第10講 三角形與全等三角形（易錯(cuò)點(diǎn)梳理+微練習(xí)）（解析版）-2022年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資

第10講三角形與全等三角形易錯(cuò)點(diǎn)梳理

易錯(cuò)點(diǎn)梳理

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)三角形中“三線”位置掌握不好

對(duì)三角形中“三線”位置掌握不好，導(dǎo)致出錯(cuò)三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)部，而

三角形的高不一定在三角形內(nèi)部.銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部；直角三角形的兩條高與

直角邊重合，斜邊上的高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的兩條高在三角形外部。

易錯(cuò)點(diǎn)02誤用多邊形的內(nèi)角和公式及三角形外角的性質(zhì)

n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°,而并非為n780°對(duì)三角形外角的性質(zhì)理解不透徹而出

現(xiàn)錯(cuò)誤，在應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)時(shí)，不可忽略了“不相鄰”這個(gè)條件。

易錯(cuò)點(diǎn)03忽略三角形存在的條件而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤

進(jìn)行等腰三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，一般需要分類討論，但不可忽略三角形存在的條件，

即任意兩邊之和大于第三邊.對(duì)出現(xiàn)的情況需要逐一驗(yàn)證，確定取舍。

易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)正多邊形的概念理解有誤導(dǎo)致判斷失誤

判斷正多邊形的兩個(gè)條件一一各個(gè)角都相等、各條邊都相等，兩者缺一不可，不要以為每個(gè)

內(nèi)角都相等的多邊形便是正多邊形。

易錯(cuò)點(diǎn)05全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系考慮不全面而出錯(cuò)

用“絲”表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)放在時(shí)應(yīng)位置，但用語(yǔ)言描述的兩個(gè)三角形全等卻

不需要，不要形成固定思維.解決這類問(wèn)題要考慮各種對(duì)應(yīng)情況，避免出現(xiàn)考慮不全面，導(dǎo)

致結(jié)果錯(cuò)誤.

易錯(cuò)點(diǎn)06錯(cuò)用“SSA”進(jìn)行判定三角形全等

判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4種方法,不存在“SSA”的判定

方法.

易錯(cuò)點(diǎn)07運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，誤將斜線段當(dāng)作距離

在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，一定要注意“距離”必須有垂直的條件。

W例題分析

考向01三角形的三邊關(guān)系

例題1:（2021?廣東新豐?九年級(jí)期中）三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6,第三邊的長(zhǎng)是方程》2_7X

+10=0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.11或14B.14或16C.14D.11

【答案】C

【分析】

首先利用因式分解法求得一元二次方程f-7x+10=0的兩個(gè)根，又由三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3

和6,利用三角形的三邊關(guān)系，即可確定這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)，然后求得周長(zhǎng)即可.

【解析】解：；x2-7x+l（M）,

（x-5）（x-2）=0,

解得：%|=5,X2=2,

???三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6,

當(dāng)45時(shí)，3+5>6,能組成三角形；

當(dāng)x=2時(shí)，2+3<6,不能組成三角形.

.??這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)是5,

.,?這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：3+6+5=14.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程與三角形三邊關(guān)系的知識(shí).解題的關(guān)鍵是注

意準(zhǔn)確應(yīng)用因式分解法解一元二次方程，注意分類討論思想的應(yīng)用.

例題2：（2021?江蘇?常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)）如圖，。。的半徑為2,定點(diǎn)P在。。上，動(dòng)

點(diǎn)A,8也在。O上，且滿足NAP3=30。，C為P8的中點(diǎn)，則點(diǎn)A,8在圓上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，線段AC的最大值為（）

B

A.1+y/3B.-\/3+2C.2>/3-2D-

【答案】A

【分析】

延長(zhǎng)BA到點(diǎn)力，使D4=BA,連接PD,運(yùn)用三角形中位線定理，當(dāng)尸。最大時(shí)，AC最大,

運(yùn)用三角形不等式原理計(jì)算即可.

【解析】如圖，延長(zhǎng)氏4到點(diǎn)。，使DA=3A,連接尸￡）,P。，0A9OB,OD,

t

：BA=AD1BC=PC,

???4。是4的中位線，

：.AC=^PD,

?IZAPB=30°,

???ZAOB=60°f

???△AO8等邊三角形，

：.0A=0B=AB=AD=2,NAO8=NOAB=60°,

NAD矢NA00=30。，

???N006=90°,

：?0D=yjBD2-OB2=V42-22=2百，

9：DO+PO>PD,

???P9的最大值為：DO+Pg6+2,

：.AC=^PD=\+yf3,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，三角形不等式，構(gòu)造三角形中位線定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考向02三角形的高、中線

例題3：（2021?山東安丘?二模）如圖，四邊形ABCC為菱形，BF//AC,。尸交AC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,交BF于點(diǎn)F,且CE：AC=1：2.則下列結(jié)論不正確的有（）

D

A.AABE義/\ADE；B.ZCBE=ZCDF；

C.DE=FE；D.SABCE：S四邊形ABZ7)=1:9

【答案】D

【分析】

由四邊形A8CO為菱形，AB^AD,ZBAC=ZDAC,可證AAfiE絲AADE(SAS)可判定A；由

^ABE^/SADE,可得/ABE=/AOE,由四邊形A8C￡＞為菱形，可得/A8C=/ADC,利用

等角之差NCBE=NCDE,可判定B；連結(jié)8Z)交AC于O,四邊形A8C3為菱形,可得BD=20D,

可證△DOE^/XDBF,HfiiEDF=2DE，可判定C；根據(jù)0E為△DBF的中位線，

ADOE^/\DBF,可得SwF=44“￡,由CE：AC=1：2.可得叉BOA=SABOGSABCE=SAADO,

SADOE=2SABCE，可求^!SABFD=IOSABCE可判定D.

【解析】解：；四邊形ABCD為菱形，

：.AB=AD,ZBAC=ZDAC,

.?.在AABE和AADE中,

AB=AD

-ZBAE=ZDAE,

AE=AE

/.MBE^MDE(SAS)

故選項(xiàng)A正確；

；MBE^/SADE

：.NABE=NADE,

?.?四邊形ABC。為菱形，

ZABC=ZADC,

：.ZCBE=ZABE-ZABC=NADE-NADC=NCDE,

故選項(xiàng)8正確；

連結(jié)8。交AC于O,

?；四邊形A8CD為菱形，

?.DO=BO,OELBD,

：.80=200,

,:BF〃AE,

:?/DOE=NDBF,NDEO=NF,

:?△DOEsADBF,

.DODE\

??麗一而一5'

???DF=2DE,

DF=EF+DE=2DE,

，EF=DE,

故選項(xiàng)。正確；

,:DO=OB,DE=EF,

：?0E為Ab的中位線，

：.BF=2OEf

■:ADOEsmBF,

.S皿J叫J

F.[BE)4

?q-4<?

??°&DBF~r48D0E

VCE：AC=\：2.

：.AC=2CEf

：.A0=0C=CEf

S?BOA=S^BOC-Sh.BCE=S^A。。，

SADO尸2sABCE,

**S四A"。=SgBD+SADBF=2S2CE+=1OS.CE

故選項(xiàng)。不正確.

故選擇D.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積

與四邊形面積，掌握菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面

積與四邊形面積是解題關(guān)鍵.

例題4：（2021?安徽包河?九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，。、E分別是邊8C、AC上的點(diǎn),

A3與BE相交于點(diǎn)F,若E為AC的中點(diǎn)，BD.DC=2:3,則的值是（）

A.2.5B.3C.4D.2

【答案】A

【分析】

過(guò)點(diǎn)E作EG〃8c交于G,則EG是△ACO的中位線，AAGES△A。。，可以得到

4GCF1￡FCFCFGF3

把=匕=上,再證明△尸GEs△尸得到匕=匕，即可推出3=匕=1,設(shè)

ADCD2BDFDBDFD4

AD=2AG=2x,則AG=GD=GF+H)=x,GF=-xDF=-xAF=AG+GF=—x,

7f7f7

由此求解即可.

【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG〃8C交A。于G,

YE是AC的中點(diǎn)，EG//BC.

???EG是AAC。的中位線，&AGEsXADC,

AGGE

：.EG=-CD,

2~AD~~CD

.AGGE

"AD"CD-2'

同理可證4FGES^FDB,

?GEGF

??麗一而'

VBD:DC=2:3,GE:DC=1:2,

.GEGF_3

??茄—訪一"

設(shè)AO=24G=2x,則46=6。=6/+尸。=不，

34

AGF=-x,DF=—x,

77

AF=AG+GF=yx,

104

???AF:FD=-x:-x=2.5

77f

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵在于能

夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定.

考向03三角形的角平分線

例題5：（2021?湖南?常德市第五中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，RSABC中，ZC=90°,NB

=30。，NBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，CD=B則8。的長(zhǎng)是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知：ZC4B=6O°,根據(jù)角平分線的定義得到

ZCAD=ZBAD=1ZCAB=30°,求得NZMB=ZB，得到3D=根據(jù)直角三角形性質(zhì)即

可得到答案.

【解析】：NC=90。，4=30°

ZC4B=60°

；NC4B的平分線交BC于點(diǎn)。

ZCAD=ZBAD=-ZCAB=30°

2

ZDAB=ZB

：.BD=AD

CD=yj3

：.BD=AD=2CD=2y/3

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，正確

的理解題意、運(yùn)用相應(yīng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例題6：（2021?陜西藩橋一模）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,A。是BC邊上的高，BE

是AC邊的中線，CF是/ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G,交.BE于點(diǎn)H,下面說(shuō)法正

確的是（）

①AABE的面積=△BCE的面積；?ZMG=ZFCB；③AF=AG；?BH=CH.

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷①，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/項(xiàng)G=/AC8,再判斷

②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NAFG=/4GF,再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即

可，根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可.

【解析】解：???8E是AC邊的中線，

：.AE=CE,

/\ABE的面積=1xAExA3,△BCE的面積=,xCExAB,

22

/\ABE的面積=△BCE的面積，故①正確；

是8c邊上的高，

ZADC=90°,

,/ZBAC=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°,ZFAG+ZDAC=90°,

：./用G=ZACB,

???CP是/ACB的角平分線，

:./ACF=NFCB,ZACB=2ZFCB,

：.ZFAG=2ZFCB,故②錯(cuò)誤；

,在△ACF和△QGC中，NBAC=NACC=90。，ZACF^ZFCB,

：.ZAFG=\SQ°-NBAC-ZACF,ZAGF=ZDGC=\S00-ZADC-NFCB,

：.ZAFG^ZAGF,

：.AF=AG,故③正確；

根據(jù)已知不能推出N48c=N”C8,即不能推出“8="C,故④錯(cuò)誤；

即正確的為①③，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形

內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

考向04三角形的內(nèi)角和

例題7：（2021?福建?福州十八中九年級(jí)期中）如圖，AOOC是由AOA8繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°

后得到的圖形，若點(diǎn)。恰好落在AB上，則NA的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.750

【答案】D

【分析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知/力。。=30。，OA=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理可得答案.

【解析】由題意得：/AOO=30。，OA=OD,

180°-N4O￡>

：.ZA=ZADO==75°.

2

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②

對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵.

例題8：（2021?青?；ブ?九年級(jí)期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80。，得到AADE,

若點(diǎn)￡＞在線段的延長(zhǎng)線上，則ZPDE的度數(shù)為（）

B

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】B

【分析】

由題意得AB=AD,ZBAD=80°,ZB=ZADE,得NB=N4D3=50。，則=N3=50。,

即可得.

【解析】解：,??將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80。，得至必ADE,

AAB=AD,ZBA￡>=80°,ZB=ZADE,

：.ZB=ZADB=-（180°-ZBAD）=-x（180°-80°）=50°,

22

ZADE=/B=50°,

：.APDE=1800-ZADE-ZB=180°-50°-50°=80°,

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

考向05三角形的外角

例題9：（2021?河南大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，E是邊CD

上一點(diǎn)，將AADE沿AE折疊至AAD'E處，A"與CE交于點(diǎn)F,若N8=52。，ZQ4E=20°,

則ZFEO的度數(shù)為（）

A.40°B.36°C.50°D.45°

【答案】B

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出NQ=4=52。，由折疊的性質(zhì)得"'=/￡>=52。，

NDAE=NDAE=20°,由三角形的外角性質(zhì)求出NA￡C=72。，由三角形內(nèi)角和定理求出

ZAED'=108。，即可得出4ED的大小.

【解析】解：..?四邊形ABCO是平行四邊形，

.?."=々=52°,

由折疊的性質(zhì)得：/￡>'=/￡>=52。，ZD'AE-ZDAE=20°,

ZAEC=ZD+NDAE=520+20°=72°,

ZAED=180°-（ND'+ZD'AE）=180°-（52°+20°）=108°,

ZFED'=ZAED-ZAEC=108°-72°=36°.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和

定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出乙4EC和NAE?！墙鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵.

例題10：如圖，四邊形A8C￡>內(nèi)接于。0,點(diǎn)尸為邊AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、￡（重

合）連接CP,若28=120。，則NAPC的度數(shù)可能為（）

D

O

BC

A.30°B.54°C.50°D.65°

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求得N0的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得NAPC>".

進(jìn)而可確定N4PC的范圍，根據(jù)選項(xiàng)即可求解.

【解析】解：...四邊形ABC。內(nèi)接于O,

ZB+ZD=180°,

?.*ZB=120°,

ZD=180°-ZB=60°,

,/ZAPC為APCD的夕卜角，

ZAPC>ZD,只有。滿足題意.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形形對(duì)角互補(bǔ)，三角形的外角性質(zhì)，求得ND的大小是解題

的關(guān)鍵.

考向06全等三角形的性質(zhì)

例題11：（2021?廣西大化?九年級(jí)期中）如圖，已知。，E分別是正三角形的邊和C4上

的點(diǎn)，且AE=C￡>,A少與5E交于P,則/3尸。的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】

根據(jù)△A8C是等邊三角形，可得AC=BC,NABO=/C=60。，結(jié)合AE=C￡>,利用等式性

質(zhì)易得BO=CE,利用SAS易證△絲△BCE,從而有乙4。8=NBEC,再利用三角形外

角性質(zhì)可證NC=NAPE,而NAPE和N8P。是對(duì)頂角，故可得Z8PO=NC.

【解析】?r△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC,ZABD^ZC=60°,

'：AE=CD,

：.AC-AE=BC-CD,

即BD=CE,

又?.?/ABO=NC=60°,AC=BC,

：.△ABD-BCE,

：.NADB=NBEC,

'：ZADB^ZC+ZDAC,

ZBEC=ZDAC+ZAPE,

：.ZC=ZAPE,

"：NAPE=NBPD,

N8PO=NC=60°.

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是證明△ABD^/\BCE.

例題12：(2021?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)期中)如圖△ABCg/XDEC,點(diǎn)4

和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，當(dāng)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AFLC。，垂足為點(diǎn)凡若NBCE

=65°,則/C4尸的度數(shù)為()

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得NACB=NDCE,進(jìn)而可得NBCE=NACD,根據(jù)直角三角形的

兩個(gè)銳角互余，即可求得NC4尸的度數(shù).

【解析】小ABC四公DEC,

ZACB=ZDCE,

ZACB-ZACE=ADCE-^ACE

即N8CE=NACD,

AFVCD,NBCE=65°,

ZCAF=90°-ZACD=25°

故選B

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，證明NBCE=NACD

是解題的關(guān)鍵.

考向07全等三角形的判定

例題13：（2021?山東?禹城市教育和體育局九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A8CO

內(nèi)作㈤F=45。，AE交BC于點(diǎn)E,4尸交C。于點(diǎn)尸，連接E凡將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到AABG.若DF=3,則BE的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AADF絲△A8G,然后即可得到QF=8G,ZDAF=ZBAG,然后根據(jù)

題目中的條件，可以得到△E4GT4E4凡再根據(jù)。尸=3,48=6和勾股定理，可以求出8E

的長(zhǎng).

【解析】解：由題意可得，

△ADF^AABG,

.：DF=BG,NDAF=NBAG,

；NDAB=90。,NEAF=45°,

.".ZDAF+ZEAB=45°,

.,.ZBAG+ZEAB^45°,

.".ZEAF=ZEAG,

在小以6和4E4尸中，

AG=AF

,ZEAG=NEAF,

AE^AE

：.△EAG絲△E4&S4S）,

：.GE=FE,

設(shè)BE=x,則GE=8G+8E=3+x,CE=6-x,

：.EF=3+x,

"：CD=6,。尸=3,

：.CF=3,

'：ZC=90°,

??.(6-X)2+32=(3+X)2,

解得，x=2,

即BE=2.

故選A..

【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想.

例題14：（2021?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC^BC,

將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。到AAB'C'的位置，連接CB,則ZCBA的度數(shù)為（）

A.15°B.20°D.45°

【答案】C

【分析】

連接33'，證明AABB，為等邊三角形，然后進(jìn)一步證明@ABAC',得到

^BC=ZABC,即可求出NC84的度數(shù).

連接BB'，

由題意得：

AB=AB',ABAS'=60°,

???△ABB'為等邊三角形，

a4=60°,BB=BA；

在△BQC與ABAC'中,

BB'=BA

BC'=BC'

B'C'=AC

：.△8BV色AABAC'（SSS）,

，AB'BC=ZABC=30°,

故選：C.

【點(diǎn)撥】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)

問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定來(lái)分析、解答.

考向08角平分線與線段垂直平分線

例題15：如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段A。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)（不與

點(diǎn)A,加重合），同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)。出發(fā)沿著線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)。，C重合），點(diǎn)E與

點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相同.BE與4尸相交于點(diǎn)G,H為BF中點(diǎn)、則有下列結(jié)論：

①/BGP是定值；

②用平分ZAFC；

③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，GH=—；

2

④當(dāng)AG+8G="時(shí)，四邊形GE￡＞尸的面積是g

其中正確的是（）

A.①0?B.①②③

C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△BAEgZVI。尸，即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)角為90。，得出

AFVBE,即可判斷①；②假設(shè)BF平分NAFC,則角平分線的性質(zhì)得至UBG=BC,則8G=AB,

又由/8GA=90。，得至由此即可判斷②；③先利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)，然后

根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解；④根據(jù)△絲△AOF,即可得到S

22

桎邊心GEDF=S^ABG，然后根據(jù)AG+GB=#時(shí)，得至（AG+GBf=AG+2AGGB+GB^6,

1

再由AG?+BG=AB?=4即可得至U2AGGB=2,則SVABG=-AGGB=-.

【解析】證明：在A力邊上（不與A,。重合），點(diǎn)尸在OC邊上（不與D,C重合）,

又..?點(diǎn)E,F分別同時(shí)從A,。出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，

：.AE=DF,

???四邊形A88是正方形，

AAB^DA,ZBAE=ND=90"

在^BAE和尸中，

AE=DF

?ZBA￡=ZADF=90,

AB=DA

.,.△BAE<△AORSAS）,

；.N1=N2,

N2+N3=90，

Zl+Z3=90即ZAG8=90,

ZBGF=90。即NBG尸是定值，故①正確；

假設(shè)BF平分/AFC,

???四邊形48C￡>是正方形，

：.BC±FC,BC=AB

'：BGLAF,

二BG=BC,

：.BG=AB,

又?.?/8GA=90°,

：.AB>BG,

假設(shè)不成立，

，②不正確；

③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，，則F運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn),

CF=-CD=\,

2

BF=yjBC2+CF2=逐，

,/ZBGF=90°,，為BF的中點(diǎn)

:.GH=LBF=?，故③正確；

22

④:△BAE絲△4。凡

,,S6BAK=S

=

??spuan：GEDFS.ABC,

當(dāng)AG+G8="時(shí)，（AG+GB'）2=AG2+2AGGB+GB2=6,

AG2+BG2^AB2^4,

:.2AGGB=2,

SVvABC=-2AGGB=-2,

?,?S四邊杉GE。廣=3故④正確；

故選c.

【點(diǎn)撥】考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，角平分線的性質(zhì)，直

角三角形斜邊上的中線，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

例題16：（2021?廣東?深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=

2AB=8,連接BD,分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于38。長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)

F,作直線EF交A。于點(diǎn)/,交BC于點(diǎn)H,點(diǎn)”恰為BC的中點(diǎn)，連接AH,則AH的長(zhǎng)為

（）

【答案】A

【分析】

連接?！?，根據(jù)作圖過(guò)程可得所是線段8。的垂直平分線，證明是等邊三角形，然

后證明NA〃Q=90。，根據(jù)勾股定理可得A”的長(zhǎng).

【解析】解:如圖，連接

E

w

根據(jù)作圖過(guò)程可知：即是線段。。的垂直平分線，

:?DH=BH,

??,點(diǎn)H為BC的中點(diǎn),

:?BH=CH,BC=2CH,

:.DH=CH,

在口中，AB=DC,

u

：AD=BC=2AB=Sf

:,DH=CH=CD=4,

是等邊三角形，

，NC=NCDH=NDHC=60。,

在口ABC。中，NBAD=NC=60。,AD//BC,

：./DAH=/BHA,

■:AB=BH,

：.ZBAH=ZBHAf

：.NBAH=NDAH=30。,

：.NAHD=90°,

JAH=^ADr-DH1=782-42=4G-

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法.

微練習(xí)

一、單選題

1.（2021?浙江拱墅?九年級(jí)期中）如圖，〃是△48C的重心，延長(zhǎng)4/交回于〃延長(zhǎng)加

交然于物￡是加上一點(diǎn)，且應(yīng)：EC=3:2,連結(jié)四交威于G,則BH\HG：掰等于（）

A

A.7：5：2B.13：5：2C.5：3：1D.26：10：3

【答案】D

【分析】

過(guò)。作CF//BM,交熊的延長(zhǎng)線于F,設(shè)CF=a,則GM=1a,依據(jù)CF//BG,DE\EC=3:3,

213

〃是歐的中點(diǎn)，可得宓=66F=6a,再根據(jù)〃是△放的重心，即可得到藥/=］困右左a,

HG=BG-BH=a,進(jìn)而得到BH：HG：GM=a:a:ga=26：10：3.

【解析】：如圖，過(guò)C作⑦〃網(wǎng)交力后的延長(zhǎng)線于凡

??,，是△力歐的重心，

，材是〃'的中點(diǎn)，〃是比的中點(diǎn)，

???G是4的中點(diǎn),

/.GM=|CF,

設(shè)CF=a,則GM=ga,

,:CF〃BG,DE：EC=^：2,〃是笈的中點(diǎn)，

.CFCE2_1

，a~BG~~BE~5+5+26*

:?BG=6CF=6a,

BM——a,

2

???〃是△/歐的重心，

213

33

135

:?HG=BG-BH=6a——a=二a,

33

：.BH\HG：GM1=3J：5-a：：a=26：10：3.

332

故選D.

A

【點(diǎn)撥】本題主要考查了重心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握重心是三條中線的交點(diǎn)

以及重心的性質(zhì).

2.（2021?云南魯?shù)?九年級(jí)期中）已知三角形的兩邊長(zhǎng)為2和5,第三邊滿足方程

X2-7X+12=0,則三角形的周長(zhǎng)為（）

A.10B.11C.10或11D.以上都不對(duì)

【答案】B

【分析】

解方程得到兩個(gè)解，分兩類情況討論，看是否能構(gòu)成三角形，若能構(gòu)成，則三邊長(zhǎng)加起來(lái)即

為三角形周長(zhǎng).

【解析】?..X：!-7X+12=0,

解得%=3,々=4

...三角形三邊長(zhǎng)可能的情況為：

①2,5,3,V2+3=5,.*.2,3,5不能構(gòu)成三角形

②2,5,4,V2+4>5,：.2,4,5能構(gòu)成三角形

.?.三角形的周長(zhǎng)為2+4+5=11

故選B

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，注意用三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形是解決

本題的關(guān)鍵.

3.（2021?吉林?長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，ZACB>90°.按以

下步驟作圖：分別以點(diǎn)A和C為圓心，大于!AC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；

作直線MN交A3于點(diǎn)。，連結(jié)CO.若AB=7an,則3c的長(zhǎng)可能是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】A

【分析】

由基本作圖得到的V垂直平分〃；則法〃C,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到比'〈緲■〃氏然后

對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解析】解：由作法得拗唾直平分力乙

:.D歸DC,

：.CD^BD-DA+DB^A^l,

：.BC<1.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖一作已知線段的垂直平分線.三角形三邊關(guān)系，線段垂

直平分線的性質(zhì)，掌握三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021-江蘇?宜興市樹人中學(xué)九年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形重心B.等弦所對(duì)的圓周角相等

C.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧D.三角形的外心到三邊的距離相等

【答案】A

【分析】

根據(jù)重心，弦與圓周角之間的關(guān)系，等弧的定義以及外心的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】解：A、三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形重心，故此選項(xiàng)符合題意；

B、在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角相等，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故此說(shuō)法不符合題意：

D、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故此說(shuō)法不符合題意;

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形重心，外心，以及圓中弦、弧的知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠

熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

5.（2021?浙江?杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，。。的兩條弦46、勿所在的直

線交于點(diǎn)尸，AC.BD交于點(diǎn)、E,ZJ￡9=105°,N萬(wàn)=55°,則N/切等于（）

A

EO

PD

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

由圖可得：比所對(duì)的圓周角相等，可得=在VPC4及△PB￡）中利用三角形

內(nèi)角和定理分別表示出NPC4,ZPBD,由等式的性質(zhì)可得：ZPCA=ZPBD,對(duì)頂角相等

可得：ABEC=ZAED,根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360?？傻肗4CP,由平角定義即可得出結(jié)果.

【解析】解：由圖可得：BC所對(duì)的圓周角相等，即：

NBAC=NBDC,

在VPC4中，

ZPCA=180°—NP-ABAC,

在△P3D中，

ZPBD=180°-ZP-ZBDC,,

NPCA=NPBD,

VZA￡D=105°,

ZBEC=ZAED=\O50,

：.ZACP=~(360°-ZP-ZBEC)=100°,

ZACD=]8O0-ZACP=80°,

故選：C.

【點(diǎn)撥】題目主要考查同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等的性質(zhì)，理

解同弧所對(duì)圓周角相等是解題關(guān)鍵.

6.（2021?遼寧旅順口?九年級(jí)期中）如圖，將RtZ\ABC繞直角頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到△A￡C,連接若4=25。，則4MC的度數(shù)是（）.

A.10°B.D.40°

【答案】B

【分析】

由旋轉(zhuǎn)得A'C=AC,ZAC4'=90。，求出NG4A'=45。，利用外角性質(zhì)求出NA'B'C,山旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得到/笈的度數(shù)，再計(jì)算90°-/6即可得到結(jié)果.

【解析】解：山旋轉(zhuǎn)得A'C=AC,/4C4'=9（）。,

ZCAA'=45°,

Zl=25°,

ZA,B,C=Z1+ZCAAr=70°,

由旋轉(zhuǎn)得/廬NA'3'C=70°,

/.Z&4C=90°-N廬20°,

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查三角形外角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角的度數(shù)，直角三角形兩銳角互余的性

質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?陜西師大附中九年級(jí)期中）如圖所示，在AABC中，ZACB=90°,44=30。，將

△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VA'3'C,點(diǎn)"恰好在四上，交然于F,在不添加其他線

段的情況下，圖中與AAB'F相似的三角形有（)

A

A.2個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，找出存在的相似三角形即4.

【解析】由題意得：BC=B'C，AB=AB<AC=A!C,ZB=ZB-ZA=ZA'=30。,

ZACB=ZA,CB,=90°

VZA=30°,NAC廬90°

.,.Z^=60°

BC=BC

...△BB'C是等邊三角形

/.ZB=ZBffC=ABCS=60°

AZB,C4=30°,ZZA,C4=60°,ZAB'A'=60°

：.A!B'//BC

'：N4⑦=90°

ACLAIf

與AAB，F(xiàn)相似的三角形有AA'CF、XABC、ACB'F、VA'ffC

所以有4個(gè)

故選：C

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵.

8.（2021?重慶一中九年級(jí)期中）下列命題是真命題的是（）

A.三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角B.〃（〃上3）邊形的外角和為360°

C.矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D.三角形的內(nèi)心到三角形三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的距離相

等

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的性質(zhì)、多邊形外角的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角，則選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

B、〃（〃23）邊形的外角和為360。，則選項(xiàng)正確，符合題意；C、矩形的對(duì)角線互相平分，但

不一定垂直，則選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；I）、三角形的內(nèi)心到三角形三個(gè)邊的距離相等，則

選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：故選B

【點(diǎn)撥】本題考查的是真假命題的判斷，同時(shí)考查三角形的外角的性質(zhì)，多邊形的外角和定

理，矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?寧夏?銀川市第十五中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，用直尺

和圓規(guī)作㈤。的平分線AG交BC于點(diǎn)A以點(diǎn)｛為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧交AE＞于點(diǎn)

F.若8尸=12,48=10,則AE的長(zhǎng)為（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】A

【分析】

連接EF,設(shè)交于點(diǎn)0,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和作圖可知/2=/3,AF=AB，進(jìn)

而證明四邊形A8即是菱形，根據(jù)勾股定理求得A。的長(zhǎng)，即可求得AE的長(zhǎng).

【解析】解：如圖，連接所，設(shè)交于點(diǎn)。，

?四邊形ABCO是平行四邊形

.\AD//BC

/.Z2=Z3

:.AB=BE

又AB=AF

:.AF=BE

AF//BE

???四邊形是平行四邊形

AB=BE

???四邊形AB"是菱形

/.AEA.BF,AO=OE,BO=OF=-BF

2

在MABO中，AB=1（）,BO=-BF=6

2

AO=\lAB2-BO2=VlO2-62=8

.-.AE=2AO=16

故選A

【點(diǎn)撥】本題考查了作角平分線，等角對(duì)等邊，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判

定，勾股定理，證明/WEF是菱形是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?黑龍江?大慶市第六十九中學(xué)九年級(jí)）如圖，在等邊△/回中，48=6,點(diǎn)〃，

￡分別在邊BC,4c上，且劭=圓連接AD,應(yīng)交于點(diǎn)F,連接CF,則CF的最小值是（）

E

BDC

A.3B.2上C.4D.3網(wǎng)

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定定理和性質(zhì)可得：AABD三ABCE,ZBAD=NCBE,利用各角之間的

數(shù)量關(guān)系可得：ZAFB=120°,作AABF的外接圓，則點(diǎn)尸在圓匕運(yùn)動(dòng)，連接破0C,交劣

弧砂于點(diǎn)尸,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸'重合時(shí),CF的長(zhǎng)度最小，由切線定理可得OBVBC,ZBCO=30°,

在RtAOBC中，利用三角函數(shù)的正切可得08=2白，再根據(jù)30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半即

可確定OC=46,即可求出）的最小值.

【解析】解:在AABD與ABCE中,

AB=BC

?ZABC=NACB=60°,

BD=CE

.".AABDmABCE,

ZBAD=NCBE,

：.ZABF+ZBAF=ZABF+ZCBE=60°,

ZAF8=120。，

作AABF的外接圓，則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為以。為圓心，如為半徑的圓，如圖所示，連接以

0C,交劣弧循于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸'重合時(shí)，6F的長(zhǎng)度最小，

由切線定理可得：比l與。。相切尸點(diǎn)4

：.OBLBC,ZBCO=30。，

在RtAOBC中，

OB=BCtan30°=2g,

/.OC=2OB=46,

，CF'=OC-OF'=2-j3,

.?.江'的最小值為26，

故選:B.

【點(diǎn)撥】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)定理、

正切三角函數(shù)等，添加輔助圓作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵.

11.（2021?陜西碑林?九年級(jí)期中）如圖，平行四邊形/靦的周長(zhǎng)為16,AC,切相交于

點(diǎn)。OELAC交AD于E,則4腔?的周長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】

先證明/!￡'=&；再求解4必a=8,再利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：?.?平行四邊形4&?,

：.AD=BC,AB=CD,OA=OC,

'：E0LAC,

：.AE=EC,

；4小以％辦49=16,

：.AJ^DC=8,

△〃四的周長(zhǎng)是：CD^DE+CE=AE+DE+CD=AD^CD=8,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明4￡=於是解本題關(guān)

鍵.

12.（2021?湖北青山?九年級(jí)期中）如圖，四邊形48曲內(nèi)接于。。，AB=AD,ZBCD=\20

°,E、尸分別為比、①上一點(diǎn)，N￡4F=30°,EF=3,DF=\.則出的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

延長(zhǎng)曬到〃，使阱〃片1,連接力〃，則可證得△力掰9△力〃E從而/I廬/；NBA+/DAF,

易證△力磔△力陽(yáng)可得小爐3,則可求得然的長(zhǎng).

【解析】延長(zhǎng)⑦到凡使附腔1,連接加/,如圖

??,四邊形力〃切內(nèi)接于。。

???/力階N力叱180°

?；NABffi~NABC=180°

:./AB4/ADF

在△457/和△4F中

AB=AD

</ABH=ZADF

BH=DF

:.△ABgXADF

：.AH=AF,NBA4NDAF

,.?N為Z>NMM80°,NBC廬120°

：.ZBAD=\800-/BCIA600

VZ.EAF=3Q°

:?/BAE+NDA片/BAI)~/EAW30°

:?/EAH=/BAE+/BAH=3Q°

在△〃處和△加萬(wàn)中

AH=AD

<NEAH=ZEAF

AE=AE

:.XAH恒XAFE

:?H4E衿3

:?BI^HE—B件R-\二2

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等

三角形的問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn).

二、填空題

13.（2021?四川恩陽(yáng)?九年級(jí)期中）點(diǎn)G為AABC的重心，如果AG=6,BG=8,CG=10,

則AABC的面積為.

【答案】72

【分析】

延長(zhǎng)布到G',連接CG',使得DG=OG',則再證明aCGG'是直角三

角形即可得解；

【解析】如圖所示，延長(zhǎng)/G到G',連接CG',使得。G=QG',則△BOG=△C￡>G'，

，GG'=BG=8,

?.?DG=-AG=3

2f

JDG=DG'=3,

：.GG'=6,

CG=10,

??.△CGG'是直角二角形，

S&GBC=S&CGG,=-x8x6=24,

S“BC=3SNGBC=72；

故答案是:72.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)和三角形全等判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

14.（2021?上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)期中）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積

分成相等的兩部分，我們把這條直線稱作為這個(gè)平面圖形的一條優(yōu)美線.已知中，AB

=4C=5,BC=6,點(diǎn)D、〃在邊寬上，且BD=2,￡1為花1中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃的優(yōu)美線交過(guò)點(diǎn)￡

的優(yōu)美線于F,那么線段尸的長(zhǎng)等于.

【答案】y

【分析】

作AGDC使得GD是X/%一條優(yōu)美線，過(guò)點(diǎn)G作G”_LBC于點(diǎn)H,根據(jù)GH_LBC,4E_LBC,

ACGHs4CAE,/XDEF^^DGH,列出比例式，代入數(shù)值計(jì)算即可.

【解析】如圖，△4式中，力片/105,BC=6,

E為EC中點(diǎn)"

AE±BC,BE=EC—；BC=3,SABE=SAEC

AE是A48C的一條優(yōu)美線

AE=yjAB2-BE2=4

SdA-iA/iDBtC-=-2BCXA￡=2-X6X4=12

.劭