于零的a.
使得不等式f(x)Wa的解集為停,2],故D錯(cuò)誤.
11.AD【解析】由題意得f(-l)=f⑴=二0,故A正確;
當(dāng)X20時(shí),f(x)=xd在(0()上是增函數(shù),在(,+8)上為減函數(shù)因?yàn)?/p>
函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)所以f(x)在上是增函數(shù),在(一
表0)上是減函數(shù)故B不正確;
當(dāng)x20時(shí)面f(x)=x-x2>0,可得0<x<l,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶
函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),由f(x)>0,可得-l<x<0,所以f(x)>0的解集為(-
[。)口(0,1),故?不正確;
2
當(dāng)X20時(shí),由f(x)=X-X2=-(%-1)+河知,當(dāng)時(shí),f(x)max二捆為函數(shù)f(x)
是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)在R上的最大值為點(diǎn)故D正確.
12.BC【解析】若函數(shù)f(x)為“Q函數(shù)”,若滿(mǎn)足條件⑴,則f(O)NO,若
滿(mǎn)足條件⑵,當(dāng)x=y=0時(shí)f(O)Nf(O)+f(O),解得f⑼這。若同時(shí)滿(mǎn)足條件
⑴⑵,則f(0)=0,故A正確;
若函數(shù)f(x)是常函數(shù)如f(x)=0,x£[0,+8),同時(shí)滿(mǎn)足條件。乂2),但不是增
函數(shù),故B不正確;
當(dāng)x=&,y=V3
時(shí),g(或尸l,g(百戶(hù)l,g(6+B)=Lg(a+b)<g(V^)+g(V5),不滿(mǎn)足條
件⑵,所以g(x)在[0,+8)上不是“Q函數(shù)”,故c不正確;
g(x)二岡的最小值是0,顯然符合條件⑴,設(shè)[0,+8)上的每一個(gè)數(shù)都由整
數(shù)部分和小數(shù)部分兩部分構(gòu)成,設(shè)X的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是n,即
x=m+n廁岡二m,設(shè)y的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,即y=a+b,[y]=a,當(dāng)
n+b沒(méi)有進(jìn)到整數(shù)位時(shí),[x+y]=m+a,若n+b進(jìn)到整數(shù)位
時(shí),[x+y]=m+a+1,所以[x+y]\岡+[y],所以函數(shù)g(x)二岡滿(mǎn)足條件⑵,所
以g(x)二岡在0+8)上是“Q函數(shù)”,故D正確.
13.[3,4)U(4+00)【解析】由{tV得3Wx<4或x>4.
14.1120【解析】由題意可知,折扣金額V元與購(gòu)物總金額x元之間
0,0<x<600,
的解析式為y=0.05(x-600),600<%<1100,
0.1(x-1100)+25,x>1100.
???y=30>25,「?x>1100,A0.1(X-1100)+25=30,
解得x=1150,由1150-30=1120知,
此人購(gòu)物實(shí)際所付金額為1120元.
15.04(答案不唯一)【解析】由題意,函數(shù)f(x)=x2-bx+c為偶函數(shù),
則f(-x)=f(x),
即(-xy+b(-x)+c=x2+bx+c,可得b=0,所以f(x)=x2+c,
又由f(X)N2恒成立,所以f(X)min22,即CN2.
16.-;(-oo,0]U[l+oo)【解析】①由題意,函數(shù)f(x)是定義在R上的
q
2
奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2ax+a,則O=-奄)二-G)-2ax1+
i
a=-.
4
②若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可得當(dāng)x>0
時(shí),函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的圖象與x軸有交點(diǎn),則△=(2a)2-4aN0,解得
aWO或aNl,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8Q]u[l,+8).
17?【解析】(1)若不等式f(x-l)>0的解集為空集,即f(x-l)W0恒成立.
因?yàn)閒(-1)=0,所以函數(shù)f(x)不可能單調(diào)遞增或單調(diào)遞戒所以①②都不
能選.
選③④時(shí),f(x)的表達(dá)式為f(x)=O,不等式f(x-l)>0的解集為空集.
所以選③?.
⑵若不等式f(x-l)>0的解集是非空集合,可選擇條
件:①?;①?⑤②?:②@⑤
(3)若選擇①③因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)所以f(O)=O,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所
以f⑴二0,
又f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,
由f(x-l)>0,得x-l<-l或0<x-l<l,
解得x<0或lvx<2,
所以不等式f(x-l)>0的解集為(一8°)u(l,2).
若選擇①④@:由于f(x)是偶函數(shù),f(:)=0,則")=0,
又f(X)在(0,+8)上單調(diào)遞戒,所以f(x)在(-8Q)上單調(diào)遞墻
由f(x-l)>0,:f#-l<x-l<0或0<x-l<l,
解得0<x<2且x#l,
所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,1)n(1,2).
若選擇②③因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所以
又f(x)在(-8。上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或x-l>l,
解得0<x<l或x>2,
所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,l)U(2,+8).
若選擇②④⑤:由于f(x)是偶函數(shù)f(-D=0,則f⑴二
又f(x)在(-8。上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.
由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或0<x?l<L
解得0<x<2且xXl,
所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,l)U(L2).
18.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),
所以f(O)=O,f⑴=-f(-l)=l,
所以l-a+4=l,解得a=4,
所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x+4.
令x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),
所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x-4.
X2-4X+4,x>0,
0,x=0,
{-X2-4X-4,X<0.
⑵當(dāng)x>0時(shí),原不等式可化為X2-4X+4<|X+1,
整理并化簡(jiǎn)得(x-l)(2x-7)<0,解得l<x<^;
當(dāng)x=0時(shí),原不等式可化為0<5顯然成立;
當(dāng)x<0時(shí),原不等式可化為-x2-4x-4gx+1,
整理并化簡(jiǎn)得(x+3)(2x+3)>0,解得x<-3或-|<x<0.
綜上,原不等式的解集為(-8,-3)U(-
19.【解析】⑴因?yàn)閒(x)=3-2在[-1,0]上單調(diào)遞增,在(0口上單調(diào)遞減,所
以f(x)在[-1,1]上的最小值為f(-l)=f(l)=2.
⑵當(dāng)g(x)=1-XW3-X2=f(x),即-1WXW2時(shí),h(x)=l-x;
當(dāng)g(x)=l-x>3-x2=f(x),SPx<-l或x>2時(shí),h(x)=3-x:
作出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示,
由圖可知,h(X)在(-00,-1)上單調(diào)遞增,在[-L+8)上單調(diào)遞減,即
h(x)Wh(-l)=2.
所以當(dāng)x=-l時(shí),h(x)取得最大值,最大值為2.
20?【解析】(1)由函數(shù)f(x)二巖是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),可知
f(0)二T=0,解得b=0,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)b=0時(shí),f(x)二言是(-3,3)上的奇函數(shù),滿(mǎn)
足題意.
又f⑴二言4解得a.
故f(x)二盤(pán),xE(-3,3).
⑵f(x)在(-3,3)上為增函數(shù),證明如下:
在(-3,3)內(nèi)任取XM,且x1<X2,則f(X2)-f(x?二羲一^二(箕墨蓍)
VX2-XI>0,9+XIX2>0,9-%I>0,9-X2>0.
???f(X2)-f(Xi)>0,即f(x2)>f(xi),
???財(cái)在(-3,3)上為增函數(shù).
(3)vf(t-l)+f(2t)<0,Af(t-l)<-f(2t),
又??葉儀)是(-3,3)上的奇函數(shù)
由⑵知f(x)在(?3,3)上為增函數(shù),
-3<t-1<3,
故-3V2V3,解得一|<?
t-1<-2t,
即te(一姿
故原不等式的解集為Git).
21?【解析】(I):一次噴灑4
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