第01講 基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 精講（解析版）-【學(xué)霸之路】2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練（新教材新高考）

第01講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背................................................1

第二部分：高考真題回歸.............................................6

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................10

高頻考點(diǎn)一：基本立體圖形........................................10

高頻考點(diǎn)二：立體圖形的直觀圖....................................14

高頻考點(diǎn)三：空間幾何體的表面積與體積...........................17

角度1：表面積和側(cè)面積........................................17

角度2：體積..................................................19

角度3：螞蟻爬行最短問(wèn)題.....................................22

高頻考點(diǎn)四：空間幾何體的外接球.................................31

角度1：補(bǔ)形法................................................31

角度2：對(duì)棱相等型...........................................32

角度3：借助三角形外心確定球心...............................34

高頻考點(diǎn)五：空間幾何體的內(nèi)切球.................................40

第四部分：數(shù)學(xué)文化題..............................................45

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第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背

知識(shí)點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱

(1)棱柱的定義

定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

底面(底)：兩個(gè)互相平行的面

側(cè)面：其余各面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

(2)棱柱的圖形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

(3)棱柱的分類(lèi)及表示

①按棱柱底面邊數(shù)分類(lèi)：

②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類(lèi)：

③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱

表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱ABCDEF-AB'C'DE'F

1.2棱錐

(1)棱錐的定義

定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面

側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各三角形面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)

(2)棱錐的圖形

A'R

(3)棱錐的分類(lèi)及表示

按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……

特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐

表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐S-A3CD

1.3棱臺(tái)

(1)棱臺(tái)的定義

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)

上底面：原棱錐的截面

下底面：原棱錐的底面

側(cè)面：除上下底面以外的面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)

(2)棱臺(tái)的圖形

三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)、

(3)棱臺(tái)的分類(lèi)及表示

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)

用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)A6CD—A'8'C'Q'

2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

2.1圓柱

(1)圓柱的定義底面

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸側(cè)面

圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面一母線

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面底面

圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

(2)圓柱的圖形

(3)圓柱的表示

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱OO'

2.2圓錐

（1）圓錐的定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體

（2）圓錐的圖形

（3）圓錐的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐SO

2.3圓臺(tái)

（1）圓臺(tái)的定義

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)

軸：圓錐的軸

底面：圓錐的底面和截面

側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分

母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分

臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體

（2）圓臺(tái)的圖形

（3）圓臺(tái)的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)OO'

2.4球

球的表面積和體積

（1）球的表面積：S=4TTR2

4a

（2）球的體積：V=—1收

3

知識(shí)點(diǎn)二：直觀圖

1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法

（1）畫(huà)軸.在平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)。，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們分別畫(huà)成對(duì)應(yīng)

的X,軸與了軸，兩軸交于點(diǎn)O',且使Nx'O'y'=45"（或135°）,它們確定的平面表示水平面；

（2）畫(huà)底面.已知圖形中，平行于％軸》軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于才軸、y'軸或z'軸

的線段；

（3）畫(huà)側(cè)棱.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度

變?yōu)樵瓉?lái)的一半；

（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

簡(jiǎn)記為：①畫(huà)軸；②畫(huà)底面；③畫(huà)側(cè)棱；④成圖.

2、斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍

然相交；③平行于X,Z軸的長(zhǎng)度不變.

知識(shí)點(diǎn)三：柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

幾何體表面積體積

柱體（棱柱，圓柱）S表二S側(cè)+2S底V=Sh

椎體（棱錐，圓錐）

S表=S?!+S底V=-Sh

3

臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）

S表=3側(cè)+S上+S下v=g（s上+S下+JS上S下抽

球S=4兀K

V=-7lR3

3

知識(shí)點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)

圖示六一1

1

2wr口

側(cè)面積公式S惻s側(cè)S惻=萬(wàn)（廠'+廠）1

常用結(jié)論

1.球的截面的性質(zhì)

（1）球的截面是圓面,且球心和截面（不過(guò)球心）圓心的連線垂直于截面;

⑵球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=JK—笛

第二部分：高考真題回歸

1.（多選）（2023?全國(guó)（新高考I卷）?統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）

的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C,底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng),

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為國(guó)，且0>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為括m,且g<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?.2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過(guò)AG的中點(diǎn)。作OE^AG，設(shè)OEIAC=E,

可知AC=A/2,CC,=1,AC,=J3,OA=—,貝UtanZCAQ=0=空,

2ACAO

1OE

即二方一逅，解得。后二A/6

~T

I》??！?。6,

故以AG為軸可能對(duì)稱(chēng)放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為L(zhǎng)2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心與正方體的下底面的切點(diǎn)為

M,

可知：AC,±0^,0^=0.6,則tan/C4G=用=整，

ACAC7]

10,6_「

即=解得4?i=°.6直，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知圓柱的高為6-2X0.6五?1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選:ABD.

2.（2023?全國(guó)（乙卷文）?統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)S,A,3,C均在半徑為2的球面上，，由C是邊長(zhǎng)為3的

等邊三角形，SAmABC,貝lJS4=.

【答案】2

【詳解】如圖，將三棱錐S-ASC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SAW-ABC,

設(shè)，抽。的外接圓圓心為。一半徑為『，

2r=A'__=3_2百

則sinZACBg,可得廠=近，

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接OAOQ,則。4=2,OQ=gsA,

因?yàn)?A2=oo：+0^2,即4=3+；ST,解得1s4=2.

故答案為：2.

3.（2023?全國(guó)（甲卷文）?統(tǒng)考高考真題）在正方體ABCD-ABGP中，AB=4,O為AC1的中點(diǎn)，若該正

方體的棱與球。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

【答案】［2衣2封

【詳解】設(shè)球的半徑為R.

當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包

含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，

正方體的外接球直徑2R為體對(duì)角線長(zhǎng)AC；=142+42+4?=4石，B|J2R'=4y/3,R'=2y/3,故凡^=2右;

分別取側(cè)棱4VBB1,CG，D2的中點(diǎn)顯然四邊形MNGH是邊長(zhǎng)為4的正方形，且。為正方形

MZVGH的對(duì)角線交點(diǎn)，

連接MG,貝IJMG=4夜，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即R的最

小值為2應(yīng).

綜上，R72a,2出、.

故答案為：［2夜,2石］

4.（2023,全國(guó)（甲卷理）?統(tǒng)考高考真題）在正方體ABC。-4月G。中，E,尸分別為CZ）,AA的中點(diǎn),

則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

【答案】12

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,所中點(diǎn)為O,取A3,8瓦中點(diǎn)G,M,側(cè)面24cle的中心為N,連接

FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，

即R=&,

2222

則球心。到BB｛的距離為OM=s]ON+MN=Vl+1=，

所以球。與棱B片相切，球面與棱B片只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn),

所以以跖為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

5.（2023?全國(guó)（新高考n卷）?統(tǒng)考高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截

去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

【答案】28

21

【詳解】方法一：由于彳=：，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為gx（2x2）x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二：棱臺(tái)的體積為gx3x（16+4+而可=28.

故答案為：28.

6.（2023?全國(guó)（新高考I卷）?統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺(tái)A3CD-A3CQ1中，AB-2,A^BX=1,AA^=V2,

則該棱臺(tái)的體積為.

【答案】巫白岳

6O

【詳解】如圖，過(guò)4作AMLAC,垂足為"，易知AM為四棱臺(tái)ABCO-AAG。的高，

因?yàn)锳B=2,A4=1,AA^=y/2,

則Aa='夜44=—,AO=-AC=-x-j2AB=y[2,

222

故AM=g(AC—4G)=當(dāng)，則4M=Ja42_AAf2

所以所求體積為V」x(4+l+"^)x^=W!.

326

故答案為:等

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：基本立體圖形

典型例題

例題1.（2023春?黑龍江大慶?高一鐵人中學(xué)?？计谥校┙o出下列說(shuō)法：

①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【詳解】對(duì)于①中，根據(jù)棱臺(tái)的定義，延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個(gè)面平行且相似，其他各

個(gè)面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，所以①不正確；

對(duì)于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，所

以②不正確；

對(duì)于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)平面上，其余各面都是四邊形

的幾何體叫棱柱，所以③不正確；

對(duì)于④中，一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.

故選：A.

例題2.（2023春?山東臨沂?高一?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中，正確的是（）

A.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐

B.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成正四棱錐

C.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)

D.用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面

【答案】D

【詳解】選項(xiàng)A：以直角三角形的一個(gè)直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的

幾何體是圓錐.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由正四棱錐定義可得以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)不可以構(gòu)成正四棱錐.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái).判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.判斷正確.

故選：D

例題3.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體ABC。-A4G2中，AB=BBI=2BC,點(diǎn)P,Q,T

分別在棱8月，CG和A3上，且用尸=32尸，CQ=3ClQ,BT=3AT,則平面尸。7截長(zhǎng)方體所得的截面形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【詳解】如圖連接。尸并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接ET并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)S,

過(guò)點(diǎn)S作SR//EQ交DR于點(diǎn)R,連接RQ,

則五邊形PQRST即為平面PQT截該長(zhǎng)方體所得的截面多邊形.

其中因?yàn)?尸=3BP,CQ=3QQ,BT=3AT,

所以EBPsECQ,則鐺=城=!，所以即=28C,

ziCJ2

SAAT111

又,SATs.EBT,所以不="=彳，所以&4=彳歷=24￡>,

EBTB336

則SD=*A￡）,

6

顯然一SDRs..EC。，則/=簧，所以DK=3QC=]|CG=VDR.

E

故選：c

例題4.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A耳GR中截去一部分，其中"G/A4D//EE

剩下的較大的幾何體是什么？

【答案】直五棱柱A^BEH-D&CFG

【詳解】正方體ABCD-44CR中截去一部分，其中HGIIADIIEF,

剩下的較大的幾何體中，

五邊形ABQEH與五邊形〃GCFG全等且所在平面平行，

側(cè)面AD'GH,HGFE,EFCB,BCQB「BiQDA均為矩形，

則該幾何體為直五棱柱9阻-RQCFG.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?安徽?高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列敘述正確的是（）

A.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,C,如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，B,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，D正確.

故選：D.

2.（2023春?廣東深圳?高一校考期中）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)上任取4個(gè)頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖

形不可能是（）

A.三個(gè)面是直角三角形的正三棱錐

B.有一個(gè)面是鈍角三角形的四面體

C.每個(gè)面都是等邊三角形的四面體

D.每個(gè)面都是直角三角形的四面體

【答案】B

【詳解】

如圖ABC。-44GR是正方體，三棱錐A-A即是三個(gè)面為直角三角形的正三棱錐，A正確；

三棱錐A-ABC是四個(gè)面都是直角三角形的四面體，D正確；

三棱錐是四個(gè)面都是等邊三角形的四面體，c正確；

對(duì)于B,先選取4點(diǎn)，與剩下的7個(gè)頂點(diǎn)的任意兩個(gè)都不可構(gòu)成鈍角三角形，B錯(cuò)誤；

故選：B.

3.（多選）（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

B.以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)180。形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

C,圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面

D.用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,以直角梯形中垂直于底的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體

是圓錐，B對(duì)；

對(duì)于C,圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，C對(duì)；

對(duì)于D,用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面，D對(duì).

故選:BCD.

4.（2023春?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為五棱錐

D.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

【答案】BC

【詳解】

有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.

而滿足選項(xiàng)A條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故A錯(cuò)誤；

由棱柱定義可知棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行，故B正確；

一個(gè)”棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形時(shí)，頂角之和60°〃<360°,即“<6,故C正確；

一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

高頻考點(diǎn)二：立體圖形的直觀圖

典型例題

例題1.（2023春?安徽?高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，A2C'是水平放置的一ABC

的斜二測(cè)直觀圖，其中O'C'=O'A，=2OE,貝！|ABC是（)

B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形D.以上選項(xiàng)都不對(duì)

【答案】C

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，在原圖形中，。為CA的中點(diǎn)，ACLOB.

因?yàn)镺'C'=O'A=2O'B'，所以CO=40==-AC,

2

則」是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如圖所示:

故選：C.

例題2.（2023春?湖北?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形O'AB'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的

B.面積為乎的矩形

A.面積為60的矩形

D.面積為羊的菱形

C.面積為6近的菱形

【答案】C

【詳解】N￡>'O'A=45,OfC'=CD'=l,所以=夜,

故在原圖中，OD=2也,CD=C'D'=1

OC=yJOD2+CD2=^/8+T=3>

所以四邊形。4BC為菱形（如圖所示），。4=3,

則原圖形面積為S=O4xOD=6^.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）如圖是水平放置的三角形ABC的直觀圖，次是A'3'C‘中B'C’邊上的一點(diǎn),

且次離9比。，離C'近，軸，3'C'〃x'軸，那么線段AB,AD,AC中，最長(zhǎng)、最短的線段分別是

()

ADC.AD,ACD.AB,AD

【答案】B

【詳解】原,ABC的平面圖如圖所示.

由題意可知，AD1BC,BD<DC,所以AC>AB>AT>,

所以在線段AB,AC,AD中，最長(zhǎng)的是AC,最短的是AD

故選：B.

2.(2023春?高一課時(shí)練習(xí))用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中四邊形03CZ)的直觀圖.

【答案】答案見(jiàn)解析

【詳解】分以下三步進(jìn)行作圖：

(1)過(guò)點(diǎn)C作CELx軸，垂足為E,如圖①所示.

在X,軸上取點(diǎn)8',E',使得O'F=O8,O'E'=OE；

在了軸上取一點(diǎn)使得0力'=：?！辏?；

2

過(guò)后作EC〃，軸，使EC'=；EC,連接B'C',CD,如圖②所示.

(3)擦去V軸與了軸及其他輔助線，

如圖③所示，四邊形O'8'C'力就是所求的直觀圖.

高頻考點(diǎn)三：空間幾何體的表面積與體積

角度1:表面積和側(cè)面積

典型例題

例題1.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模）已知底面半徑為3的圓錐SO,其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)

內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱的側(cè)面積為（）

A.B.26兀C.4百兀D.8A/3TI

【答案】C

【詳解】如圖作出圓錐的軸截面依題意03=04=3,OD=OC=1,SB=6,

所以SO=Jse-9=3上,

易知BDFsBOS,則——=——,所以DF=2A/3,

BOSO

即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑廠=1,高〃=2有，

所以圓柱的側(cè)面積S=27t泌=2xlx2島=4島.

故選：C

例題2.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為1和2,高為1,則圓臺(tái)的表面

積為（）

A.3岳B.（5+30）兀C.凡D.兀

【答案】B

【詳解】如圖所示，由題知。4=1,。d=2,OOl=l,則AB=42-1）2+段=6.

故圓臺(tái)的表面積5=兀、12+兀、22+也無(wú)（1+2）=（5+3應(yīng)）無(wú),

故選：B

例題3.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校├忾L(zhǎng)為1的正方體紙盒展開(kāi)后如

圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將C,D四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為.

【答案】2A/3

【詳解】在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，如圖所示,

因?yàn)镸N,MC,MD,ND,NC,CD為正方體的面對(duì)角線，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=6,

所以D-MNC為正四面體，

所以表面積為：—X（72）2X4=2A/3,

故答案為：26.

例題4.（2023春?黑龍江大慶?高一鐵人中學(xué)校考期中）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔

的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為回L則以該四棱錐

4

的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為.

【答案】7

4

【詳解】如圖,

p

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為h,斜高為"，E為8的中點(diǎn),

則由題意得：「粵,所以仁空

則設(shè)以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積為R，=/?=〃=j今一［=二54,

設(shè)該四棱錐側(cè)面積為邑=4小〃'=2,?"”平,

1

所以

2

故答案為：!

角度2：體積

典型例題

例題1.（2023春?湖北?高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）圓柱的軸截面是周長(zhǎng)為12的矩形，則滿足條件

的圓柱的最大體積為（）

A.8兀B.IOTIC.12TID.16冗

【答案】A

【詳解】圓柱的底面半徑為二，高為〃，則4r+27?=12,即2廠+/?=6,

圓柱的體積V=7tr2h=Tir2（6-2r）=-2;ir3+6jir2,0<r<3,

V—~6冗戶+121廠=-6^r（r-2）,

當(dāng)0</<2時(shí)，V>0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)2<r<3時(shí)，V'<0,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)r=2時(shí)，函數(shù)叭廠）取得最大值，最大值丫（2）=8兀.

故選：A

例題2.（2023春?湖北?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)內(nèi)供休閑人員休息的石凳是由一個(gè)正方體石塊截

去8個(gè)相同的四面體得到的，如圖所示，若被截正方體石塊棱長(zhǎng)為60cm,則該石凳的體積為（）

（單位cn?）

A.180000B.160000C.140000D.120000

【答案】A

【詳解】正方體的體積為60x60x60=216000cm3，

切去的每個(gè)四面體的體積為:x30x；x30x30=4500cm3,

所以該石凳的體積為216000-8x4500=18OOOOcm3.

故選：A.

例題3.（2023?河北唐山?唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4,

點(diǎn)尸，。，R分別在棱。A,M.CG上，且RP=AQ=Q?=1,則以平面尸QR截正方體所得截面為底

面，A為頂點(diǎn)的棱錐的體積為.

14

【答案】~

【詳解】延長(zhǎng)尸。交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)尸R交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接初V交

AB于點(diǎn)E,交于點(diǎn)/，連接則平面PQMR即為平面PQR截正方體所得的截面.

因?yàn)椤辏?=4。=1,貝I］。尸=3,

,,,,,,MAAQMA1,

又因?yàn)锳。〃。尸,所以x,a即n—7=彳，斛佝A￡4=2,

MDDPMA+4-3

同理可得CN=2,貝l|DN=DC+CZV=4+2=6,MD=6,

因?yàn)锳E//DN,所以半=坐=:，又DN=6,則AE=2,同理可得CF=2；

MDDN3

所以％由=:"?5"=33義?6*6=18,

^Q-AME=§.AQ.S.E=]XlX]x2x2=I,VR_CFN=VQ_AME=—,

1114

VR-AFC=-CR^SACF=-xlx-x2x4=-9

11132

=

VAPRCD—AO,SpRe=_x4x_x(1+3)x4=—,

243214

^A-QEFRP-Vp-DMN-^^Q-AME-^R-AFC~^A-PRCD=18-2x————=.

例題4.(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考二模)如圖；在直三棱柱ABC-A與G中，AC=3,BC=AAi=4,

AB=5,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).

(1)求證ACL2G；

(2)求三棱錐4-⑺片的體積.

【答案】①證明見(jiàn)解析

(2)8

【詳解】(1)在/ABC中，

因?yàn)锳C=3,AB=5,BC=4,

所以ACjBC?=44，

所以.ABC為直角三角形，即AC1BC,

又因?yàn)樵谥比庵鵄BC-AAG中，CG，平面A3C,且ACu平面ABC,

所以CG^AC,

又CCqBC=C,CG，BCu平面BCG，

所以AC，平面BCC1,

又因?yàn)锽Gu平面BCC一

所以ACLBC-

（2）在ABC中，過(guò)C作CF1AB,尸為垂足,

由直三棱柱ABC-44cl得平面平面ABC,且平面A84A）平面ABC=AB,CFJ.AB,C/u平

面A3C,

所以CF±平面ABB^,

又因?yàn)镾%4=5X4X1=10,

11I?

7

所'以，/匕一DB|C,iCyD=^C-A[LDz￡B?|=~3SznJA/i]BD|-CF=-3X10X—5=8.

角度3:螞蟻爬行最短問(wèn)題

典型例題

2

例題1.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為一cm,高為2cm,AB,CD分別

71

是兩底面的直徑，AD,8。是母線.若一只小蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)，沿側(cè)面爬行到點(diǎn)。處，則小蟲(chóng)爬行的最短距

離是（)

C.正cm

A.2&cmB.2cmD.1cm

2

【答案】A

【詳解】如圖，在圓柱側(cè)面展開(kāi)圖中，線段AG的長(zhǎng)度即為所求,

71

?AQ=722+22=2直（cm）.

故小蟲(chóng)爬行的最短距離是2，5cm.

故選：A.

例題2.（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）有一個(gè)圓錐形鉛錘，其底面直徑為2cm,母線長(zhǎng)為3cm.尸是

鉛錘底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛錘的側(cè)面積為371cm②；②一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿鉛錘側(cè)面爬

行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為3辰m.其中正確的判斷是（）

A.①②都正確B.①正確、②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤、②正確D.①②都錯(cuò)誤

【答案】A

【詳解】依題意，圓錐的底面圓半徑為1cm,母線長(zhǎng)為3cm,所以鉛錘的側(cè)面積為371cm?,①正確;

沿著過(guò)點(diǎn)尸的圓錐的母線剪開(kāi)，把側(cè)面展成平面圖形，如圖，

顯然扇形弧長(zhǎng)為圓錐底面圓周長(zhǎng)27rcm,而扇形半徑為母線長(zhǎng)3cm,因此扇形圓心角NPOP=可，

在APOP'中,由余弦定理得PP'=y/OP2+OP'2-2OP-OP'cosZPOP'=J32+32-2x3x3xL|j=3^,

螞蟻從尸點(diǎn)出發(fā)沿鉛錘側(cè)面爬行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑即為線段尸尸'長(zhǎng)36cm,②正確.

故選：A

例題3.(2023春?高一單元測(cè)試)如圖，已知圓柱的高為〃，底面半徑為R,軸截面為矩形四，在

母線AA上有一點(diǎn)尸，且PA=a,在母線B片上取一點(diǎn)Q,使4Q=人，則圓柱側(cè)面上尸、。兩點(diǎn)的最短距

離為?

【答案】J(nA),+(/z-a-

【詳解】如圖，把圓柱的半個(gè)側(cè)面展開(kāi)，是一個(gè)下長(zhǎng)為兀R,寬為。的矩形,

B}Q=b,PA^a,過(guò)戶作PE，3耳，￡為垂足，所以QE=h-a-b,

即可把尸2放在一個(gè)直角邊為您和/z-a-b的直角三角形尸。E中，

根據(jù)勾股定理可得：PQ=y]PE2+QE2=yJ(itR)2+(h-a-b)2.

故答案為：J(無(wú)&2+(/?-a-A)?.

例題4.(2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模)如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為

2km,山高為2&5km,6是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=2km.現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公

路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為.

【答案】3.6km

【詳解】由題意，半徑為2km,山高為2岳km,則母線S4=后1^1=8,

47rIT

底面圓周長(zhǎng)2m=4兀，所以展開(kāi)圖的圓心角。=t-=7，

82

如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，鉆=78r苕=10，

由點(diǎn)S向A3引垂線，垂足為點(diǎn)H,此時(shí)為點(diǎn)S和線段A3上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)H為公路的最高點(diǎn),

上出段即為下坡路段，

則即36=10即，得3”=3.6km

下坡路段長(zhǎng)度為3.6km.

A

故答案為：3.6km

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知等邊三角形SA8為圓錐的軸截面，48為圓錐的底面直徑，O,C分

別是A8,S3的中點(diǎn)，過(guò)OC且與平面SA8垂直的平面記為a,若點(diǎn)S到平面a的距離為布，則該圓錐的

側(cè)面積為（）

A.8兀B.16TIC.24兀D.32兀

【答案】B

【詳解】如圖，作SZJLOC于點(diǎn)。，

因?yàn)槠矫?AB_1_平面a,且平面5AB平面e=OC,

所以平面a,SD=#,點(diǎn)。,C為的中點(diǎn)，則OC〃SB,

且△SAB為等邊三角形，則ZDSC=30,所以SC=20，

所以底面半徑04=2&，母線SB=4夜，

則該圓錐的側(cè)面積S=mi=TTX2后x472=16%

2.（2023?福建廈門(mén)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2,母線長(zhǎng)為3,則圓臺(tái)的體積為

（）

7兀14后

A.B.C.7兀D.14A/2K

33

【答案】B

【詳解】由圖可得，圓臺(tái)的高為=2匿,

故圓臺(tái)的體積為丫=3義20義卜*12+兀*22+5/^再7天）=￥^1

3.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐P-ABC中，一ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=娓,

則該棱錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【詳解】取A3中點(diǎn)E,連接尸及CE,如圖，

ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊二角形，PA—PB—2,

:.PE±AB,CE±AB,又尸E,CEu平面PEC,PECE=E,

平面PEC,

5LPE=CE=2x—=y/3,PC=46,

2

故PC?=PE2+CE2,即PE_LCE,

x

所以V=匕-pEc+%-PEC=]SAPEC'AB——-XA/3XA/3X2=1,

故選：A

4.（2023春?湖北?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)3弧度,

則紙片掃過(guò)的區(qū)域形成的幾何體的表面積為.

2兀

【答案】2+y

【詳解】由已知可得該幾何體為底面半徑為1,高為1的圓柱的!，如下圖：

所以該幾何體的表面積S=2+2xLx7ixl2+^x27rxi=2+生，

663

2冗

故答案為：2+—.

5.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為，，連接4。，4。，A'B，BD,

BC’,CD,得到一個(gè)三棱錐.則三棱錐4-BCD的體積是.

3

【答案】—

3

【詳解】三棱錐A—ABD,C'—CBD,D-A'D'C',3—49。是完全一樣的.

故%,-BCD=V；-4y4._ABD=〃3_4X；X；〃2XQ=?

3

故答案為：—.

3

6.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120。，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的

表面積與側(cè)面積的比是.

【答案】4:3

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為廠，則底面圓的周長(zhǎng)為2口，即展開(kāi)后的扇形弧長(zhǎng)為2”，

又扇形的圓心角為120,半徑為1.

所以12°一x2Kx1=271r，所以〃=L

3603

兀

故圓錐的側(cè)面積為；1X1X2?==7T,

233

表面積為二+=—,

3⑶9

4兀

所以這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比為

3

即這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是4:3.

故答案為：4:3

7.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，正三棱柱

ABC-AB=AA,=4,E,尸分別為4G，BC的中點(diǎn).

（1）證明：EP〃平面ABC；

（2）求三棱錐片-ABC的體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑸16g

（2）利用^ABC-^C,~2VA,-ABC,可求三棱錐耳-ABC的體積.

【詳解】（1）在正三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面BCG片為矩形，

連接8G，歹為qc的中點(diǎn)，則BG與qc交于點(diǎn)尸，且F為8G的中點(diǎn),

因?yàn)镋,歹分別為AC，BG的中點(diǎn)，

則EB//A8,又ABu平面ABC,Ebz平面ABC,

故斯〃平面ABC；

(2)由已知可得5.=348'46*5指60°=34、4、亭=46,

所以力登國(guó)=匕8c-48向-2匕,”c=473x4-2x]x4后x4=6f.

8.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）如圖是一個(gè)圓錐形物體，其母線長(zhǎng)為3cm,一只小蟲(chóng)子從圓錐的底面圓上的

點(diǎn)P